摘要：深度學(xué)習(xí)是熱門的研究話題，具備問題情境性、探索空間性、高階思維性和積極情感性四大特征，有助于降低小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算律的理解難度，推進(jìn)多元表征學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)深度理解。運(yùn)算律教學(xué)過程中，首先在導(dǎo)入中建構(gòu)知識體系，鼓勵學(xué)生提出猜想，其次在探究中培養(yǎng)推理能力，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行說理;最后在反思中引領(lǐng)回顧總結(jié)，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）06B-0067-05

“深度學(xué)習(xí)”的概念起源于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究。學(xué)習(xí)科學(xué)視域中的深度學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者對知識的深層加工、深度理解及長期保持，學(xué)習(xí)者要善于自主建構(gòu)、遷移應(yīng)用并在真實(shí)情景中解決復(fù)雜問題。深度學(xué)習(xí)落實(shí)到小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，應(yīng)該具有以下特點(diǎn)：一是基于問題情境，學(xué)生能夠經(jīng)歷提出假設(shè)并逐步驗(yàn)證的過程;二是有探索空間，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個探索和學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生的時空;三是有高階思維，學(xué)習(xí)的過程是知識的深度加工的過程;四是有積極情感伴隨，在數(shù)學(xué)逐步走向深入的同時，學(xué)生能夠體會到滿足感和成就感。

“乘法分配律”是一種乘法運(yùn)算規(guī)律，涉及兩種不同級的運(yùn)算，因?yàn)闇贤顺朔ㄅc加、減法之間的聯(lián)系，學(xué)生理解起來有一定的難度。從深度學(xué)習(xí)的視角出發(fā)，本課采用了小組合作學(xué)習(xí)的模式，鼓勵學(xué)生用不同方式表征乘法分配律模型背后的算理，實(shí)現(xiàn)對知識的深度加工。而學(xué)生在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)乘法分配律，用圖形、文字、符號語言描述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，最后運(yùn)用規(guī)律聯(lián)想拓展認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過程中，他們的數(shù)學(xué)抽象能力、推理能力都能得到很好的發(fā)展，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、在導(dǎo)入中建構(gòu)知識體系，鼓勵學(xué)生提出猜想

數(shù)學(xué)知識本身是有內(nèi)在結(jié)構(gòu)的，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也是遵循一定的規(guī)律建構(gòu)的。對學(xué)生來說某一節(jié)課學(xué)習(xí)的是單個知識點(diǎn)，但是對教師來說則必須要跳出一節(jié)課的單個知識點(diǎn)的桎梏，從知識結(jié)構(gòu)的角度去整體地、全面地看待這個知識點(diǎn)在整個單元，乃至整個數(shù)學(xué)知識體系中的地位和意義，在導(dǎo)入中建構(gòu)知識體系，并適時鼓勵學(xué)生提出猜想，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生整體的思維能力和數(shù)學(xué)眼光。

（一）基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的結(jié)構(gòu)提出合理的猜想

從教材內(nèi)容的編排來看，乘法分配律是運(yùn)算律單元教學(xué)的最后一個運(yùn)算規(guī)律，也可以看作乘法和加法運(yùn)算之間的一種勾連。乘法分配律與其他運(yùn)算律的不同之處就在于，它是兩種不同級的運(yùn)算之間的規(guī)律，其復(fù)雜之處在于此，變式多樣的原因也在于此。

因此，教師從縱向的運(yùn)算律知識結(jié)構(gòu)入手，通過引導(dǎo)學(xué)生回憶已經(jīng)學(xué)過的加法和乘法的運(yùn)算律，并利用課件出示結(jié)構(gòu)圖（如圖1），幫助學(xué)生梳理已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)算律，明確這些已有的知識都是只適用于一種運(yùn)算的規(guī)律。

接著，教師提出問題：加法和乘法之間會有什么運(yùn)算規(guī)律呢？引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生猜想：有沒有適用于兩種運(yùn)算的規(guī)律呢？有了猜想，再想辦法研究、驗(yàn)證，符合數(shù)學(xué)活動探究的規(guī)律。

像這樣從結(jié)構(gòu)導(dǎo)入還能讓學(xué)生從一開始就明確乘法分配律與其他運(yùn)算律的不同，凸顯了區(qū)別，防患于未然。

（二）基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)提出合理的猜想

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，已有的知識經(jīng)驗(yàn)會直接影響到他們對新知的學(xué)習(xí)。早在三年級學(xué)習(xí)兩、三位數(shù)的乘法時，教材已經(jīng)滲透了乘法分配律的思想（如圖2、圖3）。

“例題3”是結(jié)合具體情景引導(dǎo)學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理：24×12可以看成是24×10+24×2，即“12個24相加”可以先分別算出“10個24相加的和”及“2個24相加的和”，再把兩個和合起來。

教師教學(xué)用書中針對“復(fù)習(xí)”的第10題后兩組練習(xí)提出了具體的教學(xué)建議：學(xué)生可以“結(jié)合乘法的意義對蘊(yùn)含其中的運(yùn)算規(guī)律有所體會”，即34×21可以看成是“20個34與1個34的和就是21個34相加”，13×29可以看成是“從30個13里去掉1個13，就是29個13相加” [1] 。

三年級的學(xué)生可能不知道這種運(yùn)算規(guī)律的具體名稱，但他們會形成這樣一個模糊而感性的概念：當(dāng)兩個數(shù)相乘時，可以把其中一個數(shù)拆分以后分別去乘另一個數(shù)。因此，當(dāng)教師提出了14×3+6×3這樣的算式時，學(xué)生自然會產(chǎn)生兩種不同的算法：先乘后加或先加后乘。

14×3+6×3 ? ? ? ? ? ?14×3+6×3

=42+18 ? ? ? ? ? ? ?=（14+6）×3

=60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=20×3

=60

前者符合混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，后者可能只是某些學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺。教師捕捉到學(xué)生的這種“直覺”，并在接下來的探究中把它用數(shù)學(xué)的方法解釋清楚、表達(dá)出來，進(jìn)而提煉為數(shù)學(xué)規(guī)律與方法，這樣既順應(yīng)了學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，又激發(fā)了學(xué)生探究的興趣。

二、在探究中培養(yǎng)推理能力，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行說理

數(shù)學(xué)的發(fā)展史從某種意義上來說是依靠推理來完成的，推理能力既是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是人的思維方式之一。一般來說，推理可以分為合情推理和演繹推理兩大類，合情推理是由特殊到一般，演繹推理是由一般到特殊?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“在解決問題的過程中，這兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論?！盵2]

在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，合情推理占了主導(dǎo)地位，這是由小學(xué)生的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)內(nèi)容所決定的。合情推理更多地要依靠直觀想象和感性經(jīng)驗(yàn)，小學(xué)生的思維特點(diǎn)是形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，“這種抽象邏輯思維，在很大程度上仍然與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，仍然具有很大成分的具體形象性”[3]。但這并不意味著演繹推理不重要，而是提醒教師在教學(xué)中要重視演繹推理的逐步滲透和過渡，使合情推理與演繹推理的綜合使用成為學(xué)生有意識的自覺行為。

曹培英教授說過：“啟發(fā)學(xué)生說理，是培養(yǎng)推理能力初級教學(xué)階段最主要的手段與基本途徑?！盵4]教師如果有意識地啟發(fā)學(xué)生說理，把學(xué)生的想法呈現(xiàn)出來，通過對比，引導(dǎo)學(xué)生理解其內(nèi)涵，體會到不同表征方式的特征及適用范圍，不僅可以豐富學(xué)生的合情推理，還可以引進(jìn)演繹推理，因?yàn)椤罢f理”就是學(xué)生演繹的依據(jù)。這樣就能幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成根據(jù)不同的情況選擇合適的推理方式的思維習(xí)慣和能力，體現(xiàn)出深度學(xué)習(xí)在培養(yǎng)學(xué)生推理能力方面的意義和價值。

在“乘法分配律”一課中，教師首先呈現(xiàn)“14×3+6×3=（14+6）×3”這一等式，提出問題：“兩個不同的式子，計(jì)算結(jié)果卻相等，你知道其中的道理嗎？把你的想法表達(dá)出來?！睂W(xué)生獨(dú)立思考后，基于個體的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和能力，就會出現(xiàn)不同的表達(dá)方式，從舉例、畫圖、計(jì)算說理等多個角度來進(jìn)行說理。

一是結(jié)合情景說理。史寧中教授曾經(jīng)說過，任何運(yùn)算都是在講故事。在學(xué)生的思維世界里，與生活情景相結(jié)合的具體實(shí)例是他們理解抽象的數(shù)學(xué)概念生動且有效的載體。教師在教學(xué)中可以設(shè)置情景：明明每天做14朵花，小紅每天做6朵花，兩人一起做了3天，一共做了多少朵花？學(xué)生會主動地運(yùn)用情景和數(shù)量關(guān)系賦予乘法分配律實(shí)際意義，進(jìn)而推理出等式成立。

二是基于畫圖說理。如圖4，圖中圓的總個數(shù)，既可以看成是兩部分合起來的14×3+6×3，也可以看成每行有（14+6）個圓，共3行，用算式表示為（14+6）×3。

畫圖是幾何直觀的表征形式，點(diǎn)子圖、圓圈圖、長方形圖都可以用以形象地表達(dá)乘法分配律的幾何意義。

三是通過計(jì)算說理。通過計(jì)算14×3+6×3=60，（14+6）×3=60，得出因?yàn)閮蓚€算式的計(jì)算結(jié)果都是60，所以等式成立的結(jié)論?；蚪Y(jié)合乘法的意義，14×3表示14個3相加，6×3表示6個3相加，合起來一共有20個3相加。

乘法意義直指乘法分配律的核心，它可以涵蓋所有情況，從本質(zhì)上完成了對乘法分配律的數(shù)學(xué)表征：只要符合乘法分配律這樣的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)字特征的兩個式子，都可以用“幾個幾和幾個幾相加”的意義來解釋為什么兩個不同的式子計(jì)算結(jié)果是相同的，更具有普適性。

不同的表征方式體現(xiàn)著學(xué)生不同的思維方式，從大量計(jì)算現(xiàn)象中猜想、歸納出乘法分配律，發(fā)展的是學(xué)生的合情推理能力;有目標(biāo)的說理表達(dá)滲透了演繹推理的證明思想。兩種思想的融會貫通，可以打通不同方法之間的壁壘，讓學(xué)生體會到不同推理方式在發(fā)展數(shù)學(xué)思維上的價值所在。

三、在反思中引領(lǐng)回顧總結(jié)，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的”。乘法分配律從建構(gòu)運(yùn)算律的知識結(jié)構(gòu)開始學(xué)習(xí)，最后還是要回到結(jié)構(gòu)中去，不僅是知識結(jié)構(gòu)，還有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)思維方式的不斷溝通與聯(lián)系，才能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步走向深度。

（一）回顧知識運(yùn)用，感受新舊知識的聯(lián)系

學(xué)生對于運(yùn)用“兩數(shù)之和（差）乘一個數(shù)等于這兩個數(shù)先分別乘同一個數(shù)再求和（差）”這一運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算是有經(jīng)驗(yàn)的，只不過在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前并不知道這就叫“乘法分配律”。所以，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的同時，還可以促使學(xué)生感悟新知識和原有經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生回憶：“其實(shí)以前我們在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的時候就用到過乘法分配律了，誰還有印象？”然后出示兩、三位數(shù)的乘法筆算過程和長方形周長的兩種計(jì)算方式。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來在很早前就已經(jīng)接觸過乘法分配律了。學(xué)生“回過頭看一看”的過程，既有效地溝通了新舊知識之間的聯(lián)系，使原本散亂的知識點(diǎn)逐漸變得清晰且具有結(jié)構(gòu)性，又能使原本抽象的運(yùn)算律的內(nèi)涵變得豐富、生動起來：它不僅是一個計(jì)算的規(guī)律，還能夠解釋算理，成為靈活計(jì)算的依據(jù)，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用價值。

（二）提煉學(xué)習(xí)方法，形成自主學(xué)習(xí)的能力

新授結(jié)束后，教師通過問題“想一想，我們是怎么研究這一運(yùn)算規(guī)律的？”引導(dǎo)學(xué)生梳理出數(shù)學(xué)知識的研究方法：舉例觀察、比較發(fā)現(xiàn)、推理驗(yàn)證、歸納總結(jié)。學(xué)生及時對自己在探究過程中獲得的基本活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)和提煉，使原本模糊的、直覺的經(jīng)驗(yàn)上升為清晰的、理性的數(shù)學(xué)思想方法。梳理研究思路是為了實(shí)現(xiàn)方法的遷移：如果以后遇到需要探究規(guī)律的問題，我們也可以用這樣的思路進(jìn)行研究。這就為學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)的能力奠定基礎(chǔ)。

（三）回歸內(nèi)容體系，完成規(guī)律認(rèn)知的拓展

回歸最初的猜想“加法和乘法之間會有怎樣的運(yùn)算規(guī)律”，教師通過比較乘法分配律和其他運(yùn)算律的不同之處，一方面可以檢測學(xué)生對于乘法分配律的掌握情況，呼應(yīng)本節(jié)課的開始環(huán)節(jié);另一方面也是對于乘法分配律結(jié)構(gòu)模型的再一次鞏固和深化，通過比較乘法分配律和其他運(yùn)算律的不同，完善運(yùn)算律的知識結(jié)構(gòu)體系。

教師提出問題“乘法分配律還可以怎樣變化？”，讓基本的數(shù)學(xué)模型再次“生長”，激發(fā)學(xué)生深入探索乘法分配律模型適用的范圍，幫助學(xué)生進(jìn)一步拓展對乘法分配律的認(rèn)識，也為他們將來靈活運(yùn)用乘法分配律分析和解決各種問題做了知識的儲備，奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教師最后布置了一項(xiàng)作業(yè)：用今天學(xué)到的驗(yàn)證方法想辦法說明（a-b）×c=a×c-b×c甚至（a+b+c…）×d=a×d+b×d+c×d+…×d一定成立。這樣就能進(jìn)一步達(dá)成認(rèn)知的拓展抽象，學(xué)生能夠在新一輪的說理過程中知其然并知其所以然，從而完成對乘法分配律的完整認(rèn)知，不僅體會到了知識的來龍去脈，而且領(lǐng)悟了知識背后的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展了抽象和推理能力。

總之，把當(dāng)前要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識放進(jìn)知識體系中，讓學(xué)生在探究的過程中充分體驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識結(jié)構(gòu)的提升，訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言的表達(dá)，能充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)的積極性。學(xué)厚數(shù)學(xué)知識，練深數(shù)學(xué)思維，投入對數(shù)學(xué)的情感，就能在深度學(xué)習(xí)中進(jìn)一步落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]南京東方數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（三年級下冊）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014：46.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：7.

[3]朱智賢.兒童心理學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1981：344.

[4]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017：140.

責(zé)任編輯：石萍

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的課程整合設(shè)計(jì)與實(shí)施研究”（B-b/2016/02/61）的階段性成果。

收稿日期：2021-04-12

作者簡介：孟初薇，太倉市實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇太倉，215400），研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育。