湯華英

【摘要】本文詳細(xì)記錄了一堂“三角函數(shù)的概念”優(yōu)質(zhì)觀摩課的教學(xué)過(guò)程，研究者從如何利用問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)概念教學(xué)的角度對(duì)課例進(jìn)行分析和點(diǎn)評(píng)。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)的概念;問(wèn)題鏈;概念教學(xué)

“工欲善其事，必先利其器?！币氚l(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須上好數(shù)學(xué)概念課，那么，如何上好數(shù)學(xué)概念課？近期，資深教師廖堅(jiān)在我校開(kāi)設(shè)了一堂“三角函數(shù)的概念”優(yōu)質(zhì)觀摩課，廖老師采用問(wèn)題鏈教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷概念生成過(guò)程，他的課堂設(shè)計(jì)得到了高度評(píng)價(jià)，聽(tīng)課教師都覺(jué)得受益匪淺，現(xiàn)實(shí)錄整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程，與各位同行分享。

一﹑教學(xué)片段實(shí)錄

（一）溫故知新，揭示矛盾

師：初中階段是怎樣定義銳角α的三角函數(shù)？（如圖1）

生1：.

師追問(wèn)：非常棒！這個(gè)定義能求sin300o嗎？

生1：不能，因?yàn)檫@個(gè)定義只能求出銳角的三角函數(shù)值。

師：對(duì)，今天我們就要研究任意角的三角函數(shù)。

（二）新知探究，形成概念

師：如果把銳角α放在直角坐標(biāo)系下（如圖2），銳角α的對(duì)邊、鄰邊和斜邊分別與點(diǎn)P（x， y）的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

生2：對(duì)邊=y，鄰邊=x，斜邊=.

師追問(wèn)：你回答得很好！此時(shí)銳角三角函數(shù)可以表示成什么形式？

生2：其中.

師追問(wèn)：非常好！改變點(diǎn)P在角α終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？

生眾：不會(huì)改變。

廖老師用幾何畫(huà)板演示隨著點(diǎn)在角終邊上的位置的改變的值始終保持不變。

師：怎樣證明這三個(gè)比值不變？

生3：由相似三角形的性質(zhì)可得比值不變。

師追問(wèn)：既然比值不變，取多少時(shí)，比值的形式會(huì)更簡(jiǎn)單？

生3：r取1時(shí)。

師：非常了不起。此時(shí)銳角三角函數(shù)可以表示成什么形式？

生4：sinα=y，cosα=x，.

師追問(wèn)：類比銳角三角函數(shù)，能否用單位圓上點(diǎn)P（x， y）的坐標(biāo)來(lái)表示任意角α的三角函數(shù)？（如圖3）

廖老師用幾何畫(huà)板演示任意角α的終邊與單位圓相交。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？你能用函數(shù)的語(yǔ)言刻畫(huà)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

生5：無(wú)論α的終邊在哪里，α定→唯一的x，α定→唯一的y，除x=0時(shí)，沒(méi)有意義，其它都有α定→唯一的.

廖老師板書(shū)任意角的三角函數(shù)：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)（x，y），則：y叫做α的正弦，記作y=sinα，即sinα=y; x叫做α的余弦，記作x=cosα，即cosα=x;叫做α的正切，記作=tanα，即tanα=（x≠0）.

師：你能解釋一下定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

生6：以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值。

師：你回答得很好，你有做數(shù)學(xué)家的天賦。這個(gè)定義與初中的定義比較，有何不同？?jī)?yōu)在何處？

生6：在直角坐標(biāo)系下研究三角函數(shù)，避免了直角三角形的局限性，化解了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部矛盾。

（三）知識(shí)應(yīng)用，鞏固概念

師：你現(xiàn)在能求出sin300o，嗎？

廖老師要求學(xué)生在草稿紙上進(jìn)行演算，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生沒(méi)有圓規(guī)，所以教學(xué)生利用兩支筆做圓規(guī)，旋轉(zhuǎn)作業(yè)本畫(huà)圓，學(xué)生對(duì)廖老師的絕活佩服得五體投地。

生7：.

師追問(wèn)：你能歸納一下解題步驟嗎？

生7：畫(huà)終邊，找交點(diǎn)坐標(biāo)，算比值（求正切值）。

師：若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（），你會(huì)求sinα，cosα，tanα嗎？

生8：r=，得，，.

師追問(wèn)：如果點(diǎn)P（-3，4）為呢？

生8：由三角形相似可得答案不變。

師追問(wèn)：很好！如果角α的終邊落在直線y=2x上呢？這時(shí)角的終邊上沒(méi)有給點(diǎn)，怎么辦？

生眾：任取一個(gè)點(diǎn)。

師：怎么取點(diǎn)計(jì)算簡(jiǎn)單？哪位同學(xué)到黑板作答？

生9：設(shè)x=1，則y=2，，得.

師：有沒(méi)有不同意見(jiàn)？

生10：角α的終邊也可能在第三象限。

師：哦！你發(fā)現(xiàn)了一個(gè)秘密噢（此幽默引發(fā)學(xué)生笑），還有可能在第三象限，所以解題時(shí)要多點(diǎn)思考，你能把它補(bǔ)充完嗎？

生10：設(shè)x=-1，則y=-2，r==

，得tanα=2。

師：上述表明，知道已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，不借助單位圓，也能求出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值。一般地，設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x， y），它與原點(diǎn)的距離為r，則，，. 你能自己給出證明嗎？

生眾：由三角形相似可得結(jié)論成立。

師：對(duì)，同學(xué)們課后嚴(yán)格證明出來(lái)，這是三角函數(shù)的等價(jià)定義，至此，三角函數(shù)有兩種定義，分別是“單位圓定義法”“終邊定義法”，比較兩種定義，你認(rèn)為哪種更簡(jiǎn)潔？

生11：“單位圓定義法”。因?yàn)樗芨庇^地體現(xiàn)自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

師：從三角函數(shù)的概念，我們可以感受到科學(xué)家執(zhí)著的專研精神。我們要學(xué)習(xí)這種一絲不茍，孜孜以求的科學(xué)態(tài)度并應(yīng)用于今后的學(xué)習(xí)生活中，就像毛主席所說(shuō)的：世界上怕就怕認(rèn)真二字。

（四）課堂小結(jié)，整理知識(shí)

師：三角函數(shù)是怎樣定義的？

生眾：建立直角坐標(biāo)系，由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)即可給出定義。

師：如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？

生眾：根據(jù)定義。

師：求任意角的三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)是求什么？

生眾：求坐標(biāo)。

師：有了三角函數(shù)的定義，按研究函數(shù)的一般思路，后續(xù)會(huì)學(xué)到三角函數(shù)哪些內(nèi)容？