趙播明 化存才

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角，對(duì)比人教版（A版）高中數(shù)學(xué)新、舊教材中“平面向量及其應(yīng)用”這一章的內(nèi)容，從教材內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)、教材編寫(xiě)方式、例題和習(xí)題等涉及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問(wèn)題進(jìn)行了分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教材對(duì)比，平面向量

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的深層教育理念中，要求培養(yǎng)學(xué)生的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.為了順應(yīng)新課標(biāo)的教學(xué)要求，新編教材在編寫(xiě)上發(fā)生了一些新的改變，就“平面向量及其應(yīng)用”這一章而言，主要研究的是向量與數(shù)、幾何的關(guān)系，也就是說(shuō)，把向量既看成代數(shù)的研究對(duì)象，又看成幾何的研究對(duì)象，使之成為溝通代數(shù)與幾何的橋梁，承載著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的功能.那么，在核心素養(yǎng)的視角下，向量在新版教材中到底有什么樣的具體改變及特色呢？為此，本文將2007年人教版（A版）普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)教科書(shū)必修四第二章和必修五第一章，2019年人教版（A版）普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修二第六章中的“平面向量及其應(yīng)用”作為研究對(duì)象，以核心素養(yǎng)的三個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析.

一、從教材內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比看數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“平面向量及其應(yīng)用”這一章在初中階段并沒(méi)有接觸過(guò)，且這部分知識(shí)比較抽象，需要學(xué)生通過(guò)跨學(xué)科類(lèi)比的方式才能獲得形象的理解.“平面向量及其應(yīng)用”這一章是通過(guò)研究數(shù)、幾何、平面向量之間關(guān)系來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)比新、舊版教材中的內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)，新版教材的內(nèi)容沒(méi)有多大的改變，但在某些知識(shí)點(diǎn)的講解上更加詳細(xì)了，更加符合學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和形成.

1.教材內(nèi)容的編排順序?qū)Ρ葹楹诵乃仞B(yǎng)定力

新課標(biāo)要求教材內(nèi)容的編排應(yīng)該以數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系為第一要?jiǎng)?wù).根據(jù)新、舊版教材的對(duì)比，新版教材將“平面向量的數(shù)量積”放在了“平面向量基本定理及坐標(biāo)表示”的前面，這樣的安排很符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，因?yàn)閷W(xué)生在前幾節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容是向量的加法、減法及向量的數(shù)乘運(yùn)算，而按照學(xué)生已有的向量的數(shù)學(xué)運(yùn)算認(rèn)知結(jié)構(gòu)來(lái)看，可能存在向量的某種乘法運(yùn)算，這符合學(xué)生的邏輯思維，有知識(shí)的遞進(jìn)，更能讓學(xué)生理解.

另外，新版教材將舊版教材“解三角形”編排在“平面向量及其應(yīng)用”這一章節(jié)中，這是新、舊版教材中教材內(nèi)容編排變化最明顯的地方.“解三角形”并不是一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)，且數(shù)學(xué)本身是一門(mén)具有邏輯性的學(xué)科，不同的知識(shí)之間具有關(guān)聯(lián)性，可以進(jìn)行串聯(lián)、整合、重構(gòu)、銜接，新版教材恰好突出了這一優(yōu)點(diǎn).在新版教材中，是先學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積知識(shí)，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積知識(shí)、向量與三角形的聯(lián)系來(lái)證明余弦定理，用向量知識(shí)去研究正弦定理.可以看出，教材內(nèi)容的編排重視數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，以學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)作為基礎(chǔ)，注重培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)的遷移能力，以及問(wèn)題的抽象和邏輯推理能力，且能讓學(xué)生活學(xué)活用數(shù)學(xué)知識(shí)，并突出向量在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.而在舊版教材中沒(méi)有建立起合理的知識(shí)體系，將“解三角形”這一章節(jié)放在必修五，因同一個(gè)模塊中每個(gè)章節(jié)之間沒(méi)有任何知識(shí)的聯(lián)系，導(dǎo)致了知識(shí)的前后順序出現(xiàn)混亂，不夠連貫，這樣一來(lái)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中既浪費(fèi)了時(shí)間，又容易忘記之前所學(xué)的知識(shí)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率降低.

2.教材內(nèi)容順序的邏輯性對(duì)比為核心素養(yǎng)做鋪墊

新、舊版教材中，知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容無(wú)明顯改變.新版教材中，在“向量的數(shù)量積”這一節(jié)只是介紹了兩個(gè)向量的夾角、向量垂直、同向和反向的關(guān)系，因?yàn)檫@一小節(jié)只涉及兩向量間的夾角，而在舊版教材中是在學(xué)完向量的基本定理之后直接介紹了兩個(gè)向量夾角的有關(guān)知識(shí)，且二者之間沒(méi)有任何的邏輯關(guān)系.除此之外，新版教材詳細(xì)地介紹了投影向量及單位向量，兩個(gè)向量之間的夾角，被投影向量之間的關(guān)系和表達(dá)式;在學(xué)習(xí)平面向量的基本定理時(shí)，對(duì)a=λ1e1+λ2e2中的λ1和λ2的唯一性，以及何為一組基底及其應(yīng)用都進(jìn)行了詳細(xì)的講解，在例題講解、結(jié)論闡述中將夾角的表示由角度制轉(zhuǎn)換成了弧度制，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)以致用.因此，教材內(nèi)容的改變表明，新版教材更加重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能的掌握與理解.可見(jiàn)，對(duì)教材內(nèi)容順序的邏輯性改變，對(duì)學(xué)生從向量幾何直觀想象到“向量代數(shù)運(yùn)算”的數(shù)學(xué)抽象引入起到了鋪墊的作用.

二、從教材的編寫(xiě)方式看核心素養(yǎng)

通過(guò)對(duì)新版教材內(nèi)容的仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，新版教材呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的方式是先創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生獨(dú)立思考或者合作交流，而教師則帶領(lǐng)學(xué)生一起去揭開(kāi)數(shù)學(xué)規(guī)律，然后進(jìn)入實(shí)際操作應(yīng)用階段，最后拓展相關(guān)知識(shí)，從而幫助學(xué)生更好地理解知識(shí).雖然舊版教材中也有這種內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，但更多的是先有概念或者定理然后證明，最后在講到數(shù)學(xué)的實(shí)際操作時(shí)就結(jié)束了，舊版教材的這種寫(xiě)法難以培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考探究意識(shí).

1.問(wèn)題引入方式更切合學(xué)生實(shí)際，能引導(dǎo)學(xué)生潛入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

新課標(biāo)要求問(wèn)題引入方式要切合學(xué)生實(shí)際，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.這其中就包含了從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)抽象的啟導(dǎo)，數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)的開(kāi)始，這也是實(shí)實(shí)在在引導(dǎo)學(xué)生潛入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的做法.在章節(jié)起始的引言中，新版教材首先是具體舉出生活實(shí)際中的例子，然后是抽象引出本章將要討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題.而在舊版教材中，則是直接用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出數(shù)學(xué)問(wèn)題，這顯得有些枯燥，無(wú)法一針見(jiàn)血地體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活并應(yīng)用于生活，也難以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣;該章節(jié)中，一部分知識(shí)的引入是通過(guò)學(xué)生已有的物理知識(shí)，通過(guò)跨學(xué)科類(lèi)比而轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)問(wèn)題上的.比如，向量具有豐富的物理背景，向量問(wèn)題的引入可以是將重要的物理情境貫串向量學(xué)習(xí)的過(guò)程;而在研究向量的數(shù)量積和向量的分解與合成中，則可以利用物理作為背景，這個(gè)設(shè)置新版教材與舊版教材大同小異;還有一部分內(nèi)容，是在學(xué)生原有數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再對(duì)知識(shí)進(jìn)行重組與構(gòu)建.比如，在余弦定理和正弦定理的學(xué)習(xí)中，新版教材首先是復(fù)習(xí)初中階段學(xué)習(xí)的勾股定理、銳角三角函數(shù)，說(shuō)明直角三角形邊和角之間存在著一種確定的關(guān)系，從三角形全等的判定定理定性地說(shuō)明一般三角形邊和角之間的關(guān)系，接著引出三角形的邊與角到底存在一個(gè)什么樣的數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，再根據(jù)已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，將難度上升到抽象地提出一個(gè)新的問(wèn)題，讓學(xué)生思考，這符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，而舊版教材是直接讓學(xué)生思考已知三角形兩邊及其所夾的角，怎樣算出第三邊和另外兩個(gè)角，并沒(méi)有知識(shí)的銜接.

2.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的對(duì)比，彰顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合性

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的思維想象實(shí)踐活動(dòng).在數(shù)學(xué)探究的過(guò)程中，可以讓學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流，分享自己的看法，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用意識(shí).每個(gè)學(xué)生都能參與探究活動(dòng)，都能體驗(yàn)數(shù)學(xué)的有趣之處，從而提升學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)承載著提升學(xué)生學(xué)科能力和學(xué)科素養(yǎng)的重要使命，在教學(xué)中是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).雖然舊版教材中在新知識(shí)的引入環(huán)節(jié)也設(shè)置了探究活動(dòng)，但是其綜合性不強(qiáng)，只是對(duì)簡(jiǎn)單的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行探究，只能在一定程度上鍛煉學(xué)生的思維水平.而在新版教材中，數(shù)學(xué)探究不僅貫串整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，還在章節(jié)的最后安排了一個(gè)“用向量法探究三角形的性質(zhì)”的探究活動(dòng)，以此作為對(duì)向量知識(shí)的一個(gè)整體綜合性應(yīng)用，這正是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的做法，而舊版教材中并沒(méi)有這一重要環(huán)節(jié).

可喜的是，從2020年開(kāi)始，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)作為必要的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)要求必須開(kāi)展起來(lái)，這將更加有利于促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模推動(dòng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革深化發(fā)展.

三、從例題和習(xí)題的對(duì)比看數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在新、舊版教材的對(duì)比中，教材中的習(xí)題不論是在數(shù)量、難度、編排上，還是在講解方式上都有許多變化，目的就是讓學(xué)生在完成數(shù)學(xué)習(xí)題解答的過(guò)程中，融會(huì)“四基”，“四基”即基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)好數(shù)學(xué)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.例題講解方式的對(duì)比，融合了“四基”和培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求

新課標(biāo)中明確地提出了要培養(yǎng)學(xué)生的“四基”，即學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要獲得必需的知識(shí)和技能，還要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，獲得數(shù)學(xué)發(fā)展和處理問(wèn)題的能力.新版教材中突出了這一點(diǎn)，在例題的講解中比舊版教材更加明顯地強(qiáng)化了基礎(chǔ)，按照學(xué)生的現(xiàn)實(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，考慮到了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使得分析過(guò)程非常具體.比如，在“向量在物理中的應(yīng)用舉例”中，例題的講解不僅簡(jiǎn)單明了，而且非常詳細(xì)，學(xué)生易懂，像這樣講解詳細(xì)的例題還有很多.有一項(xiàng)研究表明，新版教材比舊版教材更能夠提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力及學(xué)習(xí)效率，更能幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，這是因?yàn)樾掳娼滩膶?duì)于知識(shí)的講解符合學(xué)生的年齡特征，做到了讓學(xué)生易學(xué)易懂;教材抓基礎(chǔ)，從學(xué)生的實(shí)際角度編制了難度適宜的習(xí)題，通過(guò)對(duì)習(xí)題進(jìn)行“四基”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的解題教學(xué)過(guò)程，能夠發(fā)展高中學(xué)生獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

2.習(xí)題的編排具有針對(duì)性，從簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算開(kāi)始

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握需要一個(gè)合理的過(guò)程.根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的這一特點(diǎn)，新版教材在每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的后面，都分別設(shè)置了具有針對(duì)性的2到3個(gè)習(xí)題以達(dá)到鞏固該知識(shí)點(diǎn)的目的，且習(xí)題只涉及剛剛學(xué)習(xí)的知識(shí).比如，在學(xué)完向量的加減運(yùn)算后，先設(shè)置3個(gè)習(xí)題來(lái)測(cè)驗(yàn)學(xué)生對(duì)于這個(gè)向量運(yùn)算內(nèi)容的理解程度，在這節(jié)內(nèi)容結(jié)束后，又設(shè)置了24個(gè)習(xí)題，其中包括了12個(gè)“復(fù)習(xí)鞏固”題，8個(gè)“綜合應(yīng)用”題，4個(gè)“拓廣探索”題，這種按分門(mén)別類(lèi)的方式編排習(xí)題，層層漸進(jìn)的檢測(cè)方式，可以使新知識(shí)鞏固最大化.新版教材沒(méi)有像舊版教材那樣直接進(jìn)入向量數(shù)乘的學(xué)習(xí)，再將全部習(xí)題放在后面，顯然這種沒(méi)有詳細(xì)分類(lèi)的做法，是不利于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的.

3.習(xí)題的難度和數(shù)量對(duì)比，部分刪減邏輯推理強(qiáng)的難題

新課標(biāo)明確指出，要降低數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)深度及數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題的難度.在舊版教材中，不論是例題還是習(xí)題，難度都比較大，這對(duì)于中等水平的學(xué)生或者中等水平以下的學(xué)生而言，一般都會(huì)因邏輯推理能力不強(qiáng)而不會(huì)做，并且會(huì)產(chǎn)生學(xué)好數(shù)學(xué)是很難的想法，這樣一來(lái)就會(huì)抵觸數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣.新版教材中，將邏輯推理強(qiáng)的難題部分進(jìn)行了適當(dāng)刪減，將例題中數(shù)字比較大、運(yùn)算比較復(fù)雜的題也換成了數(shù)字小、容易計(jì)算的簡(jiǎn)單題.比如，在“平面幾何中的向量方法”一節(jié)中，把一個(gè)難度較大的例題換成了用向量方法證明三角形中位線(xiàn)的簡(jiǎn)單題;還有，在余弦定理的例題中，將舊版教材中的例4換成了數(shù)字比較小的新版教材中的例6，以幫助學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，這說(shuō)明，新版教材注重學(xué)生獲取數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，降低學(xué)習(xí)難度是為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.在習(xí)題的數(shù)量上，新版教材中的習(xí)題量明顯增加了，體現(xiàn)在新版教材中每個(gè)新知識(shí)都附有2到3個(gè)有針對(duì)性的習(xí)題，及幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合的習(xí)題、小結(jié)性的習(xí)題，最后才是復(fù)習(xí)題.新版教材中的這種習(xí)題量的改變是想通過(guò)有梯度的習(xí)題讓學(xué)生鞏固核心知識(shí)，并能從簡(jiǎn)單而靈活的練習(xí)中領(lǐng)悟和增強(qiáng)邏輯推理能力，缺點(diǎn)是習(xí)題量的增加可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)加重.

四、小 結(jié)

本文通過(guò)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角，從三個(gè)模塊七個(gè)方面具體對(duì)比了人教版（A版）新、舊版教材中的“平面向量及其應(yīng)用”章節(jié)內(nèi)容，分析了有變化的地方，總結(jié)出新版教材重視數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯順序，知識(shí)的銜接性較強(qiáng)，習(xí)題的設(shè)置有針對(duì)性和梯度，問(wèn)題的引入更加符合學(xué)生的實(shí)際，知識(shí)的建構(gòu)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，從而能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)抽象能力.

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