劉玉靜
【摘 要】數(shù)學(xué)是一切自然學(xué)科的基礎(chǔ),被稱為自然科學(xué)的皇冠,“學(xué)好數(shù)理化,走遍天下都不怕”,這表明數(shù)學(xué)在所有的學(xué)科中的重要性。一般來說對于初中階段的教師,在力求學(xué)生高效率學(xué)習(xí)的同時,更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的夯實(shí),問題細(xì)節(jié)的深究,要從一道數(shù)學(xué)題提煉出基礎(chǔ)原理,針對這一基礎(chǔ)原理再衍生多題多解,讓學(xué)生體會到雖然問題千變?nèi)f化,但萬變不離其宗,化靜態(tài)為動態(tài),突破教學(xué)難題,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)計(jì)算、空間構(gòu)想、定量分析、應(yīng)用定義中體會數(shù)學(xué)知識的奧妙,加深同學(xué)們的學(xué)習(xí)樂趣,進(jìn)而提高教學(xué)的質(zhì)量。這就是所謂的抓基礎(chǔ)學(xué)習(xí),重細(xì)節(jié)分析,求高效產(chǎn)出!
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ);問題細(xì)節(jié);學(xué)習(xí)興趣
俗話說,“編筐編簍,重在收口”。初中三年,學(xué)生和老師的收獲都將在中考中檢驗(yàn)。最后一學(xué)期,是沖刺階段,成敗就看這個學(xué)期的工作效果了。為此,我在所有數(shù)學(xué)老師的支持和幫助下,以研究課本和《中考說明》、研究學(xué)生為前提,整合章節(jié)知識點(diǎn),根據(jù)學(xué)生水平安排內(nèi)容的難易,力求在抓基礎(chǔ)、重細(xì)節(jié)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)。
下面,我以基摸考試第26題的講解為例來說明我們是如何以考題為依托,進(jìn)行一輪復(fù)習(xí)的。
26題是一道關(guān)于二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合題??疾榱硕魏瘮?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值、圖象的平移、與直線的交點(diǎn)等基礎(chǔ)知識。以待定系數(shù)的形式出現(xiàn),雖然沒有脫離基礎(chǔ)知識,但是增加了新意,也提高了一定的難度,既考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況,也考查了學(xué)生處理函數(shù)問題的能力。充分體現(xiàn)了《中考說明》對綜合實(shí)踐部分的考試要求——要通過主干知識及核心能力的考查,讓考生體會數(shù)學(xué)的味道和本質(zhì),選取的試題素材似曾相識,而角度新穎,易入手卻不易答出滿分,以檢驗(yàn)考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
為突破學(xué)生對二次函數(shù)知識掌握不牢及對最后一題的畏懼心理,我在講解試題前設(shè)置了一個基礎(chǔ)練習(xí)。
【基礎(chǔ)復(fù)習(xí)】
例1:對于拋物線:y=x2-2x+3,下列說法錯誤的是(? )
A.對稱軸是x=1,有最小值是2
B.當(dāng)x>2時,y隨x的增大而增大
C.向左平移3個單位后經(jīng)過(1,10)
D.拋物線與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)
這個題中給出的二次函數(shù)表達(dá)式中沒有待定系數(shù),目的在于通過選項(xiàng)讓學(xué)生鞏固拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值的求法,根據(jù)開口方向和對稱軸判斷其增減性,能確定平移后拋物線的表達(dá)式并能驗(yàn)證點(diǎn)是否在圖象上,掌握拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的方法,同時培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思維。
這個題學(xué)生獨(dú)立完成后,尖子生進(jìn)行講解,幫助其他學(xué)生復(fù)習(xí)二次函數(shù)的相關(guān)知識和解題技巧。在學(xué)生講解的過程中發(fā)現(xiàn),通過A選項(xiàng),學(xué)生能夠使用兩種方法求拋物線的對稱軸和最值,即使用公式和配方法。通過B選項(xiàng)的辨析,能夠根據(jù)所給自變量的取值范圍與對稱軸的位置關(guān)系,明確函數(shù)的增減性。在判斷C選項(xiàng)時,學(xué)生對拋物線的平移給出了兩種方法,一種方法是先把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,然后根據(jù)左加右減的方法,寫出平移后的表達(dá)式;第二種方法是先求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后再找到平移后的頂點(diǎn),把坐標(biāo)代入拋物線的頂點(diǎn)式中得解。第二種方法中,點(diǎn)向左平移3個單位,橫坐標(biāo)減3,與拋物線平移時的“左加右減”貌似矛盾,經(jīng)過對比、辨析,學(xué)生能夠接受。在D選項(xiàng)中,有的學(xué)生直接判斷出錯誤,問起原因,有的說只能有兩個或者一個交點(diǎn),通過畫圖才發(fā)現(xiàn),沒有對坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論。拋物線總是與y軸有一個交點(diǎn),與x軸的交點(diǎn)個數(shù)要由△的大小來判斷。
通過例1的辨析研討,學(xué)生能夠把二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本解題方法總結(jié)出來,解決了二次函數(shù)的核心問題。第三問學(xué)生因?yàn)閷忣}不清,不能正確理解“頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間存在一個函數(shù)關(guān)系”這句話,我們把第三問分為兩個小問進(jìn)行解決。
【鞏固提升】
例2、已知拋物線C:y=ax2-2ax+3,拋物線開口向下。
(1)當(dāng)拋物線C過點(diǎn)(1,4)時,求a的值和拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)求二次函數(shù)y=ax2-2ax+3的對稱軸和最大值(用含a的式子表示);(3)①將拋物線C向左平移a個單位得到拋物線C1,求出C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)。
例2與例1相比,多了待定系數(shù),增加了難度,但是學(xué)生用例1中歸納總結(jié)的方法,能夠順利解決前三問。但在書寫過程時,發(fā)現(xiàn)學(xué)生求對稱軸時,只寫1,而不是x=1;求最大值時,結(jié)果寫成a-2a+3,不進(jìn)行化簡。所以老師要對此再次糾正,規(guī)范書寫過程,要求不丟無謂的分。
在(3)①中,學(xué)生對向左平移a個單位提出質(zhì)疑,“a是個負(fù)數(shù),向左平移a個單位應(yīng)該是向右移動,所以根據(jù)左加右減的方法,應(yīng)該是減a”,問題提出,確實(shí)有不少同學(xué)蒙了,不知道到底是該加還是該減,此時,老師問,那向右平移幾個單位呢?學(xué)生開始思考,終于悟出來應(yīng)該是向右平移-a個單位,代入拋物線的頂點(diǎn)式,得出答案是肯定的。
對于中等學(xué)生,能夠完成這幾道題,并吃透知識點(diǎn)就可以了。對于尖子生,我們還有必要進(jìn)行合理的知識遷移和綜合。
【合理遷移】
(3)②隨著a的變化,拋物線C1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個函數(shù)關(guān)系,求這個函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍。對于這個問題,學(xué)生總是認(rèn)為頂點(diǎn)在拋物線上,當(dāng)然縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的關(guān)系滿足y=ax2-2ax+3。但是a又是不確定的,所以不知從何處入手。對于這個問題,老師通過幾個問題引導(dǎo)學(xué)生審題:
1.要求什么?2.需要知道什么?3.已知什么?4.怎樣求?
根據(jù)問題,學(xué)生找到需要求一個拋物線C1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間函數(shù)關(guān)系式,需要求出拋物線C1的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y,上一問中已經(jīng)求出C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)。但是怎樣求?學(xué)生看到有待定系數(shù),不知從何下手,也有的同學(xué)觀察出了y=x+2,但是不能明確一個解題方法。老師提示,能不能通過解方程組,化去字母a?學(xué)生恍然大悟順利得出y與x的函數(shù)關(guān)系式。老師再次給出解題過程:x=1-ay=3-a,兩式相減得到y(tǒng)=x+2。
求x的取值范圍時,學(xué)生還是有困惑,畫圖也不得解。老師提示,如果畫圖不得解,能不能從表達(dá)式入手呢?學(xué)生觀察黑板上的x=1-a,想到a<0,順利得出x>1。
讓學(xué)生談?wù)効荚囘^程中,沒有做對這道題的原因。學(xué)生找到了自己的問題,在老師的引導(dǎo)下,一步步解決問題,很大程度上緩解了對26題的恐懼感,逐漸找到解題的策略和方法,培養(yǎng)了學(xué)生的自信心。
【辨析研討】
(4)記(3)所求的函數(shù)為D,拋物線C與函數(shù)D的圖像交于點(diǎn)M,結(jié)合圖象,請直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍。
有了第三問做鋪墊,學(xué)生根據(jù)題目要求,能畫出簡單的圖象,但不知道如何找M點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍。老師對學(xué)生能畫出圖象,找到交點(diǎn)M,提出表揚(yáng)和肯定,幫助學(xué)生分析,找出不變信息和可變信息,直線的位置不動,拋物線對稱軸不變,開口方向不變,經(jīng)過兩個定點(diǎn)(0,3)和(2,3),拋物線開口的寬窄隨著a的絕對值的變化而變化。通過畫圖發(fā)現(xiàn),但是M點(diǎn)只能位于對稱軸x=1的右邊且在(2,3)的上邊,即x的取值范圍是1 老師再給出另一種代數(shù)方法:交點(diǎn)M的坐標(biāo)則是y=x+2y=ax2-2ax+3的解。解方程組可得:a=。 因?yàn)閤>1,a<0,可以判斷,1 從第(4)問中總結(jié)的方法是,求兩個圖像交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是求兩個表達(dá)式組成的方程組的解。用含x的代數(shù)式表示a,根據(jù)a和x的取值范圍,可以判斷縱坐標(biāo)的取值范圍。 這個題較前幾問,相對較難,學(xué)生沒有思路,啟而不發(fā)時,老師進(jìn)行講解,并進(jìn)行方法總結(jié)。只要尖子生能理解即可。 【課后作業(yè)】 課后作業(yè)是課本上《二次函數(shù)》的課后練習(xí)。我們對整章練習(xí)題按照知識點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié),相同知識點(diǎn)按題型進(jìn)行了歸納總結(jié),選出代表性的題作為課后作業(yè),讓學(xué)生再次回歸課本。原來計(jì)劃把這些練習(xí)題也進(jìn)行改編,但是考慮到不同學(xué)生,能掌握的知識點(diǎn)不同,自己的薄弱環(huán)節(jié)也不同,還是把獨(dú)立的練習(xí)讓學(xué)生練習(xí),讓學(xué)生充分體會課本是復(fù)習(xí)之源,所有的考題都來自于課本,綜合題高于課本。吃透砸實(shí)課本,才能在中考中立于不敗之地。 在平時的復(fù)習(xí)中,我們會根據(jù)章節(jié)總結(jié)知識點(diǎn),然后根據(jù)知識點(diǎn)編制例題,盡可能在一道題中,呈現(xiàn)更多的知識點(diǎn)。 例題中,前兩個小題有助于學(xué)生深刻理解和掌握反比例函數(shù)定義、表達(dá)式、圖像所在象限及增減性等基礎(chǔ)知識和各個基礎(chǔ)知識之間互相轉(zhuǎn)化的基本技能。在第(3)問中,綜合了銳角三角函數(shù)、菱形的性質(zhì),靈活考查了學(xué)生對解決“圖像經(jīng)過點(diǎn)”這一基本技能的掌握情況。第(4)中,綜合了圖像的平移,用一元二次方程根的判別式判斷圖像交點(diǎn)的情況,通過解一元二次方程求兩個圖像的交點(diǎn)坐標(biāo),以及比較兩個函數(shù)大小時自變量的取值范圍。后兩問的設(shè)置,能借助反比例函數(shù)與其它函數(shù)、圖形的結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力,形成建立函數(shù)模型,用數(shù)學(xué)方法思考問題、解決問題等核心素養(yǎng)。 前兩問為基礎(chǔ)知識,要求所有學(xué)生必須掌握的。課上關(guān)注學(xué)困生。后兩問相對較難,綜合性強(qiáng),中等及以上學(xué)生完成,交流結(jié)果后讓尖子生講解,發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)思維方式,及時發(fā)現(xiàn)思維問題或計(jì)算問題進(jìn)行糾正。 大處著眼,小處著手是我們的復(fù)習(xí)指南。我們會不斷努力,為提高學(xué)生的成績而努力。