摘要:數學教學的一個重要任務是教學生數學建模,即如何將實際問題轉化為數學問題,從而建立數學模型求解?!坝|礁、穿越、影響”等問題是生活中典型的實際問題,它們對應的數學實質是什么呢?本文通過實例分析、說明,歸納、介紹了這類問題的解題思路與方法。
關鍵詞:實際問題;數學思想;解法
在學習了勾股定理、直角三角函數等知識后,解題中不時會遇到輪船航行中會不會觸礁、修建高速公路會不會穿越保護區(qū)及大貨車通過某路段時其噪聲會不會影響學校教學等實際問題,學生由于不明白實際問題的數學意義,不能將“實際問題”轉化為“數學模型”,往往不知所措,不得不依依不舍地放棄。
仔細分析總結觸礁、穿越、影響等問題不難發(fā)現,雖然這些問題的表達形式不同,解題方法、過程也各有特點,但它們所蘊含的數學實質卻是一致的,那就是“兩理一法” 即“垂線段最短原理、勾股定理和比較法”的應用。只不過有的側重于“長度比較”,有的側重于“長度再應用”而已。同學們只要明白了這個實質,再掌握一些相關知識,如直角三角形性質(包括直角三角函數)、等腰三角形性等,解題時能綜合應用,困難就會迎刃而解了。下面舉例說明。
一、長度比較問題
這類問題的結論往往是:“會不會怎樣?”的問法,如會不會觸礁?能不能穿越?或會不會影響?等等實際問題,數學問題就是“長度比較”,即點到線的距離與已知半徑比較,本質是求直角三角形的邊長。方法一般是:首先,利用“垂線段最短”數學原理,過公園(或海島)所在位置(點)作前進方向線所在直線的垂線,利用勾股定理及三角函數等性質求出垂線段的長;然后,將垂線段長與公園半徑進行比較;第三,根據比較結果問答、解決問題,當垂線段長大于半徑時,不會的; 當垂線長不大于半徑時,會的。
例1、某地要修建東西走向的一條高速公路,工程行進到點A時,發(fā)現北偏東60的方向有一個小公園P,當公路修建向前推進10千米時到達點B時,測得公園正好在東北方向。中途由于資金問題高速公路修建停工了一年多,在此期間,隨著人們健康意識提高和當地黨委、政府的重視,小公園將擴建成半徑為的15千米的圓形“主題健身公園”,試問,復工后高速公路再修建會影響“主題健身公園”嗎?為什么?
分析:本題是一個實際問題,解決問題的關鍵是“會不會影響公園修建”這個實際問題對應的數學問題是什么呢?其實就是公路修建結束后公園還能不能按計劃修建,也就是公園中心到高速路的距離是不是比公園的計劃半徑大的問題。這就轉化成了“求點到直線的距離”,也就是求“長度”的數學問題了。
解:過點P作PC ⊥ AB,交AB的延長線于點C,如圖,由題意得,∠PCA=90°,
∠PAC=90°-60°=30°,∠PBC=45°,所以,BC=PC,AP=2PC,由勾股定理得:AC=PC.
因為AC-BC=AB,AB=10,所以,PC-PC=10,解得,PC=5(? +1)=13.66,因為13.66<15,所以,會影響公園修建。
二、影響時間問題
這類問題往往是在前面問題基礎上的進一步深化,數學實質是長度小于半徑時,求公園等目標點為頂點,底邊在前進方向線上腰長為公園半徑的特殊等腰三角形的底邊長,然后,再利用物理知識求時間。
例2、如圖,公路MN和PQ在點P處交匯,已知QPN=30,點A處有一所小學,AP=160米,假使拖拉機行駛時,周圍100米內會受到噪音影響,那么拖拉機在公路上沿PN方向行駛時,學校是否受到噪音影響?若受影響,已知拖拉機的速度為18千米/小時,那么學校受影響的時間是多少?
分析:學校教學受到影響的條件是點A到公路MN的距離小于100,這個問題的解決首先要求出AB的長,才能作出判斷;如果AB<100,就要考慮在直線MN上什么范圍內的點到A的距離不大于100.于是,轉化為研究特殊的等腰三角形底邊計算。
解:過點A作直線MN的垂線AB,垂足為B,如圖,由題意知,∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,所以,AB=80,BP=80,因為80<100,所以學校教學分受到影響。設拖拉機行進至點C時影響開始,到點D時影響結束,如圖,連接AC和AD。由題意得,AC=AD=100,而AB=80,所以由等腰三角形性質和勾股定理得BC=BD=60,所以CD=2BC=120,影響時間t=120/18=20/3小時=24秒。因此,學校受影響的時間是24秒。
作者簡介:婁金智(1965-)男,貴州余慶人,本科,中學高級教師,研究方向:初中數學教學與解題研究.