摘要：數學教學的一個重要任務是教學生數學建模，即如何將實際問題轉化為數學問題，從而建立數學模型求解?！坝|礁、穿越、影響”等問題是生活中典型的實際問題，它們對應的數學實質是什么呢？本文通過實例分析、說明，歸納、介紹了這類問題的解題思路與方法。

關鍵詞：實際問題;數學思想;解法

在學習了勾股定理、直角三角函數等知識后，解題中不時會遇到輪船航行中會不會觸礁、修建高速公路會不會穿越保護區(qū)及大貨車通過某路段時其噪聲會不會影響學校教學等實際問題，學生由于不明白實際問題的數學意義，不能將“實際問題”轉化為“數學模型”，往往不知所措，不得不依依不舍地放棄。

仔細分析總結觸礁、穿越、影響等問題不難發(fā)現，雖然這些問題的表達形式不同，解題方法、過程也各有特點，但它們所蘊含的數學實質卻是一致的，那就是“兩理一法” 即“垂線段最短原理、勾股定理和比較法”的應用。只不過有的側重于“長度比較”，有的側重于“長度再應用”而已。同學們只要明白了這個實質，再掌握一些相關知識，如直角三角形性質（包括直角三角函數）、等腰三角形性等，解題時能綜合應用，困難就會迎刃而解了。下面舉例說明。

一、長度比較問題

這類問題的結論往往是：“會不會怎樣？”的問法，如會不會觸礁？能不能穿越？或會不會影響？等等實際問題，數學問題就是“長度比較”，即點到線的距離與已知半徑比較，本質是求直角三角形的邊長。方法一般是：首先，利用“垂線段最短”數學原理，過公園（或海島）所在位置（點）作前進方向線所在直線的垂線，利用勾股定理及三角函數等性質求出垂線段的長;然后，將垂線段長與公園半徑進行比較;第三，根據比較結果問答、解決問題，當垂線段長大于半徑時，不會的; 當垂線長不大于半徑時，會的。

例1、某地要修建東西走向的一條高速公路，工程行進到點A時，發(fā)現北偏東60的方向有一個小公園P，當公路修建向前推進10千米時到達點B時，測得公園正好在東北方向。中途由于資金問題高速公路修建停工了一年多，在此期間，隨著人們健康意識提高和當地黨委、政府的重視，小公園將擴建成半徑為的15千米的圓形“主題健身公園”，試問，復工后高速公路再修建會影響“主題健身公園”嗎？為什么？

分析：本題是一個實際問題，解決問題的關鍵是“會不會影響公園修建”這個實際問題對應的數學問題是什么呢？其實就是公路修建結束后公園還能不能按計劃修建，也就是公園中心到高速路的距離是不是比公園的計劃半徑大的問題。這就轉化成了“求點到直線的距離”，也就是求“長度”的數學問題了。

解：過點P作PC ⊥ AB，交AB的延長線于點C，如圖，由題意得，∠PCA=90°，

∠PAC=90°-60°=30°，∠PBC=45°，所以，BC=PC，AP=2PC，由勾股定理得：AC=PC.

因為AC-BC=AB，AB=10，所以，PC-PC=10，解得，PC=5（? +1）=13.66，因為13.66<15，所以，會影響公園修建。

二、影響時間問題

這類問題往往是在前面問題基礎上的進一步深化，數學實質是長度小于半徑時，求公園等目標點為頂點，底邊在前進方向線上腰長為公園半徑的特殊等腰三角形的底邊長，然后，再利用物理知識求時間。

例2、如圖，公路MN和PQ在點P處交匯，已知QPN=30，點A處有一所小學，AP=160米，假使拖拉機行駛時，周圍100米內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路上沿PN方向行駛時，學校是否受到噪音影響？若受影響，已知拖拉機的速度為18千米/小時，那么學校受影響的時間是多少？

分析：學校教學受到影響的條件是點A到公路MN的距離小于100，這個問題的解決首先要求出AB的長，才能作出判斷;如果AB<100，就要考慮在直線MN上什么范圍內的點到A的距離不大于100.于是，轉化為研究特殊的等腰三角形底邊計算。

解：過點A作直線MN的垂線AB，垂足為B，如圖，由題意知，∠ABP=90°，∠APB=30°，AP=160，所以，AB=80，BP=80，因為80<100，所以學校教學分受到影響。設拖拉機行進至點C時影響開始，到點D時影響結束，如圖，連接AC和AD。由題意得，AC=AD=100，而AB=80，所以由等腰三角形性質和勾股定理得BC=BD=60，所以CD=2BC=120，影響時間t=120/18=20/3小時=24秒。因此，學校受影響的時間是24秒。

作者簡介：婁金智（1965-）男，貴州余慶人，本科，中學高級教師，研究方向：初中數學教學與解題研究.