施小山

[摘 ?要] 促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的大背景下，避免陷入“就題論題”的低效模式，筆者做了一些新的嘗試. 筆者認(rèn)為，我們需要拋開課型的規(guī)定形式，牢牢把握試卷講評的本質(zhì)，以能力培養(yǎng)為立意，以過程性教學(xué)為抓手打通學(xué)生的思維，以變式訓(xùn)練為抓手完成數(shù)學(xué)思想和方法的提煉和建構(gòu)，有的放矢地提升核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)試卷;講評課;核心素養(yǎng);培養(yǎng)

問題的提出

試卷講評課作為一種重要課型，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段占據(jù)著重要地位，其根本目的是鞏固知識、糾正錯(cuò)誤、提升能力和促進(jìn)反思. 由于高中數(shù)學(xué)抽象概括性強(qiáng)、選拔要求高，從而造成了學(xué)生數(shù)學(xué)成績上的巨大差異. 同樣的一節(jié)試卷講評課，倘若照顧到學(xué)困生，則易導(dǎo)致學(xué)優(yōu)生“吃不飽”;倘若就著學(xué)優(yōu)生，則易使得學(xué)困生“吃不下”. 如何解決這一困境？不少教師會采取中庸之道，以典型問題作為選題依據(jù)進(jìn)行實(shí)際講評，這樣的講評策略是否可行？筆者經(jīng)過一段時(shí)間的實(shí)踐后，發(fā)現(xiàn)這樣的講評方式下，一些不懂或做錯(cuò)的題目，學(xué)生都能認(rèn)真聽講，參與探究;而一些已懂或做對的題目，哪怕是教師多次強(qiáng)調(diào)解法的優(yōu)選，學(xué)生貌似都無法全神貫注地聽講，參與探究也是漫不經(jīng)心，從而錯(cuò)失反思和提升的機(jī)會.

新課程改革下，更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)性化和多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求，著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，從而依托課程模式開展教學(xué)改革嘗試，目的是改變傳統(tǒng)的試卷講評模式，提升試卷講評的針對性和精準(zhǔn)性，讓試卷講評實(shí)現(xiàn)育人模式的轉(zhuǎn)型. 下面以一次試卷講評課為載體，談?wù)劰P者對相關(guān)問題的理解.

教學(xué)片段實(shí)錄

問題1：如圖1，已知點(diǎn)O是△ABC的重心，AB=6，OA⊥OB，則·的值為________.

分析：一般來說，一切行為皆源于目的，而為了達(dá)到目的，需要采取一些有效方法. 高三復(fù)習(xí)中的試卷講評，目的是通過分析達(dá)到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)的目的. 本題并非試卷上最具典型性的一道試題，但卻是具有代數(shù)與幾何雙重性的代表問題. 不少學(xué)生在解題的過程中，只能從其中的一個(gè)方面著手解題. 筆者選擇該題作為講評典范的目的是為了通過講評充分暴露學(xué)生的思維，通過解決一道問題引領(lǐng)學(xué)生追根溯源，拓寬學(xué)生的思維空間，最終實(shí)現(xiàn)對一類問題的探究.

師：一般情況下，我們都是通過什么方法求向量數(shù)量積的？對于本題，在考試中你又是如何思考的呢？

生1：本題中，和的模與夾角都是未知的，那就需要從目標(biāo)向量的數(shù)量積著手進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 具體解法如下：如圖2，連接CO后延長，與AB相交于點(diǎn)D. 因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的重心，所以點(diǎn)D為AB的中點(diǎn). 又因?yàn)锳B=6，OA⊥OB，所以O(shè)D=3，所以O(shè)C=6. 從而·=（+）·（+）=·++·+2=·（+）+2=2·+2=72.

生2：我的思路與生1類似，但卻是通過關(guān)鍵性條件“和互為相反向量”來求解的. 解法如下：如圖2，連接CO后延長，與AB相交于點(diǎn)D. 因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的重心，所以點(diǎn)D為AB的中點(diǎn). 又因?yàn)锳B=6，OA⊥OB，所以O(shè)D=3，所以O(shè)C=6，DC=9. 從而·=（+）·（+）=·++·+2=·+（+）·+2=-9+0+81=72.

師：生1和生2均是通過平面向量的基本定理轉(zhuǎn)化為向量解題的，充分展現(xiàn)了化歸數(shù)學(xué)思想. 盡管是一般解法，但解題思路非常漂亮，其他同學(xué)都明白了嗎？還有其他的解題思路嗎？

生3：求解數(shù)量積的一般方法也包括將向量等式平方這一思路.

師：對，但又會是什么樣的向量等式呢？

生3：只有等號的一邊為和時(shí)，平方后才會得出·的形式. 解法如下：如圖2，連接CO后延長，與AB相交于點(diǎn)D. 因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的重心，所以點(diǎn)D為AB的中點(diǎn). 又因?yàn)锳B=6，OA⊥OB，所以O(shè)D=3，所以O(shè)C=6，DC=9. 據(jù)+=2，-=，平方后相減，可得4·=4×81-36=288，所以·=·=72.

師：生3較好地運(yùn)用了函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想完美地解決了問題，非常好！是否還有其他方法呢？

生4：建系.

師：如何操作呢？

生4：因?yàn)锳B的長度是已知的，所以可以以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建系. 又因?yàn)镺A⊥OB，所以點(diǎn)O在一圓上. 解法如下：以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 因?yàn)锳B=6，OA⊥OB，所以點(diǎn)O為圓x2+y2=9上的一點(diǎn). 又因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的重心，所以點(diǎn)C為圓x2+y2=81上的一點(diǎn). 設(shè)C（x，y），則有·=（x+3，y）·（x-3，y）=x2+y2-9=72.

師：向量的代數(shù)性主要表現(xiàn)在坐標(biāo)法上，而如何建系則是解決問題的關(guān)鍵所在. 生4牢牢把握了問題的本質(zhì)，充分運(yùn)用“垂直”與“重心”這兩個(gè)條件來解決問題，等于抓住了解題的命脈.

生5：建系的方法僅此一種嗎？這里有OA⊥OB，那直接以O(shè)A所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建系不是更好嗎？

生6：可OA和OB的長度都未知?。?/p>

生5：建系后一樣可以設(shè)求??！

師：那具體說一說解法.

生5：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建系. 設(shè)A（a，0），B（0，b），則有C（-a，-b），所以·=（-2a，-b）·（-a，-2b）=2（a2+b2）=72.

師：哇！這樣的建系方式更加完美地體現(xiàn)了坐標(biāo)法運(yùn)算的優(yōu)勢，非常棒！剛才這5位同學(xué)的解法從不同的角度闡釋了向量的數(shù)量積，為我們展現(xiàn)了豐富多彩的策略. 經(jīng)過本題的探求，你們是否對向量的數(shù)量積有了不同的認(rèn)識呢？事實(shí)上，在高考中，對于此類問題的考查難度不大，但也并非“一眼望穿”的類型，從而我們需要在最短的時(shí)間內(nèi)找準(zhǔn)方向，優(yōu)化解題路徑. 下面，我們一起來看看大家是否能真正做到既快又準(zhǔn)地解題.

問題2：已知△ABC中，S△ABC=，BC=2，AC-AB=1，則·=________.

解法1（坐標(biāo)法）：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線所在直線為y軸建系，則B（-1，0），C（1，0）. 設(shè)A（x，y）在x軸上方，據(jù)AC-AB=1<2，得出點(diǎn)A的軌跡為4x2-=1x<-. 據(jù)S△ABC=·2·y=，可得y=，x=-，所以·=（-1-x，-y）·（1-x，-y）=x2+y2-1=+3-1=.

解法2（定義法）：設(shè)AB=x，則AC=x+1，cosA==，sinA==. 又因?yàn)镾△ABC=x（x+1）sinA=·==，則4x2+4x-19=0. 所以·=·cosA=x（x+1）·==.

評析：筆者覺得尋求問題的最優(yōu)解法是解決問題通性通法的必要條件. 在解決問題2時(shí)，不少學(xué)生在運(yùn)用定義法求解的過程中沒有做到一氣呵成，原因在于當(dāng)解決到sinA=時(shí)，不少學(xué)生已經(jīng)提前預(yù)知后面的過程過于煩瑣，從而喪失了探求欲望，最終導(dǎo)致解題失敗. 從上述兩種解法看出，盡管問題都得以解決，但從解題過程的簡潔性出發(fā)，坐標(biāo)法的確優(yōu)于定義法，所以教學(xué)中需要注重過程，將發(fā)現(xiàn)簡潔解法的機(jī)會大智若愚地讓給學(xué)生，從而使得學(xué)生的思維不斷發(fā)散.

啟示與思考

試卷講評課中，學(xué)生最為關(guān)注的是試題的對與錯(cuò)，而并非教師的講評過程，從而“就題論題”講評在高三數(shù)學(xué)試卷講評課中是最不可取的. 據(jù)上分析，我們需要牢牢把握試卷講評的本質(zhì)，以能力培養(yǎng)為立意，借助適當(dāng)?shù)淖ナ痔嵘龑W(xué)生的思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)育人模式的轉(zhuǎn)型.

1. 以過程性教學(xué)為抓手，打通學(xué)生的思維

在過程中打通思維，本質(zhì)上就是通過過程性教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的分析能力. 那么，如何注重過程呢？又該如何有效地實(shí)施有過程性的講評教學(xué)呢？筆者認(rèn)為，最重要的是需要充分展示學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生及時(shí)暴露思維的“閃光點(diǎn)”和存在的問題，從而促使思維不斷深入. 本課中，教師關(guān)注到講評的過程，從學(xué)生的具體學(xué)情出發(fā)靈活調(diào)控教學(xué)過程，將課堂教學(xué)的主體地位交還給學(xué)生，將質(zhì)疑問難的權(quán)利交給學(xué)生，將發(fā)掘多種多樣解法的專利讓給學(xué)生，將切身體會分析過程的機(jī)會留給學(xué)生，讓學(xué)生在經(jīng)歷審題、思考、糾結(jié)、疑惑、頓悟等一系列過程中，有效地建立思想、發(fā)展思維和形成能力.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)終究離不開解題的本質(zhì)，由于解題方法的優(yōu)化往往要求較高的思維品質(zhì)，因此通過一題多解、一法多思等，有利于提升學(xué)生的思維強(qiáng)度和思維層次，完善思維品質(zhì).

2. 以變式訓(xùn)練為抓手，完成數(shù)學(xué)思想和方法的提煉和建構(gòu)

思想是方法的源泉，而方法形成于思想的指導(dǎo)下. 那么，何來思想？筆者認(rèn)為，需要在教學(xué)的過程中自然滲透并借助適當(dāng)?shù)淖ナ诌M(jìn)行總結(jié)和反思，形成遷移能力. 心理學(xué)認(rèn)為，一些行為在初步形成時(shí)需要及時(shí)強(qiáng)化，否則即會消退. 本課中，對于這個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們將解法分析得十分清楚和透徹，并及時(shí)以變式訓(xùn)練為抓手進(jìn)行強(qiáng)化，于是既有了總結(jié)，又有了概括、提煉和整合，從而便有了升華，學(xué)生自然洞察了其本質(zhì)，形成了遷移能力.

就這樣，從一個(gè)問題出發(fā)，讓一個(gè)或幾個(gè)問題得到解決，使學(xué)生獲得解決一類問題的通法，從而形成數(shù)學(xué)“習(xí)題鏈”，促成數(shù)學(xué)“習(xí)題網(wǎng)”，最終提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的收益率.

總之，高三數(shù)學(xué)試卷講評需打破傳統(tǒng)教學(xué)中“就題論題”的束縛，不斷挖掘數(shù)學(xué)精髓，通過過程性探究打通學(xué)生的思維，通過變式訓(xùn)練完成數(shù)學(xué)思想和方法的提煉和建構(gòu)，將知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、智力的發(fā)展有機(jī)統(tǒng)一起來，提升學(xué)生的思維層次和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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