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        基于積極學(xué)習(xí)心理培養(yǎng)的“集合的概念”教學(xué)

        2021-03-19 22:42:17管軍
        關(guān)鍵詞:集合概念核心素養(yǎng)

        管軍

        [摘 ?要] 好的開始等于成功的一半!“集合的概念”是高中數(shù)學(xué)的開篇課,是學(xué)生步入高中最先學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容,集合的概念及其表示方式也是貫穿高中數(shù)學(xué)始終的重要知識,“開篇有益”對學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響深遠(yuǎn),好的“開篇”應(yīng)該催生出積極學(xué)習(xí)心理,幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀念和思維方式.

        [關(guān)鍵詞] 集合;概念;積極學(xué)習(xí)心理;核心素養(yǎng)

        “集合的概念”是學(xué)生步入高中的第一節(jié)課,同時(shí)集合又是貫穿高中數(shù)學(xué)始終的重要概念. “一個(gè)健全的心態(tài)比一百種智慧更有力量!”筆者認(rèn)為,我們高中數(shù)學(xué)第一堂課除了要讓學(xué)生習(xí)得集合的概念外,還應(yīng)該注重培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維方式和積極學(xué)習(xí)心理. 問題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)盡可能從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容出發(fā),消除“陌生感”,搭好“腳手架”,讓學(xué)生在第一節(jié)課就能體驗(yàn)到探究的樂趣和成功的喜悅,形成正面力量,讓他們對學(xué)好整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生期待,繼而更早地適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

        消除“陌生感”,催生積極學(xué)習(xí)心理

        理解教學(xué)內(nèi)容,把脈學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)是上好課的前提. “集合的概念”是學(xué)生從初中走向高中的開篇課,“集合”是一種數(shù)學(xué)語言,因此也是學(xué)生跨越初中、高中后“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的開始,新教材在情境的設(shè)置上做到了準(zhǔn)確定位,有效銜接,能夠讓學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)感到既熟悉、有趣,又有深度,在理解概念的過程中消除知識陌生感,催生積極學(xué)習(xí)心理[1].

        教材的設(shè)置從初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中容易完成的“作業(yè)”出發(fā),展現(xiàn)了一堆數(shù)字,有“正數(shù)集合”“負(fù)數(shù)集合”“整數(shù)集合”“分?jǐn)?shù)集合”,讓學(xué)生將數(shù)填到對應(yīng)的“集合”中. 教材中的例題情境設(shè)置的目的是指導(dǎo)教師在選擇教學(xué)內(nèi)容時(shí)可以從學(xué)生熟悉的,尤其是體驗(yàn)過的,有成就感的數(shù)學(xué)內(nèi)容出發(fā),消除學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的陌生感. 同時(shí),自然生成問題.

        問題1:生活中我們還有哪些與“整數(shù)集合”相似的例子?

        學(xué)生可以列舉質(zhì)數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、實(shí)數(shù)等數(shù)學(xué)知識;也可以列舉諸如:家庭成員,班級男生、女生等例子. 這些例子的呈現(xiàn)不僅僅是簡單的模仿,而是在為抽象的“集合”概念建立提供感性認(rèn)知基礎(chǔ),同時(shí)自然聯(lián)系到“對象”“元素(元)”等次位概念.

        問題2:什么是集合?

        由“整數(shù)集合”到生活中的實(shí)例,讓學(xué)生對“集合”概念初步的認(rèn)識顯得格外自然,從開始呈現(xiàn)的“初中作業(yè)”出發(fā),聯(lián)系到“Venn圖”表示法(如圖1)(這一過程能夠讓學(xué)生看到直觀的“Venn圖”,而且讓學(xué)生感受到初中對其就熟悉只是不知其名而已),由此自然生成“有沒有更為簡明的數(shù)學(xué)語言表述呢?”這也為學(xué)生深度理解“一個(gè)且只有一個(gè)”的“確定性”本質(zhì)特征做了鋪墊.

        與老教材相比,新教材在“集合”概念的建立上顯得直接且更具有數(shù)學(xué)味. 不過,這不是讓我們教師直接拋出概念,而是要在第一課就讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)是“理性與抽象的結(jié)合物”,一個(gè)概念的建立必然會經(jīng)歷從“分析具體對象”到“抽象數(shù)學(xué)概念”過程,在此過程中體悟數(shù)學(xué)思想,如“集合”概念的建立就滲透著整體思想(集合是一個(gè)整體,已暗含“所有”“全部”). 聯(lián)系“初中數(shù)學(xué)概念”讓學(xué)生感悟到“數(shù)學(xué)概念”都是一些“對象”的集合,且揭示出集合內(nèi)“對象(元)”的共同屬性. 而概念建立過程中讓學(xué)生類比著列舉生活中的例子(通過列舉可以讓學(xué)生感受到“對象”的廣泛性,即可視化的任何事物都可以成為“元素”),是豐富感性認(rèn)識的過程,有利于學(xué)生對“集合”“元素”等概念的認(rèn)識.

        撘好“腳手架”,靜待素養(yǎng)自然生長

        有效的學(xué)習(xí)一定是學(xué)生有意義自主建構(gòu)的過程. 而學(xué)生從初中剛剛步入高中,自主建構(gòu)不應(yīng)該是“無根”生長的狀態(tài). “集合的概念”這節(jié)課不僅僅只有“集合”這個(gè)概念,而是“概念組”課. 在“集合”的主概念下不僅有開始導(dǎo)入新課時(shí)的一系列“數(shù)集”,還涉及“元素”“相等集合”“子集”“補(bǔ)集”“空集”“有限集”“無限集”等概念,另外在概念建立的過程中還涉及諸多數(shù)學(xué)方法. 那么,如此多的內(nèi)容在高中的第一節(jié)數(shù)學(xué)課上出現(xiàn),在學(xué)生對“集合”有了初步的認(rèn)識后,如何組織學(xué)生深度學(xué)習(xí)呢?筆者認(rèn)為“灌輸”或“一問到底”均難以達(dá)到促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)長足發(fā)展的要求,相反可能會導(dǎo)致部分學(xué)生因?yàn)轶w驗(yàn)不足被“當(dāng)頭一棒”,甚至?xí)T發(fā)“習(xí)得性無助”繼而怕數(shù)學(xué). 高中數(shù)學(xué)起始階段教學(xué)正確的做法是結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)搭好“腳手架”,引領(lǐng)學(xué)生拾級而上,在實(shí)踐和解決具體的問題中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的自然生長[2].

        如,我們通過預(yù)設(shè)問題和適當(dāng)引導(dǎo)給學(xué)生搭建“腳手架”,啟發(fā)學(xué)生在分析和解決問題的構(gòu)成中自主歸納集合中元素的特征;教會學(xué)生用“列舉法”“描述法”描述集合;用具體的例題促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化“元素與集合的關(guān)系”.

        環(huán)節(jié)1:自主歸納集合中元素的特征

        問題1:如果把咱們班全體同學(xué)看作一個(gè)集合,那么某次調(diào)整位置后該集合變化了嗎?

        問題2:下列各組對象能夠構(gòu)成集合的是哪些?(1)所有接近于0的數(shù);(2)全體的近似值;(3)平面內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離等于1的所有的點(diǎn).

        借助于問題串引導(dǎo)學(xué)生在分析問題的過程中感受集合中的元素具有“確定性”(用于判斷元素是否組成集合的依據(jù))、“無序性”(判斷集合是否發(fā)生變化的依據(jù))、“互異性”等特征. 在學(xué)生弄清楚集合中元素的特征后,自然生成問題.

        問題3:如何簡明表示元素和集合的確定性關(guān)系呢?

        教師先引導(dǎo)學(xué)生用a∈A與a?埸A刻畫某元素a與集合A之間的關(guān)系,然后在此基礎(chǔ)上提出具體的問題促進(jìn)概念內(nèi)化.

        問題4:若x為集合A中的元素且滿足x∈N,∈N,則A中的元素有哪些?

        問題4是在問題3認(rèn)知基礎(chǔ)上的延展,學(xué)生要解決問題4需要進(jìn)行定量計(jì)算,探究易得A中的元素為0,1,2. 問題結(jié)果自然催生出新的認(rèn)知需求,即如何表示集合A呢?借此可以向下一個(gè)環(huán)節(jié)自然銜接.

        環(huán)節(jié)2:制造認(rèn)知沖突讓“集合表示方法”自然生長

        問題4的解決實(shí)際上就是“列舉”,借此介紹問題4中的集合可以用A={0,1,2}表示,自然銜接到用“列舉法”表示集合(觀察總結(jié)出“一一列舉”“大括號”“逗號隔開”等特征). 接下來,可以以此為基礎(chǔ)繼續(xù)搭建腳手架,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知生長.

        問題5:請同學(xué)們嘗試表示下列集合,

        (1)在1~20范圍內(nèi)所有素?cái)?shù)組成的集合B;

        (2)由方程x2=x所有的實(shí)數(shù)根組成的集合C;

        (3)不等式x-3<7的解集D.

        對于問題5中的(1)(2)是在學(xué)習(xí)了“列舉法”后的方法應(yīng)用,學(xué)生可以用列舉法得到B={2,3,5,7,11,13,17,19};C={0,1}. 但是對于(3)的集合D,學(xué)生沒辦法用列舉法表示了,認(rèn)知沖突形成,在建立“描述法”概念前,可以適當(dāng)追問引發(fā)學(xué)生自主總結(jié)和歸納出“描述法”.

        追問1:集合D中的元素有什么性質(zhì)?元素和集合之間的關(guān)系如何表示呢?

        教師先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清“共同特征”,歸納出一般的描述法{xp(x)}并完成問題5中的(3);再以此為基礎(chǔ)繼續(xù)追問,引導(dǎo)學(xué)生在思考過程中實(shí)現(xiàn)認(rèn)知范圍的發(fā)展.

        追問2:所有整數(shù)的集合、偶數(shù)的集合、奇數(shù)的集合、有理數(shù)的集合如何表示呢?

        追問3:你認(rèn)為用描述法表示時(shí),注意點(diǎn)有哪些呢?

        學(xué)生認(rèn)知是螺旋式發(fā)展的,“描述法”表示集合本身就是本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn),教學(xué)過程中不應(yīng)急于求成,而要低起點(diǎn)、慢節(jié)奏、高密度設(shè)置臺階,靜待學(xué)生認(rèn)知自然生長,體現(xiàn)“慢”的藝術(shù). 借助于上述追問,學(xué)生通過交流與討論可以總結(jié)出用描述法表示的多個(gè)關(guān)注點(diǎn):要寫清楚集合中元素的符號,如明晰點(diǎn)或數(shù);要明確集合中元素的共同特征;不可以用未被說明的字母表示等等. 接著趁熱打鐵,用具體的數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生解決問題,獲取成功體驗(yàn),催生積極心理品質(zhì),力求高達(dá)成[3].

        問題6:請用描述法表示,

        (1)大于4的所有偶數(shù)的集合;({xx=2n,n∈Z且n≥3})

        (2)第一象限內(nèi)所有的點(diǎn)的集合. ({(x,y)x>0,y>0})

        問題6的“腳手架”設(shè)置是前面3個(gè)追問的深度挖掘和延展,學(xué)生對描述法有了更為深刻的理解,此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)出用描述法表示集合的具體步驟. 這實(shí)際上是學(xué)生掌握“數(shù)學(xué)語言”的體現(xiàn),在高中數(shù)學(xué)的第一節(jié)課教師就幫助學(xué)生樹立了“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的意識,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生建模意識、提煉解決問題方法的意識,這無疑是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的一個(gè)良好開端.

        環(huán)節(jié)3:綜合性問題引導(dǎo)學(xué)生跳著摘桃

        前面兩個(gè)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生積攢了足夠的能量和經(jīng)驗(yàn),最后可以嘗試著結(jié)合學(xué)生的學(xué)情,從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設(shè)置具有一定綜合性、能力要求較高的問題,要求學(xué)生跳一跳摘桃. 學(xué)生在解決復(fù)雜的綜合性問題的過程中獲得更大的成就感,從第一節(jié)課便開始注重培養(yǎng)自身的積極學(xué)習(xí)心理[4].

        問題7:已知非空集合A滿足以下條件:若a∈A,則∈A,且1?埸A.

        (1)若2∈A,試著分析并求出集合A中的其他元素;

        (2)求證:若a∈A,則∈A;

        (3)求證:集合A中的元素個(gè)數(shù)大于等于3.

        問題7的解決指向集合與元素的綜合關(guān)系,三個(gè)子問題的設(shè)置指向本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容,該問題的解決既是對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一種檢測,也是促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化所學(xué)知識的載體.

        當(dāng)然,有效的“腳手架”一定是具有延展性的,如問題4中的集合A和問題5中的集合B與集合C可以作為下節(jié)課相關(guān)概念的“熟悉情境”,讓學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念之間的脈絡(luò),為形成集合單元的思維導(dǎo)圖打?qū)嵒?,探索積極學(xué)習(xí)心理的路徑,培植他們探索“未知”的信念,為實(shí)現(xiàn)“興趣是最好的老師”做實(shí)基本實(shí)踐.

        結(jié)語

        筆者認(rèn)為:萬事開頭難,因此教師在教學(xué)集合單元第一課時(shí),一定要認(rèn)真研究學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平,在備課環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)學(xué)生熟悉的或是學(xué)生可能在課堂中生成的事例,以方便學(xué)生真實(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念建立的過程,讓每個(gè)學(xué)生都可以通過獨(dú)立思考并結(jié)合生生、師生合作學(xué)習(xí)獲得新知,催生他們的積極學(xué)習(xí)心理. 課后筆者再運(yùn)用訪談、配套練習(xí)檢驗(yàn)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效果,幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的閉環(huán),同時(shí)培植學(xué)生深度學(xué)習(xí)的原動(dòng)力. 為了讓“均衡教育”真正落地,教師必須扣緊學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的“第一顆扣子”.

        參考文獻(xiàn):

        [1] ?陳婧亭.如何將操作經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)[J]. 教育實(shí)踐與研究,2012(1A).

        [2] ?湯炳興. 在概念教學(xué)中“學(xué)數(shù)學(xué)做數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2002,11(4).

        [3] ?王光明,佘文娟,廖晶,王兆云. 高效率數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高中生的元認(rèn)知特征及其教學(xué)意義[J]. 教育科學(xué)研究,2017(4).

        [4] ?王光明,張曉敏,王兆云. 高中生高效率數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智力特征研究[J]. 教育科學(xué)研究,2016(3).

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