王芳

[摘 要]梯形面積公式除了用于計算梯形面積，也可以看成是計算三角形、平行四邊形面積的通用公式，還與等差數(shù)列有關(guān)。引導(dǎo)學(xué)生深度閱讀，構(gòu)建不同知識之間的關(guān)聯(lián)，最終達(dá)到對梯形面積公式的深度理解。

[關(guān)鍵詞]梯形面積公式;數(shù)學(xué)閱讀;深度理解

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0014-03

梯形的面積公式是小學(xué)五年級上冊“多邊形的面積”單元的最后一個面積計算公式，是由平行四邊形的面積公式推導(dǎo)而來。這個公式除了有計算梯形面積的作用，也可以看成是計算三角形、平行四邊形面積的通用公式，還與等差數(shù)列有完美的數(shù)形結(jié)合。走向思維通透的數(shù)學(xué)閱讀，通過引導(dǎo)學(xué)生深度閱讀公式，幫助學(xué)生深度理解梯形面積公式。

一、回顧意義，聯(lián)想結(jié)構(gòu)

師：同學(xué)們，今天老師和大家共同編寫一份數(shù)學(xué)報，這份報紙的名字是“數(shù)學(xué)大觀園——梯形面積公式專版”。首先讓我們一起走進(jìn)“知識導(dǎo)讀”專欄（如圖1）。從這份導(dǎo)讀中，你讀到了什么？

生1：我讀到了梯形的面積公式以及字母表達(dá)式。

生2：我認(rèn)為可以增加一些梯形面積公式的推導(dǎo)過程，這樣就可以清楚地看出公式的由來。

師：你們都說得有理有據(jù)。還記得這個公式是怎么推導(dǎo)出來的嗎？

生3：找一個和它完全一樣的梯形拼在一起變成一個平行四邊形，平行四邊形的底就是梯形的上底與下底之和，平行四邊形的高就是梯形的高，平行四邊形的面積除以2就是梯形的面積。

師（出示圖2）：想一想，為什么要把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形來推導(dǎo)面積公式呢？

生4：從圖上看，原來梯形每排面積單位的個數(shù)是不相等的，如果兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形后，每排面積單位的個數(shù)就相等了，這時我們可以很快算出平行四邊形的面積，再除以2就可以知道一個梯形的面積。

師：在這份報紙里還能編寫什么內(nèi)容？

生5：還能編寫有關(guān)梯形面積計算的實際問題。

生6：不僅可以編寫一些常規(guī)問題，還可以編寫一些比較特殊的問題。

【設(shè)計意圖：對于梯形面積公式的閱讀，首先給出公式，讓學(xué)生由公式聯(lián)想到了公式背后的推導(dǎo)過程;然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合運(yùn)算的意義理解為什么要這樣推導(dǎo)，尋找推導(dǎo)的依據(jù);最后，讓學(xué)生結(jié)合原有的經(jīng)驗，聯(lián)想與梯形面積公式相關(guān)的知識，先整體把握數(shù)學(xué)報的結(jié)構(gòu)，形成思維的脈絡(luò)，然后與預(yù)定的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對接，提升學(xué)生的閱讀能力和思維水平。】

二、建立聯(lián)系，把握本質(zhì)

師（出示圖3）：這是“數(shù)學(xué)大觀園”第二版，自己讀一讀。

生1：梯形上底不斷縮小，就變成了一個三角形。這個三角形可以看成一個上底是0的梯形，所以三角形的面積也可以運(yùn)用梯形的面積公式來計算。

師（出示一個三角形）：給這個三角形標(biāo)上數(shù)據(jù)，你能用三角形面積公式和梯形面積公式分別算出這個三角形的面積嗎？

生2：計算得到的結(jié)果是相同的，但是用三角形面積公式計算三角形的面積更加方便。

生3：如果用梯形面積公式計算三角形的面積，那么“三角形的面積=（0+底）×高÷2”，“0+底”還是底，回到了“三角形的面積=底×高÷2”。用梯形面積公式計算三角形的面積也就是相當(dāng)于用一個沒有化簡的公式在計算。

師：為什么平行四邊形也可以用梯形面積公式來計算呢？

生4：把梯形的上底拉成和下底一樣長，得到的平行四邊形就相當(dāng)于一個上底和下底都相等的梯形。

師（出示一個平行四邊形）：標(biāo)上數(shù)據(jù)，你能分別用梯形面積公式和平行四邊形面積公式來計算平行四邊形的面積嗎？

生5：用兩種公式都能算出結(jié)果，但是用平行四邊形面積公式計算平行四邊形的面積更方便。如果用梯形面積公式來算平行四邊形的面積，那么“平行四邊形的面積=（底+底）×高÷2”，“底+底”是2個底，2個底除以2等于1個底，化簡后還是原來的平行四邊形面積公式。

【設(shè)計意圖：給學(xué)生一份完整的閱讀材料，學(xué)生在閱讀時通過圖形的變化過程理解梯形面積公式與平行四邊形面積公式、三角形面積公式之間的聯(lián)系，最后通過計算發(fā)現(xiàn)，雖然用梯形面積公式可以計算三角形和平行四邊形的面積，但是運(yùn)用對應(yīng)的三角形和平行四邊形的面積公式計算更加方便。在化簡的過程中，學(xué)生從代數(shù)的角度看到本質(zhì)，構(gòu)建了不同公式之間的聯(lián)系?！?/p>

三、聯(lián)想問題，豐富認(rèn)識

師：根據(jù)梯形面積公式想到了三角形和平行四邊形的面積公式，你還能聯(lián)想到什么問題呢？自己當(dāng)一回小編輯，試著編一道有關(guān)梯形面積公式的實際問題。

展示學(xué)生作品：

師：如果你是主編，你愿意選用哪一份給小讀者閱讀呢？為什么？

生1：我選鋼管問題，這道題看起來好像與梯形面積公式無關(guān)，其實有很大的聯(lián)系。因為這個鋼管堆起來后，橫截面就是一個近似的梯形。

師：如果要給這一板塊取個名字，可以是什么？

生2：這里是把鋼管堆成梯形，我們可以取名為“堆砌問題”專欄。

師：說得有道理！在堆砌問題中，除了像鋼管這樣橫截面是圓形的，還可以是其他圖形嗎？

生3：還可以是三角形、長方形、正方形、五邊形等。

師（出示圖5）：想法真不錯！這里一共有多少塊磚？你能夠算一算嗎？

師：為什么這些問題都與梯形的面積公式有關(guān)呢？（學(xué)生回答略）

生4：這些圖案樣子都近似梯形，所以可以像梯形面積公式的推導(dǎo)過程那樣，再找一堆完全一樣的，旋轉(zhuǎn)后拼在一起，這時就能把不相等的每排磚塊數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的。

生5：剛才借助梯形面積公式算出了總個數(shù)，那么總個數(shù)也可以用一個式子來表示，總個數(shù)=（頂層的個數(shù)+底層的個數(shù)）×層數(shù)÷2。

師：你們真厲害，從堆砌問題中聯(lián)想到了總個數(shù)和梯形面積公式之間的聯(lián)系。

【設(shè)計意圖：對于梯形面積公式的閱讀，學(xué)生不僅要能夠利用公式求出有關(guān)梯形的面積，還要能夠理解推導(dǎo)過程的本質(zhì)，解決與此相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。在上述教學(xué)中，首先讓學(xué)生聯(lián)想梯形面積公式可以解決哪些實際問題，篩選出高度相關(guān)的實際問題后，從圖形的整體形狀把握其相關(guān)性;然后，進(jìn)一步聯(lián)想，讓學(xué)生從橫截面是圓想到了還可能是其他圖形，并從計算的過程中理解這里思考的過程與推導(dǎo)梯形面積公式的本質(zhì)過程是相同的;最后，根據(jù)梯形面積公式創(chuàng)造計算總個數(shù)的面積公式，讓學(xué)生的閱讀從淺顯走向深入，讓學(xué)生對梯形面積公式的認(rèn)識由特殊走向一般?！?/p>

四、數(shù)形結(jié)合，拓展認(rèn)識

師：在編輯報紙的過程中，老師收到了一份特別的稿件（如圖6），這位同學(xué)想把這道算式也放到這張報紙里，你們同意嗎？

生1：我同意！可以把這一列數(shù)想象成梯形，像梯形面積公式推導(dǎo)那樣，找一串同樣的數(shù)，排成上下兩行（如圖7），這樣上下兩個數(shù)就形成一對：1+9，2+8，3+7，…，9+1。一共有9對，每一對的和都是10。

生2：根據(jù)他的方法，可列式為（1+9）×9÷2= 45。雖然它們的和都是10，1+9，2+8，3+7，…，9+1，這些算式的和都相同，但是找1和9相加更加方便。

師：有道理，為了統(tǒng)一和研究方便，我們找一組具有代表性的，用第一個數(shù)與最后一個數(shù)相加的和表示。

師：像1+2+3+…+9這樣的一列數(shù)有什么特點呢？能夠再舉出這樣的例子，用剛才的方法來算一算嗎？

生3：我舉的例子是2+4+6+8+…+100，或者13+16+19+22+…+33，這些數(shù)和剛才的一列數(shù)相同，它們相鄰兩個數(shù)的差都相等。

師：相鄰兩個數(shù)的差都相等的數(shù)列叫等差數(shù)列。

師：這列數(shù)的計算結(jié)果和計算梯形的面積有什么聯(lián)系？

生4：我發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的計算過程和推導(dǎo)梯形面積公式的過程是相同的。推導(dǎo)梯形面積公式是找一個完全相同的梯形和原梯形拼成平行四邊形，這樣每排面積單位的個數(shù)相等。而這里是找一列和它完全相同的數(shù)，倒過來排，上下兩個數(shù)作為一組，這樣每組數(shù)的和都相等。

師：你找到了它們相同的地方。你認(rèn)為等差數(shù)列的和可以怎樣求呢？

生5：可以用“（第一個數(shù)+最后一個數(shù)）×個數(shù)÷2”算出等差數(shù)列的和。

【設(shè)計意圖：在上述教學(xué)過程中，讓學(xué)生根據(jù)算式自主探究，找尋解決問題的不同方法。在學(xué)生找到了這列數(shù)的計算方法后，進(jìn)一步拓展學(xué)生的認(rèn)識，讓學(xué)生再舉出類似的數(shù)列，找到這些數(shù)列之間的聯(lián)系，并嘗試計算數(shù)列的和。在找到計算方法后，讓學(xué)生找出計算等差數(shù)列與梯形面積公式之間的聯(lián)系，并且根據(jù)梯形的面積公式找個性化的表達(dá)等差數(shù)列的計算公式。這樣，一方面加深了學(xué)生對梯形面積公式的認(rèn)識，另一方面讓等差數(shù)列的計算也找到了形的依附，溝通了數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)?！?/p>

五、歸納提煉，遷移運(yùn)用

師：今天再次閱讀梯形面積公式，說說你有什么收獲。

生：以前我只知道運(yùn)用梯形面積公式計算梯形的面積，現(xiàn)在我知道梯形面積公式不僅可以計算梯形的面積，還可以計算平行四邊形的面積、三角形的面積，還可以求出一堆橫截面近似梯形的物體的個數(shù)，以及求等差數(shù)列的和。

師：數(shù)學(xué)就是這樣，可以由一個知識點聯(lián)想到許多有關(guān)聯(lián)的知識。如果讓你繼續(xù)想下去，還能想到什么？

……

師：如果從長方形面積公式想起，你能想到什么呢？從長方形周長公式想起，你又能想到什么呢？

【設(shè)計意圖：通過閱讀梯形面積公式，讓學(xué)生聯(lián)想到一系列和面積公式有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識，建立了以梯形面積公式為中心的知識網(wǎng)絡(luò)，達(dá)到對梯形面積公式的深度理解。課末，對本課的學(xué)習(xí)進(jìn)行總結(jié)與提升，讓學(xué)生將本課學(xué)到的閱讀方法遷移運(yùn)用到對其他知識的閱讀中，達(dá)到對其他知識的深度理解。】

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃“普教立項課題”“小學(xué)數(shù)學(xué)‘為思維通透而教’課堂模式孵化實踐研究”（課題編號：D/2018/02/17）的研究成果?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）