鄭瑄 施嘉婷

摘要：教學浙教版初中數學八年級下冊第3章《數據分析初步》時，融合教材中“平均數”“中位數和眾數”“方差和標準差”這三節(jié)的基本內容，整體設計并實施了新授課《數據的集中趨勢和離散程度》，嘗試落實基于學生、指向素養(yǎng)的教學理念。具體表現為：循循善誘，讓學生能學;富有趣味，讓學生想學;具有整體性，讓學生會學;具有現實性，讓學生能用。

關鍵詞：基于學生;指向素養(yǎng);集中趨勢;離散程度;單元整體教學

相對于以往傳統的教學，21世紀以來不斷深化的課程改革，特別強調兩個教學理念：一是基于學生，即以學生為主體，讓學生“學得進”，能學、想學;二是指向素養(yǎng)，即立德樹人、學科育人，讓學生“帶得走”，會學、能用。當然，如果進一步分析兩者關系的話，那么可以說，讓學生主體卷入學習是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的基礎。

這兩個理念比較上位，做起來并不容易。教學浙教版初中數學八年級下冊第3章《數據分析初步》時，融合教材中“平均數”“中位數和眾數”“方差和標準差”這三節(jié)的基本內容，整體設計并實施了新授課（也是起始課）《數據的集中趨勢和離散程度》，嘗試落實上述兩個教學理念。

一、教學過程與點評

（一）交談暖場

師親愛的同學們，大家好！老師的名字中有個“瑄”字，這個“瑄”是帶王字旁的，那么三點水的渲是什么渲呢？

生渲染的渲。

師對的。日字旁的暄是什么暄呢？

生寒暄的暄。

師草字頭的呢，知不知道？

（學生思考，沒有答案。）

師是萱草的萱?；鹱峙缘撵邮切稳輾鈩萏貏e強盛的煊赫的煊。當然，還有什么偏旁都不帶的，是宣傳的宣。老師這個瑄是帶王字旁的，《新華字典》中說是古時候用來祭天的六寸大璧。

[點評：教師巧用自己的名字開場，通過不斷變換偏旁，拉近與學生的關系，增進與學生的互動，吸引學生的注意。在讓學生明白不同偏旁的文字適用于不同的情形，感受到漢語言文字的博大精深的同時，為后續(xù)環(huán)節(jié)引入并解釋不同情境下平均數的不同名稱做好類比的鋪墊。]

（二）復習引入

師最近，我們一直在研究數與代數、圖形與幾何領域的內容。今天，我們進入另一個領域——統計與概率。其實在七年級的時候，大家學過的數據的收集和整理就是統計與概率的內容。今天，老師將帶領大家再次涉足這個領域。（板書“數據的集中趨勢和離散程度”）老師慢慢地寫了這些字，大家一定是在看這里面的兩個詞：集中趨勢、離散程度。似乎沒見過吧？這兩個詞正是統計學的專有名詞。如果同學們對這兩個詞不大清楚的話，我再寫一個詞，你們肯定知道。（板書“平均數”）我找一個簡單的問題，讓大家算一算平均數。（PPT呈現表1）有一個叫小山的同學，一個禮拜下來，他的睡眠時間是這樣的。觀察這組數據，問題非常簡單：平均數等于多少？是怎么算出來的？

生平均數是8，把它們加起來再除以全部的數。

師能不能具體點？加誰？除以什么？

生8+9+7+9+7+8+8再除以7。

師你算得那么快，是把8+9+7+9+7+8+8都算出來再除以7的嗎？（問另一位學生）你覺得他是怎么算的？

生把8記為0，把7記為-1，這樣算。

師把8記為0，把7記為不夠的-1，這樣就得到一批小數據。你們都是這樣做的？有沒有有點新意的？

（學生沉默。）

師在小學，老師確實說過，把所有的數加起來再除以它的個數，就能得到所謂的平均數。但是，這里老師給出的數據很簡單，（同步指表1中的數）可以把這個9分1個給這個7，再把這個9分1個給這個7。這種方法，在小學叫什么？

生移多補少。

師是的，叫“移多補少”，從根本上說，就是使大小不一的數變成一樣的。求平均數就是要把所有的數變成一樣的。同學們，我們再看一下，（PPT呈現表2）還有一個叫小川的同學，他每天的睡眠時間老師也寫在這兒了。求這組數據的平均數可以移多補少嗎？

（學生有人搖頭，有人點頭。）

師大家的想法好像不一樣哦。搖頭的可以用傳統的方法，把所有的數據加起來除以7。但是事實上，這個問題也可以通過移多補少解決。

（學生自行嘗試。）

師同學們，剛才我們一起回憶的平均數實際上就是之前大家覺得比較陌生的“集中趨勢”的一個代表。這還是比較好理解的：8這個數是小山這個禮拜的平均睡眠時間，它就是一個非常好的代表，集中表達了小山每天大概的睡眠時間。

[點評：學生對集中趨勢和離散程度不熟悉，但是對平均數比較熟悉。因而，教師從平均數入手。一方面，引導學生復習平均數的求法，重點回顧移多補少的方法，因為這一方法更能增進學生對平均數作為統計量的“虛擬性”的理解，也能促使數據分析素養(yǎng)真正落地。同時，接下來的學習也將多次應用移多補少的方法簡化計算。另一方面，利用平均數引導學生初步認識集中趨勢，由不熟悉的慢慢變成熟悉的。整體上，教師切實站在學生的視角剖析學生學習該內容時的心理，通過問題鏈驅動學生思考、探索，循循善誘。]

（三）新知學習

1.極差的學習。

師小山、小川的平均睡眠時間都為8小時。請大家觀察一下這些數據，你們能發(fā)現兩個人有什么不同嗎？

生小山的睡眠時間比較穩(wěn)定，小川的不穩(wěn)定。

師你用了一個詞——穩(wěn)定。你能不能具體解釋一下，你根據什么說一個人穩(wěn)定，另一個人不穩(wěn)定的？

生小山最多睡了9個小時，最少睡了7個小時，減一下就等于2個小時。

師（問另一位學生）你算算看小川的呢？

生12-5=7。

師用數據來支撐觀點，我覺得所有的同學都能接受。我們看到，最多睡眠時間和最少睡眠時間的差，一個是2個小時，另一個是7個小時;一個比較小，另一個比較大。在數學中或者說在統計學中，這個差也有一個專有名稱，叫作——（同步板書）極差。極差如同平均數一樣，是一個統計量，一個指標。把一組數據里最大的和最小的作差，結果大，就說明這組數據的波動大，就是那位同學說的不穩(wěn)定，其實就是到平均數的距離遠了，離開了、分散了。也就是說，極差在一定程度上反映了數據的離散程度。（稍停）現在，同學們對集中趨勢和離散程度大致有一點了解了吧？

[點評：教師引導學生觀察具體數據，賦予數學語言實際意義，并順勢抓住學生的典型發(fā)言，借用“穩(wěn)定”一詞讓學生自行剖析得出依據，體現了數學學習嚴謹的邏輯思維和科學的求證態(tài)度。學生也從中得出了極差的概念（當然，得到的是含義而非名稱），初步體會到離散程度的意味。整個過程，教師充分尊重學生的想法，讓學生自己對數據進行分析，得出結論。]

2.算術平均數、加權平均數的學習。

師平均數這個代表很好玩哦！它是一個虛擬數：雖然可以表達一組數據的總體水平，但是往往不是這組數據中的一員。比如小川，他一個禮拜平均每天睡8個小時，但是，你有沒有發(fā)現，他沒有一天是睡8個小時的？所以平均數是虛擬的。（稍停）剛才我們說平均數是用總量除以份數的結果，現在我們給它取一個更學術的名字，叫作——（同步板書）算術平均數。這主要是為了和你們以后會學的幾何平均數做區(qū)分。另外，初中數學和小學數學還有一點區(qū)別：很多時候會用符號、字母來表示，不再用中文和數字。比如，有一組數據記作x1、x2一直到xn，它們的算術平均數也用符號來表示：在字母x上寫一橫，即x，念作x拔，拔蘿卜的拔。于是有——（同步板書）x=x1+x2+…+xnn。這個式子就把算術平均數一般地、普遍地、非常概括地表達出來了。（稍停）第二個問題是關于身高的：（PPT出示表3）要求的是兩個同學所在小組的平均身高。當然，用算術平均數計算公式能求出來。不過，論語上說“擇善而從”，有更好的算法嗎？

（學生計算。）

師同學們已經算了一會兒了，打斷一下。我發(fā)現，大多數同學都是“勞動模范”。為什么這么說呢？你們都在把164、165、166、167等數據相加。還沒有觀察這些數據，就拼命地加，我怎么能不評你們做“勞動模范”呢？（指一組同桌）這邊有兩個女孩子。（指其中一人）我看到她的數據特別小，我特別要稱贊她。為什么她的數據會變??？是怎么變小的呢？（問另一人）你懂嗎？

生同時減去160。

師她把160當成一個基準，然后每個數都減去160。還有一位同學用的是166。（問前一人）你覺得誰好一些？

生我覺得160更好一點，因為有些數是比166小的。

師小了就不好嗎？

生小了就會出現負的。

師請坐。實際上，這里有好幾個觀點。首先，將大數據變小。那些用大數據算的，稍稍有點慚愧吧？其次，取什么基準將大數據變小。她取了160，并且覺得取160比取166好，因為取166之后會出現負的。出現負的又怎么了？出現負的到底好還是不好？（對另一位學生）你說。

生我覺得兩者都一樣。

師真的嗎？

生差不多。

師差不多，那我要是取170呢？是隨意取的嗎？

生我覺得取166左右。

師你取166，那就是說，你允許出現負的。（稍停）大家都在說自己的觀點，而且都在說“我認為”“我覺得”。我喜歡這樣的表達，很自信！當然，我們還要用數學的理性來支撐我們的觀點。我們把數據變小，是為了方便計算。接著，當然還要把這些小數據加起來，取平均值。在加的過程中，如果出現負的，會怎么樣？會抵消，抵消令人高興。（指學生）當然，你說“差不多”，也是有道理的。為什么呢？因為取160的時候，每個數據變小后的結果一眼就看出來了，而取166的時候，很容易減錯。所以，真是各有千秋。這些都是細節(jié)，最重要的是她用了一個基準，把大數據變成小數據，這是一個good? idea。請允許我在這兒寫一個——（同步板書）“基準法”?，F在，老師仍然想請同學們用符號和式子把觀點表達出來。當然，X不動。這回是不是有一組新數據啦？新數據的平均值當然不是原數據的平均值，還差一個基準，160、166之類的。這個時候，我們怎么樣把它表達出來呢？

生用字母。

師對。比如，我們就用字母a。把每個數據都減去基準a，求新數據的平均值，然后再加上基準a。（稍停）另外，大家仔細看看，小川組和小山組還是有一點區(qū)別的，還可以用什么方法讓計算更簡便一點？

生可以用移多補少的方法。小川組有很多數據是相同的，（同步指表3中小川組的數）可以把這個171補給這個169，變成2個170，就有4個170了;然后把2個168補給2個164，變成4個166。

師那就有8個166了。這位同學有兩個觀點：第一，移多補少產生相同的數;第二，相同的數用乘法計算。他比老師靈活！

[點評：算術平均數雖然名字是全新的，但是本質就是小學階段的平均數，所以，教師在教學中直接告知，不做過多停留。而后，教師通過新的問題重點引導學生掌握“減去基準，將大數據變成小數據”的方法，以及鞏固移多補少的方法，幫助學生提升思維靈活性，發(fā)展計算能力。此外，在整個教學過程中，教師與學生充分互動，更不吝對學生的贊揚，極大地提升了學生的學習自信。]

師同學們，我們再來看一個名字——（同步板書）加權平均數。我先說說這個“權”字。中文說“位高權重”，英文說“VIP”，即“very important person”，非常重要的人物。我們來看一下，166在這組數據中出現了4次，而且，采用移多補少的方法的話，它要出現8次。這說明，166很了不得，在這組數據中是一個舉足輕重的人物，它的權很重。我們規(guī)定：權就是一個數據出現的次數。權越大，這個數據就越厲害：對平均數的影響就越大。（稍停）同學們，這里，我還要做一個補充。比方說，數據x1出現了f1次，數據x2出現了f2次，一直到數據xn出現了fn次?，F在，仍然要用代數式來表示這組數據的平均數，該怎么表示？先看最簡單的分母，它應該怎么寫？

生把所有的次數加起來。

師對，就是f1+f2一直加到fn。這個分母看起來簡單，其實特別容易出錯——變成n，對不對？那分子呢？x1f1+x2f2一直加到xnfn，不能忘了乘權，變成x1+x2一直加到xn哦?。ò鍟皒=x1f1+x2f2+…+xnfnf1+f2+…+fn”）其實，加權平均數我們用到的地方很多。我們開過運動會了嗎？

生開過了。

師哦。入場式呢？

生搞過了。

師運動會入場式是有評分的。評分通常有三個指標：服裝整齊、動作規(guī)范、有創(chuàng)意。一般來說，把三個指標的得分加起來，就是最終得分。但我不是這樣，我最看重的是創(chuàng)意，所以我在算總分的時候，會有一個權重的分配。打個比方，總分10分，服裝2分，動作2分，還有6分給了創(chuàng)意。你們明白我的意思嗎？

（學生點頭。）

師好了。我繼續(xù)編故事：今天這堂課，小山、小川非常辛苦，現在又要去競選國際文化使者了。聽、說、讀、寫，listening、speaking、reading、writing，都很重要。派誰去？那要看老師需要怎樣的人了。我需要一個口譯能力比較強的，就是speaking is very important。當然，listening is also important，所以我按照3∶5∶1∶1來計算各項能力的得分。這個比，就是我們剛才說的權。再打個比方，如果你需要一個筆譯能力比較強的，你就可以對這個權做調整。

[點評：加權平均數的教學重在讓學生體會“權”的含義。教師引入中英文詞匯，讓學生初識“權”的含義;再利用前面研究過的身高問題進一步講解，并與學生剛剛結束的運動會掛鉤，十分“接地氣”;最后，一以貫之地繼續(xù)利用小山、小川兩位主人公編制競選國際文化使者的故事，讓學生充分理解“權”的含義。這樣的教學使得原本枯燥單調的數學知識變得生動有趣，體現了基于學生的教學應當有的溫度和厚度。]

3.眾數和中位數的學習。

師老師先做一個調查。（隨機點12名學生）你們這幾位同學里，13歲的舉個手。（學生舉手）14歲的舉個手。（學生舉手）15歲的舉個手。（學生舉手）哇，跟老師做的這個功課差不多。（PPT出示表4）小川組現有12名同學，其中13歲1個，14歲9個，15歲2個。猜測一下：這個團隊的平均年齡多大？

生14點幾。

師同學們，老師今年80歲，如果加入這個團隊，這個團隊的平均年齡會怎樣呢？

（學生哄堂大笑，覺得不可思議。）

師同學們不要笑，我只是長得有點年輕。這是一門關于生命科學的課，下次有機會再說。你們看，我這個80歲的耄耋老人加入這個團隊后，這個團隊的平均年齡變?yōu)?9.15歲。由此，你會不會覺得這是一個青年人的團隊？但實際上，這是一群少年和一個耄耋老人在一起呢。所以各位，還用平均值19.15來代表整個團隊的集中趨勢，是不是有失偏頗了？

（學生一齊點頭。）

師同學們有沒有聽過，很多比賽評分的時候，會去掉兩個最高分和兩個最低分？這就是為了避免像我這樣的極端數據造成的影響。那么，上面這一組數據，用哪個數據來表示集中趨勢會好一點呢？

生14好一點。

師為什么呢？

生大部分都是14，有9個。

師很好！這其實是顯而易見的。重復出現次數最多的那個，眾多的那個，在數學中，我們把它稱為——（同步板書）眾數。大家再動動腦筋，在一組數據里還可以選哪一個做代表？

（學生思考。）

師大家可以這么看：把一組數據排隊，從低到高、從小到大，在這樣一排數中，選哪一個做代表能夠代表這組數據的一般水平或集中趨勢？

生中間那個。

師對，中間那個！大的、小的都在它兩邊，也可以理解為數據都以它為中心，向它集中。顯然，在一定意義上，它也能夠代表這組數據的集中趨勢。不過，中間那個也有個問題：如果是7個數，中間剛好是一個數;如果是8個數，中間是不是有兩個數？這時，該怎么辦呢？

生取它們的平均值。

師很好哦！仿照上面的眾數概念，大家覺得給這個數起個什么名字好呢？

生中間數。

師很好！不過，有點通俗，所以我們把中間的“間”改為位置的“位”，就是——（同步板書）中位數。中位數就是一組數據最中間的數，它也能表示數據的集中趨勢?，F在平均數、眾數、中位數都可以表示數據的集中趨勢，它們各有千秋又各有局限，大家知道嗎？

（學生討論。）

師平均數可以把每個數據都用上，但是有時受極端值影響，有失偏頗;眾數也挺好的，但是如果一組數據中出現多個眾數，它的意義就不大了;中位數呢，它只涉及一兩個數，而沒有考慮全部的數據。所以，我們要把這幾個統計量結合起來考量一組數據，具體要視情況而定。

[點評：這里，教師采用引發(fā)學生認知沖突的方法，引入眾數和中位數。當學生遇到不能解釋的新現象時，就會打破之前低層次的認知平衡，產生認知沖突。有了認知沖突，就想化解，從而產生高層次的認知平衡。由此，就能實現認知的發(fā)展。80歲耄耋老人這樣的極端數據的加入，使得平均值無法代表這一組數據的集中趨勢，引發(fā)學生的認知沖突。學生自然想要尋找新的數據來表達這一組數據的集中趨勢，進而在教師的引導下學習眾數和中位數。其間，教師開玩笑說自己是80歲耄耋老人，使課堂氛圍變得輕松愉悅，讓學生快樂地學習。]

4.方差和標準差的學習。

師同學們，還記得前面說的極差嗎？用它來考慮離散程度有什么局限嗎？

（學生思索。）

師我們發(fā)現，極差只用到了一組數據里的最大值和最小值，有點兒像中位數和眾數，沒有把所有數據都用起來。怎么把所有數據都用起來呢？前面，我們計算過小山、小川的平均睡眠時間都是8小時。同學們報給我聽聽看：小山每一天的睡眠時間偏離平均值的數據是多少？

生0、1、-1、1、-1、0、0。

師很好，小川的呢？

生-1、1、-1、1、-3、4、-1。

師現在每個數據都開工了。接下來怎么考慮這組新數據的離散程度？可以將這些偏離平均值的數據全部加起來嗎？

生加起來都是0。

師大家算得很快哦！其實，不可能不等于0的，因為它們都是減去平均值這個基準得到的數據，所以新數據的平均值一定是0，總和也一定是0。如此，是不是說它們沒有偏差了呢？

生不對，明明是有偏差的，全部等于平均數才沒有偏差。

師是的。尤其是小川的數據，明明離得很開，散得很遠。但這是我們的直覺，怎樣計算才能讓這個離散程度顯現出來呢？

生可以加絕對值。

師加絕對值？這是個好辦法。往大、往小離散都是離散，不需要考慮正負，只需要考慮絕對值。然后，可以把它們全部加起來。當然，不要忘了除以總數。為什么？因為算一組數據的離散程度，應該算平均程度，而不是總的程度。還用代數式表達，就是——（同步板書）|x1-x|+|x2-x|+…+|xn-x|n。這回它就抵消不了了吧？（稍停）老師再問一問：除了加絕對值能夠“撥亂反正”，做到偏差的真正累積，還有什么辦法也能夠真正累積，而不抵消？

生平方。

師平方？對的，那我覺得四次方也是可以的。

生不行。

師為什么四次方就不行？

生太大了。

師大歸大，行還是行的。我也寫起來——（同步板書）（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n。不過，這個方法有一個不太好的地方，就是算出的結果會很大，而且單位跟原來的不一樣。所以，數學家很有意思，他們給平方以后的這個值再開個方。（在剛才的算式上加根號）同學們說得都非常好?。ㄖ赴鍟┘咏^對值的式子叫作——（同步板書）平均差，指向離散程度;（指板書）平方以后的式子叫作——（同步板書）方差，當然也指向離散程度;還有，（指板書）再開方的式叫作——（同步板書）標準差。

[點評：類似地，通過極差的局限性，引發(fā)學生尋找其他能表示離散程度的統計量的訴求。整個過程中，教師通過問題鏈循循善誘，引導學生自己得出平均差、方差、標準差的概念（當然，得到的是含義而非名稱），同時理解作差、加絕對值、平方、開方計算的原因，即知其然更知其所以然。其中的平均差，雖然不是教材中的內容，卻是學生自然而然出現的想法。正是教師時刻不忘學生的主體地位，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，才能讓學生迸發(fā)出如此難能可貴的思維火花。]

（四）綜合應用

師在這節(jié)課的最后，老師要講一個非常有趣的故事。（PPT出示表5）第28屆奧運會男子50 m步槍決賽，兩名運動員10次射擊的成績如表所示。你們看，乙的成績，94、104、93……漂亮得不得了，金牌唾手可得;但是最后一次，是0，其實不是0，而是10.6，但打到了別人的靶上。乙就是馬修·埃蒙斯，奧運史上的悲情英雄。因為他的最后一擊，我們中國的選手獲得了奧運冠軍。各位，平均值8.84，能代表他的水平嗎？

生不能。

師可是，從離散程度來說，他是十分不穩(wěn)定的，對不對？

生對！

師馬修說過一段話，我非常喜歡。他說，數學學習的目標不只是分數，更重要的是對數學知識、學習方法的領悟，以及熱愛數學。

[點評：利用奧運史上的真實故事，說明衡量一組數據要綜合考量反映集中趨勢和離散程度的多個統計量，幫助學生將整節(jié)課所學的內容有機地融會貫通，并使學生進一步感受到本節(jié)課所學的知識在實際生活中的應用。這組數據選自蘇科版初中數學教材，這是基于多版本教材進行教學的一種體現。]

（五）提問結課

師最后，請同學們提三個有價值的問題。

生為什么會有這么多方法來表示集中趨勢和離散程度？

生統計學直到如今是否還沒有達到一個頂峰？

生今天學習了很多平均數的表示方法，平均數在統計學中的地位和價值如何？

師各位同學，今天回去的作業(yè)就是學習單上的“請你提出你的問題和困惑”。下課！

[點評：提出關于這節(jié)課的問題，既能讓學生回顧整節(jié)課的學習，也能讓教師了解學生這節(jié)課的學習情況，據此進行教學反思，作出教學改進。這是一堂完整的課必不可少的環(huán)節(jié)。]

二、教學總評

（一）基于學生的教學應該循循善誘，讓學生能學

基于學生的教學應該是啟發(fā)式教學，而非灌輸式教學，即盡可能發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生自己思考、探索，解決問題、獲得知識。為此，教師需要多提問、少講授?；趯W生的教學還應該基于學生的已有知識和經驗，尋找學生的“最近發(fā)展區(qū)”，循序漸進地讓學生解決新問題、獲得新知識，而非揠苗助長地讓學生解決無法解決的問題、理解無法理解的知識。為此，教師需要設計環(huán)環(huán)相扣、層層遞進的問題鏈，并且根據學生的反饋生成適當的追問，驅動學生不斷思考、探索。

本節(jié)課中，教師基于學生已有的平均數知識，先設計簡單的問題情境，幫助學生復習平均數的兩種求法，理解平均數反映的是數據的集中趨勢;再設計對比的問題情境，幫助學生發(fā)現極差的內涵與意義;接著，設計數據變大及特征變化的問題情境，引導學習求平均數的基準法和加權平均數的含義;然后，設計數據特征再變化的問題情境，引導學生發(fā)現平均數反映數據集中趨勢的局限性，進而發(fā)現眾數和中位數的內涵與意義;而后，讓學生類比思考極差反映數據離散程度的局限性，發(fā)現平均差、方差、標準差的內涵與意義;最后，設計真實的故事情境，讓學生綜合運用本節(jié)課所學的知識，充分體會其實際意義。這樣的主問題設計環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，引導學生逐步獲得新知。同時，在每一個主問題（環(huán)節(jié)）的教學中，不斷根據學生的反饋生成適當的追問，與學生充分地互動，從而真正做到循循善誘，以自然發(fā)生的方式促使學生獲得新知。

（二）基于學生的教學應該富有趣味，讓學生想學

雖然提問互動的教學能夠使課堂氣氛輕松而融洽，讓學生想學，但是基于學生的教學還應該更加富有趣味，讓學生更想學。抽象嚴謹的數學知識常讓學生感到枯燥乏味——其中蘊含的理智之趣并不是那么容易讓學生體會到的。但是，教師依然可以設法讓數學課堂富有趣味。一靠生動活潑的語言，二靠跨越學科、貼近生活的聯系。當然，這需要教師深厚的文化功底作為支撐。

本節(jié)課中，教師的語言生動活潑，非常貼近學生：在口語化、通俗化的中文詞句中偶爾蹦出一些簡單易懂的英文詞句甚至古文詞句，顯得俏皮可愛，具有提神醒腦作用;善用比喻、擬人、夸張等修辭手法，如說學生是勞動模范，說某個數據位高權重，說自己80歲了。另一方面，教師善于舉出跨越學科、貼近生活的事例作出解釋，如開場“瑄”字的偏旁變化為后續(xù)平均數的名稱變化埋下了伏筆，編小山、小川的故事，用埃蒙斯的故事。由此，很好地提升了課堂的趣味性，活躍了課堂的氛圍，激發(fā)了學生的積極性。

（三）指向素養(yǎng)的教學應該具有整體性，讓學生會學

認知心理學告訴我們，影響學習遷移的重要認知結構變量有概括程度和清晰程度等。指向素養(yǎng)的教學是少而精的教學，具有整體性，應該用高觀點、大概念，即比較上位的觀念引領眾多下位內容的學習，并且注意辨析下位內容之間的聯系與區(qū)別，從而使學生建立良好的認知結構，能夠遷移，學會學習。同時，特別要注意幫助學生理解知識內容背后的道理（為什么？怎么來的？），因為這些道理往往指向更上位的觀念。

本節(jié)課的內容便整合了教材一章（三節(jié)）的知識。這些知識不難，但是瑣碎。一個一個地教給學生，學生也能接受，但是很難有深刻的理解，因而容易忘記、容易混淆。教師用上位的集中趨勢和離散程度概念統領下位的平均數、算術平均數、加權平均數、中位數、眾數、極差、平均差、方差、標準差等概念。同時，用真實的數據分析問題激發(fā)需求，引導學生自然地生成這些概念。在這個過程中，學生理解了這些概念產生的原因，明晰了各個概念所起的作用。更為重要的是，學生認識到是不同情況下數據分析的需要（比如，只看集中趨勢不夠，還要考慮離散程度;利用平均數反映集中趨勢有時不合理等）導致這些概念的產生，因而，能夠建立數據分析這一更上位的觀念（也是數學學科核心素養(yǎng)之一）——同時，也建立了數學運算、數學建模等上位的觀念。上完這節(jié)課，學生無須記憶也不會搞混各個概念，因為他們理解了數據分析根本上的道理。實際上，學生同樣無須記憶也不會搞混求平均數的幾種方法，因為他們理解了簡化計算根本上的道理。

此外，很多上位觀念是跨學科的。比如，很多詞語的意思在語文和數學中是相通的，很多道理在生活和數學中是相通的（如變中不變的觀念）。本節(jié)課中，教師打通學科的教學、跨越領域的類比，更好地指向了學生素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（四）指向素養(yǎng)的教學應該具有現實性，讓學生能用

數學來源于生活，又服務于生活。脫離生活后形式化的數學具有高度抽象的特點（尤其是代數與統計分支），因而也（才）具有廣泛的應用性。史寧中教授強調，數學素養(yǎng)要體現在“三會”（會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界）中。因此，指向素養(yǎng)的教學還應該具有現實性，充分引導學生解決生活問題，分析實際案例，認識數學的應用價值，提升數學應用能力。

本節(jié)課中，教師選擇了睡眠時間、身高、年齡、運動會、文化使者、奧運比賽等源于生活、真實有趣的問題與案例，帶領學生運用數學方法分析數據，作出推斷，讓學生深刻地感受到“數據會說話”“數學有用處”，充分培養(yǎng)學生的數據分析素養(yǎng)以及數學運算素養(yǎng)和數學建模素養(yǎng)，同時發(fā)展學生的數感。

參考文獻：

[1] 華錚.培養(yǎng)數據分析觀念：“移多補少”的價值追尋——《平均數》教學的實踐與思考[J].教育科學論壇，2020（22）.

[2] 衛(wèi)德彬，李祖海，劉輝.初中統計與概率的難點分析及教學對策[J].中學數學教學，2013（6）.

[3] 于月娥.數學課堂教學中認知沖突的實踐與思考[J].課程教育研究，2019（48）.

[4] 李祎，陳柳娟.教學不是一種“告訴”行為[J].教育研究與評論，2021（1）.

[5] 唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學的內涵與特征[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）.

[6] 夏繁軍，胥慶，王建華.數學大概念及其提取[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（10）.