李紅偉 閆俊英

【摘要】? ? 在數(shù)學(xué)問題的解決中應(yīng)用先進信息技術(shù)可謂是確保信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)有效結(jié)合的最佳途徑。而以整合技術(shù)為著力點的數(shù)學(xué)問題解決框架正好為此明確了行動方向。本文先闡述了相關(guān)理論及以整合技術(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問題解決框架，而后結(jié)合實例加以分析，最后展望了基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決框架的應(yīng)用前景。

【關(guān)鍵詞】? ? 整合技術(shù)? ? 數(shù)學(xué)問題? ? 解決框架

引言：

新時期下，先進信息技術(shù)和學(xué)科教學(xué)進一步結(jié)合已是教育事業(yè)發(fā)展的必經(jīng)路徑，備受各界關(guān)注。教育部于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決水平的優(yōu)化提升是6大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的終極目標(biāo)，可見在數(shù)學(xué)問題解決中對信息技術(shù)予以利用極具意義且必要。在此背景下，以整合技術(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問題解決框架備受矚目，其能對學(xué)生數(shù)學(xué)能力予以強化，開發(fā)大腦潛能。隨著GeoGebra這款動態(tài)數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中的寬泛應(yīng)用，部分開放型數(shù)學(xué)問題能被很好的解決，將其與整合技術(shù)的數(shù)學(xué)流暢性予以結(jié)合，可謂是教育事業(yè)的進一步發(fā)展。

一、理論基礎(chǔ)

1.1符號中介理論

該理論即知名學(xué)者維果斯基以“符號中介”為基礎(chǔ)發(fā)展所得，其表示教師對人工制品相應(yīng)符號潛能加以分析后，以教學(xué)周期為著力點，組織既定任務(wù)抑或活動，且專門利用某些人工制品為學(xué)生所用，使學(xué)生在此期間將自身個體意義面向既定數(shù)學(xué)意義所轉(zhuǎn)化，從而更好的實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。在此期間學(xué)學(xué)生運用到的手勢與語言等軍屬于人工制品符號，教師具體起專家向?qū)У淖饔谩?/p>

自符號潛能而言，人工制品囊括兩個方面的符號關(guān)聯(lián)：一是學(xué)生借助人工制品完成能力范圍以內(nèi)的任務(wù)，此時學(xué)生腦海內(nèi)的個人意義和人工制品便具有了符號聯(lián)系;二是基于人工制品經(jīng)由專家認(rèn)定為數(shù)學(xué)的意義和其產(chǎn)生符號聯(lián)系?？梢?，人工制品在學(xué)生個人和既定數(shù)學(xué)意義中起連接作用。故而，教師應(yīng)把人工制品看做是數(shù)學(xué)意義的符號中介工具，將和其有關(guān)的符號轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號，即借助多樣化方式收集所得的人工制品符號對學(xué)生個人意義加以闡明，即數(shù)學(xué)問題解決時學(xué)生內(nèi)心和數(shù)學(xué)意義兩者的有效轉(zhuǎn)化。

1.2工具化理論

該理論的意義即對人工制品以及心理工具兩者的差異加以區(qū)分，前者含義更為寬泛，包括所有物質(zhì)工具，但既定情境中卻無法明確表述，既能是物質(zhì)工具擁有的特定功能，還能是工具的整體，后者則表示人借助前者落實某個既定任務(wù)時，人與人工制品兩者具有意義的聯(lián)系?？梢?，后者不但講人工制品包含在內(nèi)，也將工具用戶應(yīng)用人工制品期間發(fā)展與利用的技藝、心理圖式包含在內(nèi)。

就心理工具而言，其屬于個體構(gòu)念，存在心理特征，且與其形成、發(fā)展對應(yīng)的環(huán)境息息相關(guān)。學(xué)者Rabardel將心理工具的產(chǎn)生、發(fā)展過程稱作工具生成，包含工具內(nèi)化與外化兩大過程，前者即人工制品各部分的產(chǎn)生、發(fā)展，人類的知識對其使用方式具有指導(dǎo)意義，后者表示使用方案的產(chǎn)生與演變。上述不同過程反映了人工制品能經(jīng)由人的思維產(chǎn)生，也能對人的思維加以塑造?，F(xiàn)階段，工具化這一理論已成為國外數(shù)學(xué)教育研究畛域最常用的方式之一，能給予一個分析框架，對人使用既定人工制品存在的認(rèn)知過程加以分析，在此理論上，將GeoGebra這一先進教學(xué)軟件與學(xué)生應(yīng)用該軟件期間的技藝、心理圖式作為心理工具，對學(xué)生的具體操作加以觀察，能對學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決期間的心理予以分析。

二、基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決框架概述

對問題的最佳解決方案抑或可能結(jié)果加以尋找的過程即問題解決。在此期間，個體基于問題情境選取以往的知識經(jīng)驗，為目標(biāo)的達成探尋可能的解決方式，且重組和其有關(guān)的信息以獲得可行性方法。1980年，波利亞關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)及問題解決這一論點備受人們關(guān)注，并使人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題解決以及數(shù)學(xué)內(nèi)容兩者都是同等重要的。學(xué)者Schoenfeld將學(xué)生介于數(shù)學(xué)問題解決期間的表現(xiàn)區(qū)分成了多個環(huán)節(jié)，讀題、分析、探索、計劃、執(zhí)行、驗證。學(xué)者Martin以及Grudziecki對整合數(shù)字技術(shù)的問題解決基本框架進行了開發(fā)，囊括如下環(huán)節(jié)：陳述、辨別、獲取、評估、解釋、組織、整合、分析、綜合、創(chuàng)建、交流、傳播、反思。

學(xué)者Jacinto以及Carreira在上述研究的基礎(chǔ)上，對基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決框架進行了提出，通常被稱為MPST框架，此框架中解決過程被劃分成是個環(huán)節(jié)，即理解、察覺、解釋、整合、探索、計劃、創(chuàng)建、驗證、傳播、交流。研究基于以上理論對與中文表達模式更為契合的正兒技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決框架進行了提出，起囊括三大階段，九個環(huán)節(jié)：一是準(zhǔn)備階段，包含三個環(huán)節(jié)，即理解問題、掌握重要信息、思考技術(shù)功效;二是解答階段，包含實現(xiàn)問題條件、探究結(jié)論、擬定解題方案、完成解題、書寫過程這5個環(huán)節(jié);三是反思階段，包含解題思維的分享、方案的展示這一環(huán)節(jié)。在此研究中我們需要注意一點，MPST這一框架內(nèi)提及的“交流”，不但指學(xué)生之間的交流，也指學(xué)生和老師的交流，研究場景僅對應(yīng)某一研究對象，故而此交流的發(fā)生以師生為主。

三、研究分析

3.1研究設(shè)計

1.研究對象。伍X是一名在校生，對數(shù)學(xué)極為熱愛，數(shù)學(xué)成績排名靠前。此次研究以該同學(xué)為目標(biāo)對象，對其基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決加以研究，其中對三角形全等與等邊三角形等數(shù)學(xué)知識加以利用。該同學(xué)數(shù)學(xué)教師時常通過幾何畫板對數(shù)學(xué)知識、問題進行講解和探究，故而伍X對幾何畫板較為熟悉，因GeoGebra軟件和幾何畫板具有一定的相似性，所以讓該同學(xué)先學(xué)習(xí)此款軟件的基本操作而后開始數(shù)學(xué)問題的解決。

2.研究過程。伍X利用GeoGebra軟件對數(shù)學(xué)開放型問題進行了3次自主探究，在實踐的同時也進行口頭說明，并通過視頻錄像予以記錄。探究完成后，對該同學(xué)構(gòu)建的軟件文件和通過紙筆解答問題的過程進行訪談。第2次探究對應(yīng)的問題為：線段AE這一邊的△ABC、△CDE（頂點均依照順時針方向排列）都為等邊三角形，角ACE明顯小于120度，若點P為線段BE中點，M為AD中點，請問△CPNI是否為特殊三角形？

3.數(shù)據(jù)收集和分析。與前文兩大基礎(chǔ)理論相結(jié)合，本次研究對3種形式相關(guān)數(shù)據(jù)進行收集與分析，獲知產(chǎn)生了三角互證。具體過程詳見下表1所示：

數(shù)據(jù)分析步驟：先把視頻、錄音文件做成文本實錄，產(chǎn)生逐字稿;而后把基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決框架作為編碼系統(tǒng)，選擇內(nèi)容分析法對采集所得的數(shù)據(jù)資料有效分析。

3.2研究結(jié)果

該小節(jié)將自準(zhǔn)備、解答、反思這三個階段對研究結(jié)果進行表述：

1.準(zhǔn)備階段。1）對問題真實含義加以理解。此環(huán)節(jié)內(nèi)，伍X的語言屬于發(fā)揮中介功能的人工制品，能讓我們獲知其正處于理解問題含義的狀態(tài)中，其數(shù)學(xué)老師則為專家向?qū)呐砸龑?dǎo)。2）掌握重要信息。伍X同學(xué)正確把握了該題條件內(nèi)的細(xì)節(jié)，“同側(cè)”以及兩個等邊三角形頂點均依照順時針方向排列，且明確了角ACE小于120度，這說明C為動點，此點位置不同則幾何圖形也將不同，會使△CPNI形狀改變。此分析源自伍X運用的GeoGebra文件，這便是數(shù)學(xué)問題解決期間形成的人工制品符號，對伍X心理圖式的了解大有裨益。3）技術(shù)功效的思考。該同學(xué)早已學(xué)習(xí)了怎樣利用GeoGebra軟件，這代表其明確了人工制品的潛能以及限制，腦海已有知識對其實踐操作進行引導(dǎo)，意味著其和人工制品產(chǎn)生了有意義的聯(lián)系，在此階段人工制品已轉(zhuǎn)換成心理工具。

2.解答階段。1）實現(xiàn)問題條件。此環(huán)節(jié)等同于工具內(nèi)化過程，伍X同學(xué)的數(shù)學(xué)、技術(shù)知識有效互融，對其實踐操作進行引導(dǎo)，并產(chǎn)生全新的人工制品，也就是和問題對應(yīng)的幾何圖形，并在該同學(xué)個人、數(shù)學(xué)意義兩者的轉(zhuǎn)化過程中發(fā)揮了中介作用。2）對可能結(jié)論加以探索。此環(huán)節(jié)具體對該同學(xué)繪制的幾何圖形進行說明，并得出△CPNI屬于等邊三角形這一結(jié)論。如此表明了GeoGebra繪制所得的幾何圖形和其拖動作用屬于人工制品，對伍X思維進行了塑造，促使其形成了新想法。3）擬定解題方案。此環(huán)節(jié)內(nèi)，伍X利用GeoGebra使幾何圖形于動態(tài)變化期間依舊具有之前的數(shù)學(xué)性質(zhì)，最終獲知△BCE和△ACD為全等關(guān)系，并對其后續(xù)問題解決思維進行影響。4）解題方案的落實。此環(huán)節(jié)中伍X同學(xué)經(jīng)由工具外化領(lǐng)悟了數(shù)形結(jié)合思想，利用文本記錄，并對新的人工制品符號進行了創(chuàng)造，即文本解答檔案。5）解題過程的書寫。這一環(huán)節(jié)中，對該同學(xué)解答文本予以分析，獲知其表述的數(shù)學(xué)意義，這表明解答文本便是新形成的人工制品符號。

3.反思階段。1）解題思維的分享。經(jīng)過在紙上書寫解題步驟，對解題思路再一次整理，同時對伍X 同學(xué)表述能力進行了鍛煉。

3.3研究結(jié)論

1.基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決過程，對較好的數(shù)學(xué)流暢性進行了展示。2.在數(shù)學(xué)問題解決期間對整合技術(shù)利用時，數(shù)學(xué)教育技術(shù)實質(zhì)上屬于屬于心理工具。3.以整合技術(shù)為支撐的數(shù)學(xué)問題解決框架給新時代下數(shù)學(xué)教育事業(yè)的進步給予了方向。

四、基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決框架的應(yīng)用前景

1.強化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)問題解決水平進一步提升。學(xué)生持續(xù)汲取以及建構(gòu)是數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)問題的有效解決大有裨益。就義務(wù)教育課程改革而言，一大重要目標(biāo)便是使學(xué)生具有利用所學(xué)知識技能有效解決問題的能力。教師在教學(xué)期間，需以數(shù)學(xué)教材為著力點，確保所有基礎(chǔ)知識的講解透徹清晰，在為學(xué)生設(shè)計習(xí)題期間，應(yīng)當(dāng)“典型化”，將多項技術(shù)整合，如GeoGebra等，從而使學(xué)生對已學(xué)知識不斷建構(gòu)、重組，最終實現(xiàn)成功解決一道數(shù)學(xué)題、掌握一類數(shù)學(xué)題之成效。

2.學(xué)生數(shù)學(xué)教育技術(shù)素養(yǎng)進一步提升。自學(xué)習(xí)科學(xué)這一層面而言，技術(shù)給學(xué)習(xí)給予了較多功效，如交互性、選擇、開放式學(xué)習(xí)者輸入等等，這正好和“技術(shù)賦能學(xué)習(xí)”的論點相契合。此次研究經(jīng)由對學(xué)生基于數(shù)學(xué)教育技術(shù)支撐環(huán)境中數(shù)學(xué)問題解決過程的表述，獲知技術(shù)可給學(xué)生進行問題解決予以線索，為學(xué)生在數(shù)學(xué)知識和技術(shù)操作方面的整合提供幫助，構(gòu)建產(chǎn)生全新的知識對象，且在問題解決期間對數(shù)形結(jié)合這一思想進行了滲透。在此背景下，為確保學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷提升，學(xué)校會大力面向?qū)W生組織數(shù)學(xué)軟件培訓(xùn)，對他們的數(shù)學(xué)教育技術(shù)素養(yǎng)加以提升，讓他們明確認(rèn)知技術(shù)在學(xué)習(xí)中的效用，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)思維、學(xué)習(xí)建構(gòu)新知識。

3.基于動態(tài)數(shù)學(xué)軟件對學(xué)生整合技術(shù)之?dāng)?shù)學(xué)流暢性予以發(fā)展。此次研究表明，借助GeoGebra對數(shù)學(xué)問題的解決大有裨益，能構(gòu)建新的知識對象，在問題解決方案的解釋及交流等層面極為關(guān)鍵。實質(zhì)上，除開GeoGebra，還有其他教育技術(shù)均可給學(xué)生構(gòu)建適宜的互動環(huán)境，為學(xué)生知識的重組、建構(gòu)提供幫助，未來將有更多動態(tài)數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)教育中被運用，對整合技術(shù)之?dāng)?shù)學(xué)流暢性的發(fā)展予以支撐。

五、結(jié)束語

本文對以整合技術(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問題解決框架展開了分析，得到了如下結(jié)論：一是基于整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決過程，對較好的數(shù)學(xué)流暢性進行了展示;二是在數(shù)學(xué)問題解決期間對整合技術(shù)利用時，數(shù)學(xué)教育技術(shù)實質(zhì)上屬于屬于心理工具;三是以整合技術(shù)為支撐的數(shù)學(xué)問題解決框架給新時代下數(shù)學(xué)教育事業(yè)的進步給予了方向。

參? 考? 文? 獻

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