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        基于培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)課教學(xué)例談

        2020-09-12 14:27:20任繼富
        教育界·下旬 2020年7期
        關(guān)鍵詞:最值問題推理能力數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        任繼富

        【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力,其中邏輯推理能力在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中屬于較高層級(jí)的能力。文章以專題復(fù)習(xí)為例,從解決實(shí)際問題入手,經(jīng)過課堂教學(xué)滲透,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體提升。

        【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);推理能力;最值問題

        一、由一道考題引發(fā)的思考

        在中考第一輪綜合復(fù)習(xí)過程中,有這樣一道題目:“二次函數(shù)y=X2+4x+3圖像上的點(diǎn)到直線y=2x的最小距離為____.”該題初看起來就是點(diǎn)到直線的距離問題,如果是純幾何問題,很多學(xué)生都不會(huì)覺得有什么困難,但是與二次函數(shù)聯(lián)系起來后,頓時(shí)成了一道難題。

        基礎(chǔ)較好的同學(xué)容易找到解題思路。設(shè)與y=2x平行的直線解析式為y=2x+k,當(dāng)y=2x+k與y=X2+4x+3圖像相切時(shí),切點(diǎn)到直線y=2x的距離即最小距離,聯(lián)解y=X2+4x+3 y=2x+k,根據(jù)方程組只有一組解可以得出切點(diǎn)的坐標(biāo),然后計(jì)算切點(diǎn)到y(tǒng)=2x的距離就是最小距離。解題思路易形成,但運(yùn)算量大,增加了運(yùn)算的出錯(cuò)率。

        若日常教學(xué)中我們有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,那么學(xué)有余力的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)更簡(jiǎn)便的方法。設(shè)二次函數(shù)y=x2+4x+3圖像上的一點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,m2+4m+3),過該點(diǎn)作x軸垂線,與直線y=2x交于點(diǎn)N(m,2m),所以線段MN=m2+4m+3-2m=m2+2m+3=(m+1)2+2,易得當(dāng)m=-1時(shí),MN有最小值2,當(dāng)MN取最小值時(shí),也就是二次函數(shù)y=x2+4x+3圖像上的點(diǎn)到直線y=2x的距離最小,最小距離為2√5/5。

        該題的解答讓筆者反思日?!氨馄交钡慕虒W(xué),教師忙于趕教學(xué)進(jìn)度,學(xué)生思維訓(xùn)練的時(shí)間有限,教師有意或無意中把核心素養(yǎng)中的能力培養(yǎng)放到了次要位置,導(dǎo)致學(xué)生遇到新問題時(shí)經(jīng)常陷于無從下手的窘境。

        二、教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的實(shí)踐探索

        在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生必須具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。在此條件下,教師應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生的推理能力,提升其核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)推理能力不是憑空出現(xiàn)的,不可一蹴而就,它正是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)上發(fā)展起來的,通過不斷地訓(xùn)練,總結(jié)提升,方能達(dá)到預(yù)期效果。在中考復(fù)習(xí)過程中,“最短路徑問題”是軸對(duì)稱性質(zhì)、三角形、兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理計(jì)算等知識(shí)的延續(xù)和深化,對(duì)解決數(shù)學(xué)綜合問題起到基礎(chǔ)性作用。本文以一些典型的教學(xué)片段進(jìn)行例談。

        1.注重思維啟發(fā),培養(yǎng)推理意識(shí)

        問題1:如圖1,從A地到B地有三條路可供選擇,你認(rèn)為哪條路距離最短?說說你的理由。

        師:這個(gè)問題答案是選哪個(gè)?

        生:AB。

        師:為什么是AB最短?

        生:兩點(diǎn)之間,線段最短。

        師:很好,這個(gè)問題熟悉嗎?

        生:熟悉。

        師:好的,那以這個(gè)問題為基礎(chǔ),我們學(xué)習(xí)與它有關(guān)的另一個(gè)知識(shí),大家有興趣嗎?

        生:有。

        問題2:如圖2,要在燃?xì)夤艿溃闲藿ㄒ粋€(gè)泵站,分別向A、B兩村供氣,泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?

        師:這個(gè)問題與第1個(gè)題目有聯(lián)系和區(qū)別嗎?

        生:有,既有聯(lián)系也有區(qū)別。

        師:具體說一下。

        生:兩個(gè)問題都用到了“兩點(diǎn)之間,線段最短”。不同的是,問題2的A、B兩點(diǎn)分布在直線l的兩側(cè)。

        師:很好,大家審題細(xì)致,那么怎么解題呢?

        生:只要連接AB兩點(diǎn),直線l與AB的交點(diǎn)就是泵站修的位置。

        師:大家很棒,那我們有信心做好接下來的問題嗎?

        生:有。

        問題3:相傳,古希臘有一位學(xué)者海倫,有一天,一位將軍專程拜訪海倫,求教一個(gè)百思不得其解的問題:“從A地出發(fā),到一條筆直的河邊飲馬,然后到B地,請(qǐng)問到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?”這個(gè)問題對(duì)于既是物理學(xué)家也是數(shù)學(xué)家的海倫來說根本不算難題,他稍加思索,利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題。這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。

        師:這個(gè)問題與以上兩題有聯(lián)系嗎?

        生:好像有。

        師:請(qǐng)大家一起探究,將A、B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn),將河流抽象為一條直線l,在直線,上找到一點(diǎn)C,使AC與BC的和最小。各組同學(xué)可以圍繞這個(gè)問題進(jìn)行深入討論。

        顯然大部分同學(xué)思維卡住了,教師順勢(shì)引出下一問題。

        問題4:如圖3,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè),在直線l上找到一點(diǎn)C,使AC與BC的和最小。

        學(xué)生獨(dú)立思考,嘗試畫圖,相互交流。

        教師提示:(1)如果點(diǎn)B與點(diǎn)A在直線l的異側(cè),如何在直線,上找到一點(diǎn)C,使AC與BC的和最?。?/p>

        (2)現(xiàn)在點(diǎn)B與點(diǎn)A在同側(cè),能否將點(diǎn)B移到l的另一側(cè)點(diǎn)B'處,且滿足直線l上的任意一點(diǎn)C,都能保持CB=CB'?

        (3)你能根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí),找到(2)中符合條件的點(diǎn)B'嗎?

        如圖4,出示作法:(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B';(2)連接AB',與直線l相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C即所求。

        證明:如圖5,在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合),連接AC'、BC'、B'C.

        由軸對(duì)稱的性質(zhì)知,BC=B'C,BC'=B'C'.

        ∴AC+BC二AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC'+B'C'.

        在△AB'C'中,AB'

        即AC+BC最短

        師:證明AC+BC最短時(shí),為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合)?

        教學(xué)反思:讓學(xué)生體會(huì)作法的合理性、正確性,通過以上問題和證明方法的講解分析,啟發(fā)學(xué)生思考,潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的思維意識(shí)。教師在設(shè)計(jì)問題時(shí),運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化,使學(xué)生在觀察實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)證明的活動(dòng)中養(yǎng)成思考的習(xí)慣。

        2.注重變式訓(xùn)練,發(fā)展推理能力

        通過學(xué)習(xí)核心知識(shí),強(qiáng)化變式訓(xùn)練,有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想和掌握數(shù)學(xué)方法,達(dá)到觸類旁通的學(xué)習(xí)效果,把學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的知識(shí)上升到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的層次;同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的思考習(xí)慣,提高推理能力,提高解決問題的能力。

        變式1:如圖6,牧馬營(yíng)地在點(diǎn)P處,每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草,再到河邊b飲水,最后回到營(yíng)地,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線,使其所走的總路程最短,并說明理由。

        變式2:如圖7,C為馬廄,D為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地a某一處牧馬,再到河邊b飲馬,然后回到帳篷,請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。

        變式3:如圖8,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,D、E、F分別是邊AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn),則DE+EF+FD的最小值為________.

        變式4:如圖9,已知點(diǎn)A(1,-3)、點(diǎn)B(4,-1)、點(diǎn)P(a,0)、點(diǎn)M(a+2,0),當(dāng)四邊形PABM的周長(zhǎng)最小時(shí),a=_____.

        教學(xué)反思:變式1與變式2的設(shè)計(jì),在于幫助學(xué)生對(duì)本課內(nèi)容的理解實(shí)現(xiàn)由表及里、從方法到思想的提升。變式3、4是為鞏固對(duì)最短路徑問題掌握情況而設(shè)計(jì)的,表面看變式3、4與最短路徑問題不太一樣,但深入探究發(fā)現(xiàn),核心知識(shí)是相同的。比如在變式4中,路徑AB是固定的,可先不考慮,而PM能轉(zhuǎn)化為一條固定方向和長(zhǎng)度的線段。在解答變式題3、4時(shí),若思維止于表面,那么將無法與軸對(duì)稱變換聯(lián)系,思路將無法形成。

        3.注重改編設(shè)題,提升思維素養(yǎng)

        學(xué)生完全自編題目當(dāng)然有很大困難,但如果改編就容易多了,學(xué)生可以試著改變問題的背景,改變問題的條件,改變問題的結(jié)論或改變問題的類型。如果教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)就注重問題的開放式設(shè)計(jì),那么學(xué)生改編題目就有了參照,對(duì)于激發(fā)學(xué)生的興趣,發(fā)展邏輯思維能力有很大的幫助。

        例如:以變式3為母題,啟發(fā)學(xué)生改變問題的呈現(xiàn)背景,把三角形問題改為矩形問題,如圖10,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E、F、G分別是AB、BC和對(duì)角線AC上的點(diǎn),則GE+EF+FG的最小值為( ).

        教學(xué)反思:在數(shù)學(xué)問題的改編中,教師應(yīng)該嘗試給學(xué)生思考的機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的關(guān)鍵因素展開聯(lián)想,變化出更多樣的圖形。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中的編題設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生限制少一些,讓學(xué)生有更多的自主權(quán)去增加新的條件,從解題人向出題人轉(zhuǎn)變,跳出思維定式,充分發(fā)展邏輯推理能力;將學(xué)生設(shè)計(jì)的題目展示給大家評(píng)議。通過評(píng)議,學(xué)生精準(zhǔn)讀懂編題者的設(shè)計(jì)意圖,更容易形成思維路徑,提高邏輯推理能力,形成解答思路,同時(shí)也可以增強(qiáng)學(xué)生編題的積極性和自豪感。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]王小莉.化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透——以《最短路徑問題》為例[J].教育現(xiàn)代化,2018(10):350-352.

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