李耀珍
摘 要:正三角函數(shù)的最值問題是學習三角函數(shù)的難點之一,也是高中數(shù)學中重點學習的項目。本文將針對歷年高考考查的三角函數(shù)熱點問題進行研究探討,整理出一些對于三角函數(shù)求最值問題最常見、最直接的做法。希望這次的例談三角函數(shù)中的最值問題的幾種常見類型能夠給大家的高中數(shù)學學習帶來一些幫助。
關鍵詞:三角函數(shù);求最值;最值問題;二次函數(shù);常見類型
一、三角函數(shù)中常見的最值問題分析
三角函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學中有關三角函數(shù)問題中最常見的一類,也是比較復雜多變的一類,根據(jù)這類題型演變出來的題目很多,但其實質上是對含有三角函數(shù)的復合函數(shù)的求值。在解答三角函數(shù)最值為題時,只要記住這是一個二次函數(shù),然后融合在各種復雜環(huán)境下,做出復合函數(shù)的基本求解動作就可以。遇到任何問題不能亂糟糟的去看,而是要透過現(xiàn)象看本質,一步一步將題目拆解,完成解答。這也是數(shù)學思維的本質。
1.y=asinx+b型分析
y=asinx+b型也是最常見的一種,簡單應對起來也比較輕松,大部分的學生還是可以在這里得分的。在做題解答的策略上也沒有特別疑難的地方。據(jù)分析只要設t=sinx,化為求一次函數(shù)y=at+b在閉區(qū)間[-1,1]上的最值。這樣就可以將其轉化為常規(guī)的三角函數(shù)提醒,利用已學的一些公式一步步劃分計算,最后得到答案。不管是什么樣的求函數(shù)只要一步步劃分,總是能夠最終得解的,例如求y=-3sinx+2的最值。也是這種解法。筆者在研究三角函數(shù)多種求最值的問題時,經常會遇到這類題型,其解法也較為一致,令t=s作一歸納就能順利完成解題。最值問題遇上二次函數(shù),本身就會將問題復雜化,只要我們耐心梳理,總能夠看透本質,解答出來。
2.y=asinx+bcosx+c型分析
如果大家能夠按照數(shù)學老師平時解題的習慣,將每次遇到的三角函數(shù)都分門別類的記錄總結下來,這對大家的學習是有很大幫助的。三角函數(shù)本身就是一種將基礎知識綜合應用的提醒。在生活中也經常會出現(xiàn),因此近幾年高考題中三角函數(shù)的出現(xiàn)常常伴隨著生活類的題目。大家在解答時要習慣性的建模,這樣有利于問題的順利解答。此類求最值的問題也經常出現(xiàn)在生活類的解答題中,根據(jù)題目的要求自行建立三角函數(shù)。建立的函數(shù)大多數(shù)都是這種y=asinx+bcosx+c型,其解法主要是通過三角函數(shù)恒等變形,利用已經學過的公式將這些函數(shù)轉化,使其劃分的更為簡單,然后借助于它的特性來解決最值問題。
二、三角函數(shù)中常見的最值問題解答歸納
將函數(shù)關系式化為一個角的一種函數(shù)形式就是我們中學課本中所說的三角函數(shù),而生活中展現(xiàn)出來的三角函數(shù)模型也很多。筆者在探討三角函數(shù)最值問題解答方法的時候發(fā)現(xiàn)最常用來解答歸納的行為就是借助于三角函數(shù)建模。由此看來,建立模型是解決三角函數(shù)特殊性質的最佳方法。下面筆者就將整理歸納的一些三角函數(shù)類型與解法舉例說明。
1.y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答歸納
例1,已知函數(shù)(x)=2asinf2x-23asinx·cosx+a+b(a0)的定義域為[0,2],值域為[-5,1],求常數(shù)a、b的值。
前面提到過關于y=asinx+bcosx+c型的分析過程,針對y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答歸納其實也很好判別。三角函數(shù)一般都是利用其求最值,這也是尤其特殊的函數(shù)性質所決定的。在本題的解答過程中,只要牢牢記住簡化、歸納的本質方法就行,利用已經學過的公式將函數(shù)化為一個角的一種函數(shù)的形式。這樣就能夠大幅度的簡化該函數(shù)的難易程度,將復雜、看不清思路的函數(shù)題簡化成最普通的三角函數(shù)。例如本題通過降次之后再加上逆用二倍角公式就可以形成三角函數(shù)中的基本函數(shù),也就是高中數(shù)學課本上最初出現(xiàn)的y=asinx+bcosx+c型的函數(shù),這樣大家面對著這樣的簡單模型函數(shù)應該就知道該如何下手解答了。
2.y=asinx2+bsinx+c的解答歸納
例2,求函數(shù)f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。
三角函數(shù)求最值的方法不少,其中最常用的還是利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的特性。在高中課本中出現(xiàn)的最值問題上,多次使用的解答方法都是利用定義域和閉區(qū)間上模型歸納。由此可見,無論函數(shù)是怎樣的形式出現(xiàn),都是一個二次函數(shù),這個是改變不了的。常見類型的解答歸納都可以從這道例題上來總結出。在解答時可以化為以sinx為自變量的二次函數(shù),這樣就能在復雜的函數(shù)變化中畫出一塊最簡單、有效的定義域區(qū)間,然后將二次函數(shù)的模型圖畫出來。利用這個球最值得最基本法則將函數(shù)值求解出來。對于三角函數(shù)的最值問題求解歸納,應引起師生充分的重視。只有將這塊掌握好,才能夠鞏固牢固三角函數(shù)方面的數(shù)學問題。
結論:作為正三角函數(shù)中最為重要的難點問題之一,三角函數(shù)求最值問題是必須要攻克的。本文在研究過程中查證了不少例題,上述文章也羅列了一些例題的統(tǒng)一歸納解法。希望各位師生可以針對歷年高考考查的三角函數(shù)熱點問題進行鞏固研究,牢牢掌握三角函數(shù)求最值問題最常見、最直接的做法。希望筆者的例談三角函數(shù)中的最值問題能夠給大家的高中數(shù)學學習帶來一些幫助。
參考文獻
[1]鄭德印;Riemann-Zeta函數(shù)的超幾何級數(shù)方法和組合恒等式[D];大連理工大學;2006年
[2]沈秋生;重視培養(yǎng)學生“數(shù)字計算”的能力[J];江蘇教育;1980年03期