張軍

摘 要：在平時教學(xué)中，將同一類型的問題進(jìn)行歸納、總結(jié)出通性通法，引導(dǎo)學(xué)生在變化的問題中尋找不變的本質(zhì)，對提高課堂效率和學(xué)生的解題能力有很大的幫助。本文基于一道中考試題的思考，對二次函數(shù)的一類最值問題的解法進(jìn)行了總結(jié)歸納，在解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù) 最值問題 數(shù)學(xué)模型

隨著新課改的進(jìn)行，各地中考數(shù)學(xué)試卷異彩紛呈，尤其是二次函數(shù)的最值問題，題型靈活多樣，設(shè)計新穎精巧，既繼承傳統(tǒng)又勇于創(chuàng)新，體現(xiàn)能力立意和學(xué)科本質(zhì)，具有典型、示范和遷移性。在教學(xué)中，注意讓學(xué)生在實際問題中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，在變化的問題中找到不變的本質(zhì)，通過轉(zhuǎn)化把新問題轉(zhuǎn)化為一類已解決的問題，并運用所學(xué)的知識與技能求得問題解決。

本課例是對一類中考二次函數(shù)最值問題的思考，課例設(shè)置的問題從學(xué)生的已有水平出發(fā)，貼近學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)問由易到難、由簡到繁，通過問題引領(lǐng)，沿著“鉛垂線段——斜線段——周長——面積”主線層層推進(jìn)。課例的教學(xué)設(shè)計旨在引導(dǎo)學(xué)生探索研究二次函數(shù)的最值問題如何轉(zhuǎn)化、歸一，幫助學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步實現(xiàn)由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的飛躍，體現(xiàn)了筆者對于數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)教學(xué)的一些認(rèn)識和理念，期與同仁相互切磋，敬請批評

指正。[1]

一、問題引領(lǐng) 探究本質(zhì) 發(fā)掘這條線

針對中考試題的特征，本課例設(shè)計的引入問題圍繞數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵展開，由淺入深喚醒學(xué)生對已學(xué)過的事實、法則、公式以及定義的記憶，教學(xué)設(shè)計對先前的學(xué)習(xí)材料的準(zhǔn)確再現(xiàn)的內(nèi)容直接陳述，引導(dǎo)學(xué)生探究一種解決問題的思維，較清楚的通過預(yù)設(shè)問題顯示學(xué)生對某個具體問題的認(rèn)識水平和思維層次。[2]

問題：如圖1（圖略），已知拋物線經(jīng)過直線與、軸的交點B、C，與軸的另一個交點為A，點D是直線BC下方的拋物線上一動點.

（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；（2）求拋物線的表達(dá)式；（3）過D作DE//軸交直線BC于點E，求線段DE長度的最大值.

解法研究：（1）、（2）略；

（3）設(shè)點D（，）（）；點E在BC上，有E（，），線段.則當(dāng)時，線段DE最大值為2；

功能分析：本問題的設(shè)置角度常規(guī)，解題思路寬廣，幫助學(xué)生體驗二次函數(shù)研究的是“數(shù)”與“形”的關(guān)系，“數(shù)”即二次函數(shù)的數(shù)量特征，“形”即為二次函數(shù)圖像的幾何特征，幫助學(xué)生架起“數(shù)”、“形”溝通的橋梁。繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入研究：問題（3）中線段DE的最值求解的，幫助學(xué)生建立模型，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動中的反映與體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)活動過程中，認(rèn)識問題是解決問題的基礎(chǔ)，認(rèn)識線段DE的價值，汲取知識，存儲模型。

二、變式探究 突出思想 用好這條線

變式教學(xué)設(shè)計實現(xiàn)了一類題解法套路的遷移，并鞏固加深了模型的認(rèn)識，在一脈相承的問題串研究中，聯(lián)想類比相關(guān)題型，在題干背景條件不變的情況下，改變提問的對象，圖形轉(zhuǎn)化，在辨析對比中，一題多解，一題優(yōu)解，打開解題思路，把學(xué)生的思維引向新的高度。

變式1：已知，上述條件不變，過點D作DFBC，垂足為點F，則求點D到直線BC的最大距離及此時點D的坐標(biāo)。

解法研究：

方法1：如圖2（圖略），過D作DE//軸交直線BC于點E，可證△BOC∽△DFE，且OC=2，OB=4，根據(jù)勾股定理：BC=，由相似比例式得：，當(dāng)DE最大時，DF取得最大值。則根據(jù)上述問題可知：設(shè)點D（，）（其中）；則當(dāng)時，線段DE最大值為2，DF最大等于，此時點D坐標(biāo)為（2，-3）.

方法2：如圖3（圖略），過點D作與BC平行的直線l，當(dāng)直線l與拋物線有且只有一個交點時，此時點D到直線BC的距離是最大的。設(shè)解析式得方程，求得，代入求點D的坐標(biāo)（2，-3），再利用D點坐標(biāo)求最大面積。

功能分析：比較兩種解法，體會這條“鉛垂高”的妙處。變式的設(shè)置在原問題的基礎(chǔ)上拓展延伸，是每個問題都建立在前面已解決的基礎(chǔ)上，在變式的解法上培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，一題多解。同時，又幫助學(xué)生體會到雖然解題的出發(fā)點不同，但最終都?xì)w一到這條“鉛垂高”，總結(jié)解題的最優(yōu)方案，明了解題的思路。

變式拓展：如圖4（圖略），過D作DE//軸交直線BC于點E，若點F在直線BC上，且四邊形DFEG為矩形，求矩形DFEG的周長的最大值。[3]

解法研究：當(dāng)四邊形DFEG為矩形時，即DFBC，連接DE，由上述可知：△BOC∽△DFE，

則：，

故四邊形DFEG的周長：.

則當(dāng)點D（2，-3）時，DE最大為2，則四邊形DFEG的周長最大為.

功能分析：二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合時，要從“數(shù)形結(jié)合”的角度審視，要根據(jù)矩形這一特殊圖形的幾何性質(zhì)特征，善于發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)中的這條“鉛垂線”的作用，即是兩者之間的紐帶，也是解決問題的關(guān)鍵。體會“周長——鉛垂高”的這一類最值問題的探究，培養(yǎng)學(xué)生建立幾何模型，促進(jìn)學(xué)生自覺構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)。

三、能力培養(yǎng) 注重本質(zhì) 用活這條線

變換角度，將不同的問題對象設(shè)置在統(tǒng)一的問題情景下，符合中學(xué)生的思維特征，給學(xué)生同一個舞臺，不同的劇本，讓他們的思維盡情舞動，在探究利用“鉛垂高”求二次函數(shù)最值得路上越走越精彩。

變式2：在上述問題里其他條件不變的情況下，連接BD，CD，如圖5（圖略），求△BCD的面積最大值.

解法研究：過D作DE//軸交直線BC于點E，設(shè)點C到DE的距離為，點B到DE的距離為，

則

則當(dāng)DE最大時，△BCD的面積取到最大值，

此時點D（2，-3），△BCD的面積最大值為4.

功能分析：本問題的設(shè)置前后呼應(yīng)，因為△BCD的底BC不變，當(dāng)△BCD的面積最大時，即高最大，對應(yīng)上述變式1“點D到BC距離最遠(yuǎn)”的問題。幫助學(xué)生建立問題之間的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)知識體系之間建立起有助于發(fā)展意義理解的聯(lián)系，體會“面積——鉛垂高”的探究過程，不僅找到了問題的解決思路而且把這些思想相互聯(lián)系起來，拾級而上，探尋學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟能力。

四、追根溯源 鏈接中考 用巧這條線

聯(lián)系中考，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，在探索試題的路上，幫助學(xué)生把知識點循跡理線，將問題串“珠”成“鏈”，將方法歸類擇優(yōu)，把原本孤立的知識點按一定的思維序列串聯(lián)起來，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練實現(xiàn)了由厚向薄的轉(zhuǎn)化，由量到質(zhì)的飛躍，從線段的長度問題向幾何面積問題轉(zhuǎn)化的本領(lǐng)。

中考鏈接：如圖6（圖略），若已知拋物線經(jīng)過直線與、軸的交點B、C，與軸的另一個交點為A，點D是軸下方的拋物線上一動點，連接DB，DC，設(shè)所得的△BCD的面積為S。

（1）求S的取值范圍；（2）若△BCD的面積S為整數(shù)，則這樣的△BCD共有 個。

解法研究：（1）（過程略）綜上所述：.（2）（過程略）面積是整數(shù)的共有11個點.

功能分析：立足中考，把握中考試題的方向脈搏，研究壓軸題的特征，我們在審題中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，探究中體會“面積的范圍問題——面積的最值問題——鉛垂高”，當(dāng)我們能巧用“鉛垂高”這條線求出面積最值時，問題即迎刃而解。

五、教學(xué)反思 方法提煉 讓自己更智慧

1.教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)分析

本課例的設(shè)計有“起步低、步子小、變式多”的特點，通過巧妙的預(yù)設(shè)、科學(xué)的變式讓學(xué)生不斷深入思考，建立求二次函數(shù)最值問題的基本思路——作“鉛垂高”。在教學(xué)中忽略純粹的公式記憶，重視解決問題的操作過程，領(lǐng)會解決問題的核心是數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生經(jīng)歷破題的過程，啟發(fā)學(xué)生自己去思考、建模探究，在探究與體會求二次函數(shù)最值問題的方法，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。

2.教學(xué)設(shè)計自然生動，突出問題意識

本課例教學(xué)設(shè)計由一道中考試題引出筆者的一些思考，進(jìn)而對試題的不斷研究，總結(jié)出的解決二次函數(shù)一類最值問題的方法，在問題的設(shè)計過程中，從解決二次函數(shù)的“鉛垂高”的最值問題為基礎(chǔ)，層層推進(jìn)，在探索問題求解過程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，避免“上課一聽就懂，課后一做就錯”的現(xiàn)象。

3.抓住數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)，突出建模教學(xué)核心

在設(shè)計的梯度上，課例通過“點——線——面”的思路設(shè)計問題，結(jié)合方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等方法，探索解決問題的本質(zhì)，使一類問題歸一到“求鉛垂高最值”的問題。提升了學(xué)生的建模能力和邏輯推理計算能力，豐富了數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)驗，完善更新了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的過程教學(xué)”，在教學(xué)活動中，通過教師的啟發(fā)、激勵、引導(dǎo)體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用，通過解決二次函數(shù)一類最值問題，關(guān)注學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)方法和思想的滲透，幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，會一題，解一類，會一類，通一片，歸納一類題的特征，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗感受數(shù)學(xué)的通性通法，發(fā)展學(xué)生的思維。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京師范大學(xué)出版社，2012.1

[2]朱建華.例談初中數(shù)學(xué)最值問題[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2013

[3]韋玉球，劉立明.中學(xué)數(shù)學(xué)求解最值問題的方法探尋.教育教學(xué)論壇，2014