潘吉麗

[摘 要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化錯(cuò)綜復(fù)雜，其實(shí)很多問(wèn)題，只要我們抓住圖形的幾何特征，探索圖形變化過(guò)程中的變與不變，挖掘問(wèn)題內(nèi)涵本質(zhì)，提煉其解題規(guī)律及思想方法，就可以將問(wèn)題迎刃而解.

[關(guān)鍵詞] 線段；最值問(wèn)題；應(yīng)用

筆者對(duì)《寧波市2016年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試說(shuō)明》中利用“圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離和最小距離”模型求線段最值問(wèn)題的應(yīng)用進(jìn)行了初淺分析和研究，這類問(wèn)題起點(diǎn)高，將多個(gè)幾何圖形融合在一起，學(xué)生無(wú)從下手，總找不到合適的處理方法，那么如何解決這類問(wèn)題呢？我們發(fā)現(xiàn)解決如此難的問(wèn)題，只要掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法和技巧，充分利用已知條件，滲透轉(zhuǎn)化思想，可將這些最值問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為同一相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.

模型：如圖1所示，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)距離的最大值為線段PB的長(zhǎng)，最小值為PA的長(zhǎng)（直線PB經(jīng)過(guò)圓心O）.

無(wú)中生圓用模型

例1： 如圖2所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍是______.

分析：本題變化的量比較多，不變的是∠AOD=30°和AB=3，因?yàn)锳B=3為定值，AB所對(duì)的張角∠AOD=30°是個(gè)定角，所以可將點(diǎn)O看成△OAB的外接圓⊙O′上的動(dòng)點(diǎn)，要求CO的最大值可轉(zhuǎn)化到“圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離和最大距離”模型來(lái)求解. 如圖5，過(guò)點(diǎn)A，O，B三點(diǎn)作輔助圓⊙O′，因?yàn)椤螦OD=30°，所以∠AO′B=60°，可知△ABO′為等邊三角形. 易證四邊形O′ACB為菱形，因此O′C=3，OO′=3. 故OC的最大值就是O′C+OO′，從而可求出點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大值為3+3.

解題就要抓住問(wèn)題的本質(zhì)及關(guān)鍵點(diǎn)，例1中有直角，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，由直角可直接聯(lián)想到作輔助圓，即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓；例2中有定角和定線段，根據(jù)“圓中相等的圓周角所對(duì)的弦相等”可將點(diǎn)O看成△OAB外接圓⊙O′上的動(dòng)點(diǎn). 數(shù)學(xué)的一個(gè)最大魅力就是知識(shí)間的互相滲透和運(yùn)用，這兩道例題使我們充分感受到了輔助圓的巨大作用. 作出輔助圓后可以利用“圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離和最大距離”模型求解. 巧妙地構(gòu)造輔助圓是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的關(guān)鍵，我們必須抓住問(wèn)題本質(zhì)條件，掌握解題方法，這樣才能很快把問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易.

構(gòu)造相似套模型

隨著問(wèn)題的層層深入，例3、例4難度又進(jìn)了一步，此兩題條件中變化的量多，動(dòng)靜結(jié)合，不光是直接利用模型求解，還要我們觀察、發(fā)現(xiàn)、分析數(shù)學(xué)模型，不流于形式，而此時(shí)例3、例4解題的重心放在了利用構(gòu)造相似方法轉(zhuǎn)化到求線段的最小值，即先通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例轉(zhuǎn)化到求線段的最小值，再利用模型“圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離和最大距離”求出線段的最小值，此過(guò)程讓我們充分體會(huì)基本問(wèn)題知識(shí)的類比與遷移，由現(xiàn)象到本質(zhì)地加以引導(dǎo)，始終想辦法如何運(yùn)用已知條件把要求線段的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)求解.

轉(zhuǎn)化思想歸模型

例5：如圖10所示，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），⊙P的半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點(diǎn)M是⊙P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是______.

例5的解題重心放在了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想上，A（2.8，0），B（5.6，0）隱含了中點(diǎn)條件. 通過(guò)三角形中位線策略轉(zhuǎn)化到要求的線段AC的最小值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在運(yùn)用模型的過(guò)程中并注意與之相伴的“數(shù)學(xué)思想方法”的滲透. 我們應(yīng)充分挖掘問(wèn)題的本質(zhì)條件，使原來(lái)較為抽象、隱含的條件清晰地顯現(xiàn)出來(lái)，讓如此復(fù)雜的題目變得如此簡(jiǎn)單，達(dá)到事半功倍的效果. 盡管題目靈活多變，但始終不變的是如何創(chuàng)造條件靈活地運(yùn)用模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想把要解決的問(wèn)題化歸到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即解決問(wèn)題的本質(zhì)方法不變.

總之，授人以魚(yú)，不如授人以漁，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要與學(xué)生共同探討基本問(wèn)題模型與解題的聯(lián)系，還原知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及形成過(guò)程，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中隱含的本質(zhì)有深刻的理解. 恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法，可以將紛繁復(fù)雜的問(wèn)題化歸為我們熟悉的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解. 不論題目如何變化，只要我們抓住了解決問(wèn)題的本質(zhì)方法，便所有作法都相同. 真所謂題目萬(wàn)變，最終解決問(wèn)題的方法卻殊途同歸.