顧彥

[摘? 要] 文章以“探索相似三角形的判定（2）”一課為例，立足“四基”，探索基于原點(diǎn)的課堂重構(gòu)：回歸基本知識、回歸基本技能、回歸基本思想和回歸基本活動經(jīng)驗(yàn). 利用知識與探索方法的關(guān)聯(lián)展開教學(xué)活動，讓“數(shù)學(xué)化”學(xué)習(xí)過程自然發(fā)生;學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)過程，深化了數(shù)學(xué)思考，明晰了數(shù)學(xué)本質(zhì).？搖

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué);立足“四基”;回歸原點(diǎn);課堂重構(gòu)？搖

2019年11月，筆者有幸參加了全國第二屆生長數(shù)學(xué)教學(xué)研討會，主題為“踐行生長數(shù)學(xué)，提升核心素養(yǎng)”，現(xiàn)場觀摩了江蘇省評優(yōu)課一等獎獲得者金敏老師的一節(jié)課“探索相似三角形的判定（2）”. 筆者受益從中，本文記錄了該節(jié)課的教學(xué)流程，并附個人賞析，以供探討.

基本情況

1. 授課對象

本節(jié)課是對江蘇省示范性初中特色班的初三學(xué)生. 這個班級的學(xué)生從初一開始強(qiáng)化學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)如何解決數(shù)學(xué)問題的能力，使得學(xué)生在“動手實(shí)踐、自主探索與交流合作”中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維能力，因此學(xué)生在課堂上語言表達(dá)精確、思維開闊，有利于課堂的動態(tài)生成.

2. 教材分析

該節(jié)課所用教材為《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（蘇科版）》九年級下冊，教學(xué)內(nèi)容為第六章“圖形的相似”的第四節(jié)“探索三角形相似的條件”（第2課時）. 之前，學(xué)生已經(jīng)歷過探索全等三角形的過程，學(xué)習(xí)了相似三角形的定義及預(yù)定定理，研究相似三角形的判定有助于學(xué)生理解圖形特征和內(nèi)涵，也是后續(xù)學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用的基礎(chǔ)，同時還為研究“投影與視圖”“圓中比例線段”和“三角函數(shù)”奠定基礎(chǔ)，更是解決中考綜合題型的重要工具. 本節(jié)課對學(xué)生深層理解探索定理的一般策略及構(gòu)建一以貫之的知識體系具有重要作用.

3. 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了全等三角形的判定定理的探索過程，全等是相似的一種特殊情況，即相似比全等更具有一般性，因此本章的學(xué)習(xí)是在前面研究圖形的全等、平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變化基礎(chǔ)上的拓展與延伸，相似實(shí)際上也是一種圖形變換. 有一部分學(xué)生能靈活轉(zhuǎn)化，類比全等三角形，順利過渡到相似三角形的判定，而有一部分學(xué)生并不理解相似三角形判定定理的內(nèi)涵，還有一部分學(xué)生熱衷于利用判定定理做題海戰(zhàn)術(shù)，對判定定理本身的探索卻忽略了，流失了學(xué)習(xí)內(nèi)容中自主探索、合作交流、自我提升的寶貴經(jīng)驗(yàn). 基于上述教材觀念、學(xué)生觀、教學(xué)觀，確定了下列教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn).

4. 教學(xué)目標(biāo)

（1）使學(xué)生經(jīng)歷兩個三角形相似判定定理的探索過程，用幾何語言準(zhǔn)確的描述，會利用判定定理解決一些實(shí)際問題.

（2）在類比、猜想、推理、歸納、探究等數(shù)學(xué)活動中積累經(jīng)驗(yàn)，理解從邊角的角度研究兩個三角形相似的判定定理，進(jìn)一步體會從“具體到抽象”“特殊到一般”等研究問題的基本套路，初步感悟“疊合法”“轉(zhuǎn)化”“歸納”的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力.

（3）回顧舊知與新知的關(guān)系，使所學(xué)知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，積累探索判定和性質(zhì)的基本活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生自主構(gòu)建知識體系的能力，實(shí)現(xiàn)可遷移式的學(xué)習(xí)模式.

5. 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：“兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”的判定定理的探索發(fā)現(xiàn)與證明.

教學(xué)難點(diǎn)：機(jī)構(gòu)化、系統(tǒng)化探索一般判定定理乃至研究數(shù)學(xué)問題的基本策略和基本路徑.

教學(xué)過程

1. 復(fù)習(xí)“舊知”，關(guān)聯(lián)“新知”

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過相似三角形的哪些判定方法？你能結(jié)合圖形，用符號來描述嗎？（要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語言規(guī)范表達(dá)）

眾生：因?yàn)椤螦=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且■=■=■，所以△A′B′C′∽△ABC.

師：非常好，對于任何圖形的判定，定義是它的本源，也是它的生長之根，在學(xué)習(xí)了定義后，借助平行線分線段成比例定理，又得到一個判定，是什么？

眾生：因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC.

設(shè)計(jì)意圖? 教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、回顧相似三角形的定義及兩種判定方法（定義法和平行法），激發(fā)學(xué)生快速搜索已有的圖形研究知識和方法，再追問相似三角形的定義和預(yù)備定理的圖形特征及數(shù)學(xué)表達(dá)式，激勵學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法的“類比”以及“遷移”，為學(xué)生后續(xù)的探索提供知識的起點(diǎn)，也是知識的生長之根.

2. 類比、猜想，啟發(fā)學(xué)生研究“三角形相似的判定”的探索思路

師：前面的知識是我們今天繼續(xù)探索的起點(diǎn)和新知識生長的本源，同學(xué)們想一想，兩個三角形究竟?jié)M足什么條件才相似？

（1）師生回顧、復(fù)習(xí)全等三角形的判定方法和探索過程（見圖3）.

（2）學(xué)生結(jié)合全等是特殊的相似（相似比為1），探索如何類比全等三角形的判定定理，展開小組合作、交流談?wù)?，展示研究成果——猜想判定命題（見圖4）.

設(shè)計(jì)意圖? 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開思維的訓(xùn)練，教師通過啟發(fā)式和開放式提問，幫助學(xué)生指明了研究方向：類比全等三角形的判定過程，為學(xué)生的探索提供了理論依據(jù)，學(xué)生結(jié)合全等是特殊的相似，弱化三角形相似的條件，展開獨(dú)立的思維活動和小組討論，歸納、猜想出判定相似三角形的四個新命題. 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)聚焦學(xué)生活動過程的體驗(yàn)的積累，結(jié)果是自然生長的成果，并讓學(xué)生自主提煉與總結(jié)學(xué)習(xí)方法，這才是對學(xué)生來說真正能從數(shù)學(xué)課上帶走的東西.

3. 學(xué)生獨(dú)立研究，師生交流，證明三角形相似的判定命題的思路、方法

師：我們以兩角分別相等為例，請同學(xué)們在學(xué)習(xí)單上想一想怎么完成證明呢？我們先來弄清問題：

已知：如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求證：△ABC∽△A′B′C′.

思路1：如圖5，在A′B′上截取A′D=AB，在A′C′上截取A′E=AC，連接DE，發(fā)現(xiàn)：△A′DE≌△ABC（SAS）. 因?yàn)椤鰽′DE∽△A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′.

思路2：如圖5，在A′B′上截取A′D=AB，過D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E，同樣可以證明△A′DE≌△ABC（ASA），所以△ABC∽△A′B′C′.

思路3：如圖6，延長BA，C′A′，交于點(diǎn)D，連接CB′. 得到一個更大的△BDC′. 因?yàn)椤螧=∠B′，所以BD∥A′B′，即△A′B′C′∽△DBC′;同理△ABC∽△DBC′. 根據(jù)相似的傳遞性，所以△ABC∽△A′B′C′.

設(shè)計(jì)意圖? 第三部分是本節(jié)課最精彩的生成部分，以學(xué)生“說”和“做”為主，教師適當(dāng)講解，學(xué)生通過自主分析定義和預(yù)備定理的圖形結(jié)構(gòu)，現(xiàn)場生成了三種證明方法，其中前兩種方法異曲同工，需要借助預(yù)定定理和相似的傳遞性完成證明;而第三種方法更加開闊，正是由于教師的引導(dǎo)性提問，才有精彩的證明思路：將這兩個三角形放到一個更大的圖形中，并探討了兩個三角形如果不共線如何解決的問題，最終也利用相似三角形的傳遞性完成了證明. 這三種方法將“疊合法”發(fā)揮得淋漓盡致，令現(xiàn)場的老師嘆為觀止，掌聲熱烈. 在教學(xué)過程中，教師十分注重對知識結(jié)構(gòu)的整體把握，并善于引導(dǎo)學(xué)生自主梳理知識結(jié)構(gòu)、構(gòu)建新的知識體系. 學(xué)生理清了全等與相似的關(guān)系，也為后續(xù)研究位似的關(guān)系和其他幾何圖形奠定了基礎(chǔ)，使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.

定理總結(jié)：如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似.

幾何語言：在△ABC和△A′B′C′中，因?yàn)椤螦=∠A′，∠B=∠B′，所以△ABC∽△A′B′C′.

4. 回顧與展望

（1）回顧：總結(jié)三角形相似的判定方法的建構(gòu)圖：

（2）展望：我們還能繼續(xù)探索相似三角形的什么知識呢？（見圖7）

設(shè)計(jì)意圖? 師生共同總結(jié)三角形相似的判定方法的知識機(jī)構(gòu)圖，完成本節(jié)課的雕刻式板書，回歸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本源：解決數(shù)學(xué)問題如此，人生的探索也一樣. 教師精心設(shè)計(jì)的雕刻式板書分為三個區(qū)域，左側(cè)是本節(jié)課的微觀知識結(jié)構(gòu)，中間是相似三角形與全等三角形的宏觀知識結(jié)構(gòu)，右側(cè)是學(xué)生自主探究的三種證明方法的概要，發(fā)揮示范引領(lǐng)作用，頂部是探究判定定理乃至一般數(shù)學(xué)問題的基本策略. 這樣的板書詳略得當(dāng)、結(jié)構(gòu)精美、一氣呵成. 這個板書既梳理了本節(jié)課的知識與數(shù)學(xué)思想方法，還關(guān)注了知識點(diǎn)、知識塊之間的聯(lián)系，三角形相似的其他判定定理的探索可以說是一脈相承的，為學(xué)生后續(xù)的探索奠定了基礎(chǔ). 學(xué)生帶著問題來，又帶著新的思考離開. 真正回歸了教學(xué)原點(diǎn)，讓不同的學(xué)生在課堂上得到了不同的發(fā)展.

課例賞析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)設(shè)的問題情境應(yīng)有助于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過思考、交流、探索、實(shí)踐，獲得數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動并富有個性的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力[1]. 本課例立足“四基”，談?wù)剬貧w教學(xué)原點(diǎn)的課堂重構(gòu)的一些想法：

1. 回歸基本知識，避免“碎片式”

基于維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，在教學(xué)開始之前，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧反思之前所學(xué)的知識內(nèi)容，可稱之為“溫故知新、關(guān)聯(lián)教學(xué)基礎(chǔ)”. 在預(yù)習(xí)階段的重頭，教師帶領(lǐng)學(xué)生深度反思教學(xué)內(nèi)容，明確溫故知新的重要性，確保學(xué)生能夠合理運(yùn)用舊知識學(xué)習(xí)新知識. 所以在教學(xué)設(shè)計(jì)中特別強(qiáng)調(diào)舊知識與新知識的有效銜接，讓新知識的“生成”和“生長”有理有據(jù)、有情有理，進(jìn)而達(dá)到關(guān)聯(lián)教學(xué)基礎(chǔ)的目的. 教師關(guān)注的舊知識與新知識的有效鏈接點(diǎn)就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這也是在幫助學(xué)生尋找新知識的源頭原點(diǎn)，讓他們了解到新知識與舊知識之間的關(guān)聯(lián)性. 在本課例中，教師要將全等三角形知識深度滲透到教學(xué)過程中，并復(fù)習(xí)三角形相似的定義及預(yù)備定理，回顧三角形全等的判別方法，然后讓學(xué)生在類比自主探索過程中獲得三角形相似條件的新命題. 在這一教學(xué)過程中，教師遵循學(xué)生思維生長的規(guī)律，回歸到概念的本原理解概念. 這種回歸原點(diǎn)配合內(nèi)容前置的教學(xué)方法凸顯了教學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性，更能提高課堂的教學(xué)效率.

2. 回歸基本技能，避免“壓縮式”

數(shù)學(xué)能力是指順利完成數(shù)學(xué)活動所必須具備且直接影響其活動效率的一種個性心理特征，數(shù)學(xué)能力需要在數(shù)學(xué)活動中形成和發(fā)展[2]. 在我國，中學(xué)數(shù)學(xué)基本技能主要包括運(yùn)算能力、空間想象能力、思維能力以及分析問題和解決問題的能力[3]. 本課例中，需要探討兩個問題：一是學(xué)生不明白為什么要研究相似三角形的判定過程，即學(xué)了有什么價值. 這就需要教師從整體知識結(jié)構(gòu)上讓學(xué)生把握研究一般多邊形的基本套路. 二是學(xué)生不明白怎么去研究. 只是一味沿著教師預(yù)設(shè)好的路徑前行，這種教學(xué)方式太缺乏挑戰(zhàn)性，不利于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng). 而本課例中的問題則具有很大的開放性：（1）前面我們學(xué)習(xí)過三角形相似的什么知識？（2）你能聯(lián)想到與相似三角形有關(guān)的什么知識？（3）你打算怎么研究相似三角形的判定呢？（4）你提出的新的命題具有多少可信度？教師設(shè)計(jì)的一系列開放性的“問題串”過渡到開放的數(shù)學(xué)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生思考得更深、更合理、更準(zhǔn)確，使得學(xué)生在“分析問題、解決問題”之前增加了“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”，在啟發(fā)學(xué)生提出富有挑戰(zhàn)性問題后，激發(fā)學(xué)生的困惑與思考，在本課證明方法3中充分展現(xiàn)，這種自上而下的問題就夠直指思維能力;若當(dāng)學(xué)生思維跟不上時，逐步分解問題塊，甚至適當(dāng)后退，回歸學(xué)生思維能及之處. 這種教學(xué)設(shè)計(jì)契合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)基本技能.

3. 回歸基本思想，避免“告知式”

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論概括后的本質(zhì)認(rèn)識，而基本數(shù)學(xué)思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)奠基性、總結(jié)性和廣泛性的數(shù)學(xué)思想，初中數(shù)學(xué)的基本思想主要包括數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、類比等[4]. 本課例突出了“類比”的思想方法，在知識的“生成”上下功夫，教材上本節(jié)課的內(nèi)容呈現(xiàn)碎片化、單一化，與教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性和整體性不夠，本課重整了教學(xué)內(nèi)容. 首先回顧相似三角形與全等三角形的內(nèi)在關(guān)系：從“一般”到“特殊”，再進(jìn)一步梳理全等三角形判定的知識結(jié)構(gòu)，正是這個知識結(jié)構(gòu)的梳理，為學(xué)生類比學(xué)習(xí)相似三角形的探索過程指明了方向，是學(xué)生研究新命題的思維生長點(diǎn). 緊接著學(xué)生通過“類比”自主研究相似三角形判定的新命題，最后教師引導(dǎo)學(xué)生再通過“類比”預(yù)備定理，結(jié)合“疊合法”從多個角度證明命題. 在教學(xué)過程中，教師適度引導(dǎo)，啟發(fā)得當(dāng)，發(fā)揮了學(xué)生的創(chuàng)造潛能，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)基本思想的理解.

4. 回歸基本活動經(jīng)驗(yàn)，避免“放映式”

數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)離不開概念、定理的探索過程. 教師要讓學(xué)生在探索活動中，積累觀察、猜想、分析、類比、歸納、證明等基本活動經(jīng)驗(yàn)，深化對數(shù)學(xué)的理解[5] 激活、積累、遷移、升華是基于積累數(shù)學(xué)基本互動經(jīng)驗(yàn)的初中數(shù)學(xué)課堂的基本特征和一般的教學(xué)路徑. 本課例從全等三角形的基本知識和探索知識的結(jié)構(gòu)出發(fā)“激活經(jīng)驗(yàn)”，喚醒與激活學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，為積累新經(jīng)驗(yàn)做鋪墊;在“經(jīng)驗(yàn)積累”的基礎(chǔ)上自然生成新的問題——到底兩個三角形滿足什么樣的條件才能滿足相似呢？在教學(xué)中搭建腳手架，引導(dǎo)學(xué)生嘗試弱化條件拾階而上;緊接著學(xué)生在教師引領(lǐng)和自主探究中通過“經(jīng)驗(yàn)遷移”“類比”全等三角形判定定理的探索結(jié)構(gòu)，同化和順應(yīng)到相似三角形判定的新命題中并證明;最后教師引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)研究定理的一般探索過程，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中的體驗(yàn)和感悟通過“經(jīng)驗(yàn)升華”為研究數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣和一般策略. “激活、積累、遷移、升華”這四個板塊緊密相連，活動是經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)原點(diǎn)，經(jīng)驗(yàn)在活動中獲得和升華.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制訂. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]張世相. 初中數(shù)學(xué)骨干教師基本特征的研究[M]. 長春：東北師范大學(xué)，2010.

[3]于水情. 深入研究高考? ?開辟教學(xué)新路[J]. 教學(xué)與管理，2004（01）.

[4]夏玉萍. 初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)[J]. 理科考試研究，2013（09）.

[5]呂同林. 注重整體關(guān)聯(lián)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)——以《探索三角形相似的條件》一課為例[J]. 教育研究與評論，2018（06）.