江瑜

[摘? 要] 二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題是初中數(shù)學(xué)的經(jīng)典問題，其解法思路和突破方法較為特殊，對學(xué)生的知識儲備和分析思維有較高的要求. 文章以一道二次函數(shù)綜合題為例，開展思路點(diǎn)撥、解法探究，并適度拓展，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);綜合;周長;面積;數(shù)形結(jié)合

考題再現(xiàn)

試題？搖 （2019年四川涼山中考數(shù)學(xué)）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）試求拋物線的解析式.

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的最小周長;若不存在，請說明理由.

（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M（不與點(diǎn)C重合），使得S△PAM=S△PAC？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

思路點(diǎn)撥

本題屬于二次函數(shù)綜合問題，所涉及的三個(gè)小問具有一定的難度和梯度，能夠全面考查拋物線的基本特征與知識關(guān)聯(lián)，下面結(jié)合問題特點(diǎn)進(jìn)行思路點(diǎn)撥.

（1）該問求拋物線的解析式，有兩種思路：一是按部就班地根據(jù)拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建關(guān)于拋物線系數(shù)的三元一次方程組;二是根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的位置特性——點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將拋物線的解析式設(shè)為特殊形式y(tǒng)=a（x-xA）（x-xB），于是只需要求出a的值即可.

（2）該問為最小周長存在性問題，根據(jù)周長公式可知，C△PAC=AC+PA+PC，由于點(diǎn)P位于拋物線的對稱軸上，即AB的垂直平分線上，根據(jù)該性質(zhì)可知PA=PB，于是C△PAC=AC+PB+PC. 又AC的長固定，于是根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理可知，當(dāng)C，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，C△PAC=AC+BC，此時(shí)△PAC的周長取得最小值，結(jié)合“直線相交求交點(diǎn)”即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）該問需要利用（2）問的條件，即點(diǎn)P的坐標(biāo)確定. 對于△PAM和△PAC，可將兩個(gè)三角形均視為是以PA為底的三角形，顯然當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)C到PA的距離相等時(shí)即可確保兩者面積相等. 分析三角形特點(diǎn)可知點(diǎn)M的位置有兩種情形：①點(diǎn)M位于點(diǎn)P的上方;②點(diǎn)M位于點(diǎn)P的下方. 具體分析時(shí)需要結(jié)合相應(yīng)的圖像，采用數(shù)形結(jié)合的方式挖掘隱含條件，簡化求解過程.

問題詳解

（1）因?yàn)锳（-1，0），B（3，0）是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，所以設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）. 將C（0，3）代入其中，則有-3a=3，解得a=-1. 整理后可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最小，具體如下：

連接PB和PC，如圖2. 因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸x=1對稱，所以PA=PB. 所以△PAC的周長C△PAC=AC+PA+PC= AC+PB+PC，其中AC為定值，PB和PC的長與點(diǎn)P的位置相關(guān). 分析可知，當(dāng)C，P，B三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，PB+PC=BC，此時(shí)△PAC的周長最小，且點(diǎn)P為直線BC與直線x=1的交點(diǎn). 容易求得直線BC的解析式為y=-x+3，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）. 因?yàn)锳C=■=■，BC=■=3■，所以△PAC的周長的最小值為■+3■. 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，△PAC的周長最小，且最小值為■+3■.

（3）存在滿足條件的點(diǎn)M，使得S△PAM =S△PAC，具體如下. 若S△PAM=S△PAC，將△PAM和△PAC均視為是以PA為底的三角形，則點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA的距離相等. 此時(shí)點(diǎn)M的位置有以下兩種情形：

①當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)P的上方時(shí)，如圖3. 由于點(diǎn)M和點(diǎn)C到PA的距離相等，所以MC∥PA. 又直線PA的解析式為y=x+1，所以可設(shè)直線MC的解析式為y=x+b，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)后可求得直線MC的解析式為y=x+3. 聯(lián)立直線CM與拋物線的解析式，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）.

②當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)P的下方時(shí)，如圖4. 設(shè)點(diǎn)M所在的直線為l，結(jié)合情形①可知，需要確保直線l、直線PA與直線y=x+3互相平行，且直線l到直線PA的距離與直線y=x+3到直線PA的距離相等. 此時(shí)可以從平移的視角來分析：直線l是由直線y=x+3經(jīng)過兩次平移得到的，即直線y=x+3向下平移2個(gè)單位長度得到直線PA，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)向下平移2個(gè)單位長度得到直線l，故直線l的解析式為y=x-1. 聯(lián)立直線l與拋物線的解析式，結(jié)合點(diǎn)M位于點(diǎn)P下方和點(diǎn)P在x軸上方，可確定此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為■，■.

綜上可知，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）或■，■時(shí)，有S△PAM= S△PAC .

問題點(diǎn)睛

上述考題以求解拋物線解析式、分析周長和面積存在性為依托，考查學(xué)生對待定系數(shù)法、軸對稱最短路徑、平行線間的距離處處相等和利用方程求交點(diǎn)等知識內(nèi)容的掌握情況. 其中核心之問是第（3）問的三角形面積相等存在性問題. 解析時(shí)，首先從等底視角將問題轉(zhuǎn)化為分析點(diǎn)到直線的距離，然后借助平行線之間的性質(zhì)來對不同的情形加以討論. 總體來看，采用數(shù)形結(jié)合方法分析問題，利用圖形分析簡化問題，運(yùn)用方程求解確定坐標(biāo).

面積存在性問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問題之一，總體而言，問題突破采用的是“假設(shè)—驗(yàn)證”的思路，首先假設(shè)面積情形存在，然后根據(jù)問題條件加以驗(yàn)證. 而在實(shí)際分析時(shí)有以下兩種解題策略：一，幾何法，即確定研究目標(biāo)，分析圖像特點(diǎn)，結(jié)合幾何性質(zhì)直接論證面積相等情形是否成立;二，代數(shù)法，根據(jù)面積公式構(gòu)建代數(shù)方程，通過研究方程的解來確定假設(shè)是否成立.

而在實(shí)際解析時(shí)，可以參照上述幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法，利用直觀的圖像挖掘隱含信息，采用代數(shù)方程來確定最終答案.

拓展精練

面積存在性問題的考查形式眾多，除了上述等面積的形式外，還有面積比值形式，該類型的突破思路與其相似——首先結(jié)合面積公式加以轉(zhuǎn)化，然后通過代數(shù)分析求解滿足條件的情形.

拓展？搖 （2019年遼寧營口中考數(shù)學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，將△OBC沿BC所在的直線翻折，得到△DBC，連接OD.

（1）用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）如圖5，若點(diǎn)D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式;

（3）設(shè)△OBD的面積為S1，△OAC的面積為S2，若■=■，求a的值.

解析？搖 前兩問較為基礎(chǔ)，此處主要分析第（3）問的面積比值問題. 如圖6，當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上方時(shí)，連接OD與BC交于點(diǎn)H，此時(shí)OD⊥BC. 分別過點(diǎn)H和點(diǎn)D作x軸的垂線，設(shè)垂足分別為N和M. 設(shè)OC=m=-3a，則S1=S△OBD=■·OB·DM=■·DM，S2=S△OAC=■·OA·OC=■. 所以■=■DM·■=■. 所以DM=■m，HN=■=■OC. 進(jìn)而可得BN=■，ON=■. 分析可知∠BHN=∠HON，所以tan∠BHN=tan∠HON. 所以HN2=ON×BN=■=■2，解得m=6■. 所以a=-2■. 當(dāng)點(diǎn)C位于x軸下方時(shí)，同理可得a=2■. 綜上可知，若■=■，則a=±2■.

解后思考

上述對一道二次函數(shù)綜合題的解法進(jìn)行了深入探討，呈現(xiàn)了問題的解析思路和突破方法，其解法具有一定的參考價(jià)值，下面提出幾點(diǎn)學(xué)習(xí)建議.

1. 深刻認(rèn)識問題本質(zhì)

以二次函數(shù)為背景的面積存在性問題是中考的經(jīng)典問題，該類問題的特點(diǎn)有兩個(gè)：一是二次函數(shù)與幾何進(jìn)行融合，二是需要對存在性情形加以討論. 從問題的解析過程來看，實(shí)則就是分析圖形的面積關(guān)系，因此利用面積公式進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化是突破的關(guān)鍵，本質(zhì)上依然是函數(shù)、方程問題，即根據(jù)函數(shù)解析式構(gòu)建方程，聯(lián)立方程求解交點(diǎn)坐標(biāo). 實(shí)際學(xué)習(xí)時(shí)，需要把握問題特點(diǎn)，深刻認(rèn)識問題本質(zhì)，以關(guān)聯(lián)知識為突破口構(gòu)建解題思路.

2. 全面掌握解題策略

上述呈現(xiàn)了面積存在性問題的解題策略，即以數(shù)形結(jié)合為指導(dǎo)，利用直觀的圖像提取拋物線的特征，挖掘問題條件，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建解析方程，利用代數(shù)分析來確定交點(diǎn)坐標(biāo)，論證猜想. 數(shù)形結(jié)合的分析方式可以有效降低思維難度，構(gòu)建簡潔的解題思路，而在具體解析時(shí)需要掌握分類作圖的方法. 拋物線的對稱性很容易造成問題多解，此時(shí)就需要結(jié)合點(diǎn)的位置特性對面積圖像加以剖析，以確定分類圖像.

3. 充分領(lǐng)會解題思想

從思想層面來看，上述面積存在性分析過程可以分為化歸轉(zhuǎn)化、分類討論、模型構(gòu)造和數(shù)形結(jié)合等多個(gè)階段，其中涉及對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，正是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成了問題轉(zhuǎn)化及簡答過程. 數(shù)學(xué)思想對于求解函數(shù)綜合性問題來說有著極大的幫助，因此在實(shí)際教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生從思想高度來理解解析過程，明晰存在性問題的思想考向，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的思維水平. 另外，數(shù)學(xué)思想提升是一個(gè)長期的過程，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷練習(xí)、深入反思、逐步內(nèi)化，從而形成自身的解題技能.