楊穎

[摘? 要] “幾何特性+函數(shù)知識”的綜合題是中考的壓軸類型題之一，該類題常以函數(shù)為背景，融合幾何特性來綜合考查學(xué)生的知識與能力水平. 實際解題時，需要處理好代數(shù)與幾何聯(lián)系、問題情形多樣、計算分析復(fù)雜等多方面的問題. 文章以一道函數(shù)綜合題為例，開展思路突破、解題思考.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);平行四邊形;動點(diǎn);代數(shù)化;分類討論

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，中考對其考查的方向趨于綜合. 而綜合是多層面的，如知識層面涉及二次函數(shù)的基本性質(zhì)、幾何圖形、三角函數(shù)、方程等，思想層面涉及化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、模型構(gòu)建等. 下面對2019年連云港市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題展開探究.

考題呈現(xiàn)

考題？搖 （2019年連云港市中考數(shù)學(xué)卷第26題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L1：y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（0，-3），與拋物線L2：y=-■x2-■x+2的一個交點(diǎn)為A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，P，Q分別是拋物線L1和拋物線L2上的動點(diǎn).

（1）求拋物線L1對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

（2）若以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）設(shè)點(diǎn)R為拋物線L1上另一個動點(diǎn)，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

思路突破

上述二次函數(shù)綜合題分為三小問，每一問獨(dú)立存在又聯(lián)系緊密，下面對其展開思路突破.

（1）待定系數(shù)法是求解拋物線解析式的常規(guī)方法，突破的關(guān)鍵是確定曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，且未知系數(shù)的個數(shù)與所需點(diǎn)的坐標(biāo)個數(shù)一致. 點(diǎn)A和點(diǎn)C均在拋物線L1上，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)已知，而點(diǎn)A為拋物線L1與L2的交點(diǎn)，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)可借助拋物線L2的解析式加以確定.

因為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，且點(diǎn)A在拋物線L2的圖像上，所以對于y=-■x2-■x+2，令x=2，可求得y=-3. 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3）. 將A（2，-3）和C（0，-3）代入y=x2+bx+c，可得-3=22+2b+c，-3=c， 解得b=-2，c=-3， 所以拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3.

深入分析：求解時若關(guān)注到點(diǎn)A和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，則會發(fā)現(xiàn)yA=yC，于是根據(jù)拋物線的對稱性可得-■=■，從而直接確定系數(shù)b=-2. 這一解法能簡化計算，提高解題效率.

（2）該問以四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)建了平行四邊形，要分析四邊形為平行四邊形時點(diǎn)P的坐標(biāo)，可將其視為是與動點(diǎn)相結(jié)合的函數(shù)幾何問題. 求解時，顯然需要結(jié)合平行四邊形的判定定理，并結(jié)合直角坐標(biāo)系的特性來量化條件.

問題中點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)確定，但未確定A，C兩點(diǎn)在平行四邊形中的關(guān)系（兩頂點(diǎn)是否相鄰），顯然需要分類討論. 總體上來說有以下兩種情形：①點(diǎn)A和點(diǎn)C為相鄰關(guān)系，則AC為平行四邊形的一條邊;②點(diǎn)A和點(diǎn)C為相對關(guān)系，則AC為平行四邊形的一條對角線. 具體構(gòu)建時可結(jié)合以下兩條判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”. 下面為具體的突破過程.

情形1：當(dāng)AC為平行四邊形的一條邊時，PQ為平行四邊形的一條邊，則AC∥PQ且AC=PQ. 點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置關(guān)系還應(yīng)細(xì)分為點(diǎn)Q位于點(diǎn)P左側(cè)和點(diǎn)Q位于點(diǎn)P右側(cè)兩種，現(xiàn)由條件設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2-2x-3）.

①當(dāng)點(diǎn)Q位于點(diǎn)P左側(cè)時，根據(jù)AC=PQ=2，yQ=yP可推知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x-2，x2-2x-3）. 又點(diǎn)Q在拋物線L2上，故x2-2x-3=-■（x-2）2-■（x-2）+2，解得x1=3，x2=-■，均滿足條件. 所以此時滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），-■，■.

②當(dāng)點(diǎn)Q位于點(diǎn)P右側(cè)時，根據(jù)AC=PQ=2，yQ=yP可推知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+2，x2-2x-3）. 又點(diǎn)Q在拋物線L2上，故x2-2x-3=-■（x+2）2-■（x+2）+2，解得x1=0，x2=-1，而當(dāng)x=0時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去. 所以此時滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）.

情形2：當(dāng)AC為平行四邊形的一條對角線時，PQ為平行四邊形的另一條對角線. 由判定定理可知，只需要確保AC與PQ互相平分即可. 于是只要確保線段AC和線段PQ的中點(diǎn)為同一點(diǎn)即可. 由點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)可知其中點(diǎn)為（1，-3），故線段PQ的中點(diǎn)為（1，-3）. 由條件設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2-2x-3），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2-x，-x2+2x-3）. 因為點(diǎn)Q在拋物線L2上，故-x2+2x-3=-■（2-x）2-■（2-x）+2，解得x1=0（舍去），x2=-3. 所以此時滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，12）.

綜上可知，以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），-■，■，（-1，0）或（-3，12）.

深入分析：利用方程來求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，其背后隱含的是幾何與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián). 點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算可反映幾何特性. 另外，上述問題中的直線AC與x軸平行，故當(dāng)線段AC為平行四邊形的一條邊時，可以直接由點(diǎn)P的坐標(biāo)推導(dǎo)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若直線AC為一般的直線，則可以引入斜率，利用“平行線的斜率相等”來推導(dǎo)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo).

（3）該問分析CA平分∠PCR、OQ∥PR時點(diǎn)Q的坐標(biāo)，其中融合了幾何角平分線和兩線平行，需要結(jié)合相應(yīng)的性質(zhì)來構(gòu)建方程. 具體求解時可采用數(shù)形結(jié)合的方法降低思維難度. 對于點(diǎn)P的位置，需要討論其位于y軸左側(cè)和y軸右側(cè)兩種情形. 顯然，當(dāng)點(diǎn)P位于y軸左側(cè)時，拋物線L1上不存在點(diǎn)R使得CA平分∠PCR，故只需要討論點(diǎn)P位于y軸右側(cè)的情形. 突破思路為，結(jié)合條件“CA平分∠PCR”建立點(diǎn)R與點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)聯(lián)，然后結(jié)合條件“OQ∥PR”構(gòu)建點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)關(guān)聯(lián)，從而建立完整的坐標(biāo)聯(lián)系，通過解方程來求解.

當(dāng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)時，設(shè)點(diǎn)P位于直線CA上方，則點(diǎn)R位于直線CA下方. 如圖2，分別過點(diǎn)P和點(diǎn)R作y軸的垂線，垂足分別為S和T，然后過點(diǎn)P作TR的垂線，垂足為H. 顯然∠PSC=∠RTC=90°，又CA為∠PCR的平分線，所以∠PCS=∠RCT. 所以△PSC∽△RTC. 所以■=■. 由條件設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，x■-2x1-3），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x2，x■-2x2-3），則■=■，整理后得x1+x2=4. 過點(diǎn)Q作QK⊥x軸，垂足為K. 因為OQ∥PR，所以∠QOK=∠PRH. 所以tan∠QOK=tan∠PRH. 在Rt△PRH中，tan∠PRH=■=x1+x2-2=2. 由條件設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為m，-■m2-■m+2，則■=2，解得m=■. 均滿足條件，所以此時滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為■，■-7或■ ，-■-7.

當(dāng)點(diǎn)P位于直線CA下方時，點(diǎn)R位于直線CA上方. 同理可求出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為■，■-7或■，-■-7.

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為■，■-7或■，-■-7.

深入分析：從問題來看，此小問屬于動點(diǎn)問題，核心條件為兩大幾何條件——角平分線和兩線平行，與涉及幾何條件的函數(shù)坐標(biāo)問題的轉(zhuǎn)化思路是一致的，即結(jié)合幾何特性來建立代數(shù)方程或建立關(guān)于問題的函數(shù)關(guān)系. 上述呈現(xiàn)的是幾何條件向代數(shù)轉(zhuǎn)化的典型代表，即角平分線→相似性質(zhì)→代數(shù)比例式，平行線→對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等→代數(shù)式.

解后思考

1. 關(guān)注典型問題的突破思路

上述是一道與幾何相關(guān)的二次函數(shù)考題，其中涉及平行四邊形的判定、角平分線、兩線平行等幾何內(nèi)容，屬于中考的代表性問題. 剖析問題特點(diǎn)、總結(jié)突破思路是提升解題能力的關(guān)鍵. 對于該類問題，需要掌握問題的基本轉(zhuǎn)化思路，一般利用幾何條件中的代數(shù)內(nèi)容，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)或破解代數(shù)方程，而完成代數(shù)求解分析后還需要結(jié)合圖像來進(jìn)一步確定所得解是否滿足條件，即“由形轉(zhuǎn)數(shù)，用形析數(shù)”，這是問題突破的總體思路，也是確保高效求解的有效途徑.

2. 歸納幾何特性向代數(shù)轉(zhuǎn)化的技巧

幾何特性向代數(shù)轉(zhuǎn)化是上述考題突破的基本思路，因此在具體學(xué)習(xí)時需注意歸納兩者的轉(zhuǎn)化技巧. 例如上述利用相似性質(zhì)構(gòu)建代數(shù)比例式，利用等角的三角函數(shù)值相等來構(gòu)建方程. 另外，常用的轉(zhuǎn)化技巧還包括勾股定理、等面積方法等. 而在教學(xué)該內(nèi)容時，需引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識定理的隱含內(nèi)容，把握知識間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行綜合性問題的突破方法探討. 另外，還可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用直觀的圖像及幾何特性來簡化代數(shù)問題.

3. 剖析問題突破的思想方法

上述考題的突破過程利用了數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化及構(gòu)建模型的思想方法，正是在眾多思想方法的配合下達(dá)到了降低思維難度、簡化解題思路的效果. 因此，開展考題探究時需要關(guān)注解題的思想方法，剖析思想方法解題的使用技巧，如利用數(shù)形結(jié)合思想解題時，綜合使用以數(shù)助形、以形輔數(shù)、數(shù)形對照等技巧;利用分類討論思想解題時，結(jié)合參數(shù)取值、幾何位置等內(nèi)容來設(shè)定討論標(biāo)準(zhǔn). 在思想方法教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分步剖析突破過程，思考其中的數(shù)學(xué)思想及內(nèi)涵，圍繞數(shù)學(xué)思想開展思維拓展，提升學(xué)生的思維水平.