周丹菊

【摘要】數(shù)學(xué)課程是一種結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性很強(qiáng)的知識(shí)整體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師缺乏結(jié)構(gòu)化思考，教學(xué)過程缺失“參與性”，沒有“結(jié)構(gòu)性”，缺乏“深刻性”。因此，根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，基于結(jié)構(gòu)化教學(xué)，超越“模式化”訓(xùn)練構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，是發(fā)展學(xué)生模型思想的路徑之一。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化 模型思想 模式化

在我們的教學(xué)實(shí)際中，有些教師把學(xué)生當(dāng)成做題的“機(jī)器”，傳授所謂的做題技巧，學(xué)生只會(huì)按照既定的“樣式”來(lái)答題，至于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)到底有沒有提高，教師并沒有關(guān)注。本應(yīng)讓學(xué)生探索世界、感悟生活、啟迪智慧的過程被教師忽略，導(dǎo)致學(xué)生思維固化。如何擺脫“模式化”訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想？模型思想的價(jià)值何在？這些問題的思辨與求解，不僅可以轉(zhuǎn)變教師教學(xué)觀念，改善教學(xué)行為，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展也將產(chǎn)生積極的影響。

一、“模型思想”內(nèi)涵特征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)?！笨梢?，模型思想和數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是相輔相成，不可分割的。如果把數(shù)學(xué)的概念、命題、法則、定理等看作模型的話，那么在建立和運(yùn)用這些概念、命題、法則、定理的過程中，就隱含了模型的思想。

二、建立“模型思想”的價(jià)值探尋

1.從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，“模型思想”提高學(xué)生持久學(xué)習(xí)力。

在培養(yǎng)“模型思想”的過程中，定型的、靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成了發(fā)展的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶是暫時(shí)的，數(shù)學(xué)思想與方法的掌握卻是永久的。因此，“模型思想”能影響學(xué)生后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更能影響學(xué)生從事數(shù)學(xué)以外活動(dòng)時(shí)的思維方式、思維能力。

2.從單一到綜合，“模型思想”提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

“模型思想”體現(xiàn)在教學(xué)中是一個(gè)綜合的活動(dòng)，它與抽象思想、概括思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合等思想是密切聯(lián)系、相互交融的。模型思想的滲透能夠促進(jìn)學(xué)生思維能力與思維水平的提升，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.從內(nèi)部到外化，“模型思想”增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，又是核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻。模型的建立與運(yùn)用溝通了數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。在求解數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“模式化”教學(xué)傾向

1.有“結(jié)果”無(wú)“過程”——缺失參與性。

數(shù)學(xué)建模必須是學(xué)生主體參與，在自主理解的基礎(chǔ)上建構(gòu)的過程。而在實(shí)際教學(xué)中，部分教師直接給出結(jié)果，學(xué)生沒有經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)——提出——分析——解決問題”的過程，建模的意識(shí)就會(huì)很淡薄，模型思想也就無(wú)從談起。

2.重“模形”輕“模型”——缺乏深刻性。

要做到真正意義上的“數(shù)學(xué)建?！?，應(yīng)采用逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則。而有些教師只關(guān)注外在的“形”，讓學(xué)生模仿記憶，不能直達(dá)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)核。

3.顯“零散”無(wú)“脈絡(luò)”——不成結(jié)構(gòu)性。

小學(xué)的每個(gè)學(xué)段的側(cè)重點(diǎn)不一樣，有些知識(shí)出現(xiàn)在不同的學(xué)段，如果不能在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)讓學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)，就不能讓學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)，不能完善學(xué)生的知識(shí)體系。

四、基于結(jié)構(gòu)化教學(xué)理念，“模型思想”對(duì)“模式化”教學(xué)的辨別與分析

1.“照葫蘆畫瓢”式——只見其“形”，未見其“型”。

沒有過程的結(jié)果不是結(jié)果，如果結(jié)果不是源于數(shù)學(xué)化的，過程也就失去了意義。在實(shí)際教學(xué)中，我們經(jīng)常遇到學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)“照本宣科”。筆者在教學(xué)蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》四年級(jí)（下冊(cè)）《三角形內(nèi)角和》一課時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)這樣的場(chǎng)面：

師：誰(shuí)能回憶一下我們認(rèn)識(shí)的三角形有哪些特征？

學(xué)生交流：三角形有三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊……

師：剛才我們提到了它有三個(gè)角，那三個(gè)角又有什么關(guān)系呢？

生1：我知道三角形的內(nèi)角和是180°。

師：說(shuō)說(shuō)你是怎么得到結(jié)果的？

生1：書上是這樣寫的……

對(duì)于書上出現(xiàn)的三角形的內(nèi)角和是180°的結(jié)論，預(yù)習(xí)過的學(xué)生的確已經(jīng)知道。而有的學(xué)生為了迎合這個(gè)已知的“結(jié)果”，在下面的測(cè)量計(jì)算中對(duì)自己測(cè)量的度數(shù)進(jìn)行篡改，以確保三個(gè)角的度數(shù)正好是180°。那么作為教師，我們應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷過程，避免“人云亦云”的現(xiàn)象，值得教者思考。

策略：經(jīng)歷過程，由“形”到“型”——在知識(shí)的發(fā)生過程中，體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷搿?/p>

問題的發(fā)現(xiàn)、方法的思考、規(guī)律的揭示、概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)等過程都可以向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想及方法。教師在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程中，把握思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，學(xué)生才能體驗(yàn)到模型思想的產(chǎn)生。

《三角形內(nèi)角和》教學(xué)片段二：

師：所有的三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？

課件演示：由三角板抽象出三角形，標(biāo)出度數(shù)（30°、60°、90°）。

師：它們的和是多少度？

生：180°。

課件演示另一塊三角板的各角的度數(shù)：45°、45°、90°。

師：這個(gè)三角形的內(nèi)角和是多少度呢？

生：180°。

師：在剛才兩個(gè)三角形內(nèi)角和的計(jì)算過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，這兩個(gè)三角形都是特殊的直角三角形。

師：哦？那么一般的三角形的內(nèi)角和會(huì)是多少呢？

學(xué)生任意畫兩個(gè)三角形，測(cè)量并計(jì)算三角形的內(nèi)角和。

師：有沒有其他的方法呢？

教師展示剪一剪、拼一拼的方法：

教師從學(xué)生熟悉的三角板入手，探究特殊三角形內(nèi)角和的度數(shù)，再引導(dǎo)學(xué)生猜想一般三角形內(nèi)角和會(huì)是多少。學(xué)生在畫、量、算的過程中得出三角形的內(nèi)角和是180°或接近180°（測(cè)量誤差）。剪、拼，展示了各類三角形的三個(gè)內(nèi)角都可以拼成一個(gè)平角。在建立三角形內(nèi)角和是180°這一數(shù)學(xué)模型的系列的活動(dòng)中，學(xué)生真正體驗(yàn)到了模型思想。

2.機(jī)械訓(xùn)練式——只見其“式”，未見其“實(shí)”。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，機(jī)械重復(fù)式的訓(xùn)練，只會(huì)讓學(xué)生掌握做題的形式，并不能真正感悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例，蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》一年級(jí)（上冊(cè)）《5以內(nèi)加法》教學(xué)片段一：

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，在圖上你看到了什么？

生1：我看到有3個(gè)小朋友在澆花，又來(lái)了2個(gè)。

生2：我看到有3個(gè)小朋友在澆花，又來(lái)了2個(gè)，現(xiàn)在是5個(gè)。

師：很好，你能根據(jù)這幅圖，列一個(gè)式子嗎？

生3：3+2=5。

顯然，這個(gè)教學(xué)預(yù)設(shè)的著力點(diǎn)停留在知識(shí)傳授的層面，滿足式子“3+2=5”的獲得。對(duì)于“總量模型”的本質(zhì)缺少深入探究。

策略：聚焦關(guān)聯(lián)，由“式”及“實(shí)”——在問題解決的過程中，凸顯模型思想。

《5以內(nèi)加法》教學(xué)片段二：

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，在圖上你看到了什么？

生1：我看到有3個(gè)小朋友在澆花，又來(lái)了2個(gè)，現(xiàn)在是5個(gè)。

師：你能根據(jù)這幅圖提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？

生1：3個(gè)小朋友在澆花，又來(lái)了2個(gè)，現(xiàn)在有多少個(gè)小朋友？

師：現(xiàn)在的人數(shù)比一開始的時(shí)候怎樣？要想知道現(xiàn)在的人數(shù)，應(yīng)該把后來(lái)的人數(shù)怎么樣呢？

師：用你手中的圓片擺出剛才的過程，并和同桌說(shuō)一說(shuō)。

師：現(xiàn)在澆花的人數(shù)、圓片的個(gè)數(shù)都可以用哪個(gè)算式來(lái)表示？

師：“3+2=5”除了表示小朋友的人數(shù)、圓片的個(gè)數(shù)，在生活中還可以用來(lái)表示什么呢？

生1：昨天我得了3顆星，今天又得了2顆星，現(xiàn)在一共是5顆星。

“3+2=5”這一算式和身邊的具體事物的含義結(jié)合起來(lái)，能夠讓學(xué)生對(duì)加法這一數(shù)學(xué)模型有更加深入的認(rèn)識(shí)。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生舉例說(shuō)出模型還可能表達(dá)的含義，在說(shuō)、擺的過程中凸顯出“總量模型”，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)加法模型的理解。

3.單一訓(xùn)練式——只見其“點(diǎn)”，未見其“線”。

蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》六年級(jí)（下冊(cè)）《平面圖形面積計(jì)算復(fù)習(xí)》片段一：

談話：同學(xué)們，課前讓你們對(duì)平行圖形的面積公式進(jìn)行了整理，現(xiàn)在誰(shuí)來(lái)匯報(bào)一下？

思考：這幾個(gè)面積公式在推導(dǎo)的過程中有什么聯(lián)系嗎？

交流：下面我們來(lái)解決一些實(shí)際問題……

本案例看似交流了平面圖形的面積計(jì)算公式及其之間的推導(dǎo)過程，但知識(shí)都是散亂的，不成體系。

策略：關(guān)照整體，串“點(diǎn)”成“線”——在知識(shí)的總結(jié)過程中，深化模型思想。

《平面圖形面積計(jì)算復(fù)習(xí)》片段二：

師：大家能把平面圖形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程，用流程圖畫出來(lái)嗎？試一試，在組內(nèi)交流。

師：梯形的上底是3厘米，下底是7厘米，高是2厘米。它的面積是多少？如果把這個(gè)梯形的上底增加2厘米，下底減少2厘米，得到的圖形面積會(huì)是多少？說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生：梯形的上底和下底的和不變、高不變，梯形的面積不變。

課件演示：梯形的上底和下底相等，圖形變成了長(zhǎng)方形;也可變成平行四邊形。

師：怎樣求它的面積最簡(jiǎn)單？

生：用求平行四邊形面積的公式。

師：如果梯形的上底減少3厘米，下底增加3厘米，得到的是什么圖形？面積又是多少呢？（梯形的面積公式又可以求三角形的面積。）

師：梯形的面積公式滿足什么條件就可以變成平行四邊形、三角形的面積公式？

學(xué)生組內(nèi)研究得出：在上底和下底相等的情況下，梯形變成長(zhǎng)方形或平行四邊形;在梯形的上底為0時(shí)，梯形變成三角形;在梯形上底、下底和高相等時(shí)，梯形變成正方形。

完成流程圖：

復(fù)習(xí)本身就是一個(gè)“串點(diǎn)成線”的過程。學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)的方式溝通平面圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，連點(diǎn)成線，連線成網(wǎng)，自主構(gòu)建了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。通過畫圖等有效方法，學(xué)生對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)也變得立體起來(lái)，模型思想進(jìn)一步深化。

數(shù)學(xué)家M.克萊因曾說(shuō)過：“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣?！币虼?，真正的“模型思想”應(yīng)承載著人文關(guān)懷，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。只有這樣，才能讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、認(rèn)識(shí)世界。

（作者單位：江蘇省淮安市天津路小學(xué)）