楊震 余虹

【摘要】數(shù)學學習中，圖形表象與形式化證明互相發(fā)明。視覺表征可拓展學生思維空間。幾何畫板優(yōu)秀功能，能激發(fā)學生理解圖形中隱含的數(shù)學思維，顯化代數(shù)與幾何內(nèi)在聯(lián)系。以三個幾何畫板課件案例闡述：視覺演繹能提升小學生數(shù)學洞察力，促進學生數(shù)學思想的產(chǎn)生，合理建構思維模型;從普遍聯(lián)系角度審視幾何畫板制作思想對數(shù)學實驗的啟發(fā)性意義。

【關鍵詞】視覺演繹? 幾何畫板? 思想整合

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）22-0080-03

《全日制義務教育數(shù)學課程標準》以全面推進素質(zhì)教育，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和實踐能力為宗旨。從數(shù)學思考角度看，視覺表征可直觀揭示數(shù)學問題內(nèi)在含義，使教學生動明了，利于學生開拓思路，提升洞察力，增強理解力，在學習中起重要作用。

小學段學生尤易存在不能領會數(shù)學含義，導致數(shù)學素養(yǎng)存在短板。而對數(shù)學問題的視覺演繹是化解數(shù)學學習痛點的利器。

一、視覺表征，促進理解

讓高段小學生洞察圖1蘊含的代數(shù)意義，再頓悟弦圖含義是可行的。這是視知覺前提下，涉及思考探索，方法選擇，把握圖形本質(zhì)（對圖形聯(lián)想和組織），從而解決問題的案例。

推定：（一）視覺經(jīng)驗是抽象概念由來的具體背景之一，是思維的最基本工具;（二）視覺對事物的感知具有指向性，觀察者注意力趨向其最喜歡的東西，試圖區(qū)分出有意義的內(nèi)容，探尋其中規(guī)律，意圖捕捉事物一般結構特征;（三）視覺涉及到對某個問題的整體感知，如補足事物的缺失部分等。觀察者傾向采用更簡潔完美方式認知事物，有對認為不太完美事物改造傾向;（四）視覺對背景中運動變化的事物具有高度敏感性。

視覺思維是人的本能反應同有意識反應調(diào)和的產(chǎn)物。這種主觀能動性能產(chǎn)生一連串活動，如提出疑問、找到某些有希望的線索、局部問題的解決、創(chuàng)造性融合的突然出現(xiàn)等等。視覺的靈便之處在于它能為意識隨意利用，外部的各種信息通過視覺在思維中展現(xiàn)與領會。

二、動態(tài)演繹，展現(xiàn)思維

優(yōu)秀軟件開發(fā)應用，傳統(tǒng)教學發(fā)生變革，信息技術平臺為教育研究開辟新領域。幾何畫板軟件能準確進行視覺展現(xiàn)，演繹規(guī)律，動態(tài)再現(xiàn)數(shù)學問題的發(fā)生、發(fā)展過程;能極大地調(diào)動學生思維的主動性和創(chuàng)造性，潛移默化地使學生掌握觀察、發(fā)現(xiàn)、解決問題的科學探究方法，是數(shù)學教師得力助手。

案例1：

平行四邊形EE'F'F的周長是72厘米，EF是12厘米，點G 以每秒2厘米的速度從F點出發(fā)到F'點，H點以每秒8厘米的速度從E點出發(fā)在EE'間不停頓地做往返運動。問當線段GH第三次把平行四邊形EE'F'F兩等分時，H點距E'點多少厘米？

（一）“例1”幾何畫板構造步驟：

1.新建參數(shù)t1，做參數(shù)動畫，標簽為“啟動”。

2.計算t1·2厘米和t1·8厘米，選中t1，做參數(shù)動畫，標簽為“復位”。

3.構造線段EE'=24厘米，度量該線段長度，復制線段EE'，粘貼，改為線段FF'。

4.以E為圓心，t1·8厘米為半徑作圓，交線段EE'于點 H。

5.點擊啟動按鈕，當圓E的半徑大于線段EE'時，再次點擊啟動按鈕，以點E'為圓心，（t1·8厘米-EE'）為半徑作圓E'，交線段EE'于點H，隱藏圓E。

6.點擊啟動按鈕，當圓E'半徑大于線段EE'時，以點E為圓心，（t1·8厘米-2EE'）為半徑，作圓交線段EE'于點H，隱藏圓E'。

7.點擊啟動按鈕，當圓E半徑大于線段EE'時，以點E'為圓心，（t1·8厘米-3EE'）為半徑做圓，交線段EE'于點H，隱藏圓E與圓E'。

8.以點F為圓心，t1·2厘米為半徑作圓，交線段FF'于點G，隱藏圓F。

9.分區(qū)間構造線段GH。

10.構造線段EF、E'F '，平行四邊形EFF'E'的對角線及對角線交點。如圖2。

（二）線段GH兩等分平行四邊形EE'F'F，充要條件為線段GH過平行四邊形EE'F'F中心。小學生一般無法給出形式證明，用動態(tài)視覺表征方式，引導學生合情推理，直觀理解。幾何畫板構造充分條件的視覺提示，如圖3;亦可分離背景得“8字型”提示圖，凸顯對應線段相等。構造必要條件視覺提示（反證法）方法同。拖動點旋轉，直覺對比，產(chǎn)生頓悟。

（三）讓某生解例1，由速度比聯(lián)想到分類討論，未考慮結合代數(shù)思想（初次解題用時30分）;幾何畫板直觀演示，學生視覺理解，用時25分得正解。讓其解決變式：將例1點G 速度改為每秒4厘米，其余不變。用時30分得正解，對參數(shù)t1賦值10加以直觀驗證。

其間學生找出等量線段GF'=HE'算得時間為12秒，未能將此錯誤排除（認為是前攝干擾及未能意識到該等量關系不是線段GH兩等分平行四邊形充要條件所致）。對參數(shù)t1賦值12驗證，學生直觀領悟，分析糾正，意識到利用等量關系GF'=HE'所得答案不合要求。可見變化問題背景可促使學生對圖形采用符合自身思維特點的方法積極進行組織與建構，優(yōu)化圖形知覺經(jīng)驗，提升思辨能力。

借助課件，學生觀察事物運動過程，產(chǎn)生具象思維（對應線段等量關系），進行思想組合（代數(shù)和幾何思想），選擇正確方式解決問題，再通過變式練習加以自省、修正，鞏固思維模式。考慮對例1拓展，命題思路比如：在△ABC中，AC=a，BC=b，點A以速度V1沿AC邊向點C運動，同時點B以速度V2沿BC邊向點C運動。當點A運動到點E，點B運動到點D時，四邊形DFEC與△ABC的面積比等于μ（其中a、b、V1、V2及μ皆為正有理數(shù)，且μ<1）時，求點A運動時間？

三、抓住本質(zhì)，一線貫通

一線貫通的課件演示，能使學生充分產(chǎn)生視知覺上的系統(tǒng)化比對，促進聯(lián)想，擴大數(shù)學實驗范圍，利于思維融通。比如用幾何畫板構造“鐘表問題”與構造“直線或圓周上的追及、相遇問題”的思想方法相同。

教學中問及“兩個相鄰的十二時整之間時針與分針有幾次重合（不計初始的時分針重合）”，學生回答12次?？紤]其未形成整體視覺感知故產(chǎn)生錯誤。構造“虛擬時鐘”，促使學生形成正確意象，提升其在背景中提取關鍵要素能力，自覺進行比較、糾正。

案例2：“虛擬時鐘”及拓展

（一）“虛擬時鐘”的構造：

1.在畫板的繪圖區(qū)內(nèi)建立極坐標系

（1）建立極坐標系

（2）新建三個參數(shù)，并分別命名為“時針速度”、“分針速度”和“差值”，依次賦值為“-0.5”、“-6”和“0”。

2.構造運行時間

（1）依次選中原點和單位點，構造射線。

（2）在第一步所作的射線上，任意構造一點A，并度量點A的橫坐標。將點A的度量值標簽改為“時間”。

3.構造各點的極坐標

（1）新建一參數(shù)，標簽為“時分針重合次數(shù)”，賦值為“11”。計算“分針速度·時間·1°”與“（時針速度·時間+差值）·1°”，以及“（差值+時分針重合次數(shù)×360）÷（時針速度-分針速度）”。

（2）選中度量值“（差值+時分針重合次數(shù)×360）÷（時針速度-分針速度）”，右擊選擇“標記比值”命令。以原點O為標記中心，選中單位點，選擇“縮放”命令，單擊“縮放”按鈕，此時在x軸上出現(xiàn)的點命名為點“B”。

（3）新建參數(shù)命名為“表盤半徑”，賦值為4。

4.制作時分針

（1）分別選擇“表盤半徑”、“分針速度·時間·1°”;“表盤半徑”、“（時針速度·時間+差值）·1°”，繪制（ρ，θ）。

（2）以“表盤半徑”作為縮放比，在x軸縮放構造另一點，以原點O為圓心，與該點構造一圓作為鐘表表盤，構造時分針、時間刻度線。

5.構造演示按鈕

（1）依次選中點A、點B，選擇“移動”命令，改標簽為“移動點1”（點擊該按鈕開始計時）。

（2）依次選中點A、原點O，選擇“移動”命令，改標簽為“移動2”（點擊該按鈕復位），速度設置為“高速”。

（3）“（差值×1°+時分針重合次數(shù)×360°）÷（（時針速度-分針速度）×1°）” 的標簽改為“運行時間”。

（4）點擊“移動2”按鈕，原點O標記為中心，將時分針旋轉到12點方向。點擊“保存”按鈕。

孤立地看，制作“虛擬時鐘”亦有另法。

（二）利用“虛擬時鐘”演示“鐘表問題”示例：鐘面在5點到6點之間，時針與分針何時成直角？利用視覺動圖激發(fā)意象，如參考圖4。

對“鐘表問題”構造方式略作改變，可從指針運動角度觀察驗證“平面內(nèi)△KML內(nèi)角和等于180°”。如圖5：點Z、M、L三點共線，初始狀態(tài)指針MY與線段MZ重合，指針MY作順時針旋轉。

構造“直線或圓周上的追及、相遇問題”與此例本質(zhì)同（其中賦值的正負性決定點在直線或圓周上的運動方向或位置）。

四、整合思想，多角探究

學生思維發(fā)展是“點到線，線到面，面到體”逐漸豐滿的過程。整合幾何畫板各種構造思想，為培養(yǎng)學生的數(shù)學實驗能力提供機會。在邊看邊做中，學生自主建構“活圖式”，而非機械教條地掌握知識。

案例3：通過具象洞察，綜合上述例1、例2幾何畫板制作思想，產(chǎn)生反?。阂阎我馔顾倪呅蜛BCD各邊長度及四個內(nèi)角度數(shù)，點G 以速度v（v≠0，v的正負性由規(guī)定運動方向決定），點F以速度3v同時從D點出發(fā)作順時針運動。設定點F繞四邊形一周后于AB邊第一次追及點G，求這段時間內(nèi)△AFG的最大面積（或底邊FG的最大值，或底邊FG上高的最大值）？如圖6。

小學階段是逐步形成數(shù)學思想與科學思維模式的關? ?鍵時期。利用幾何畫板，將動點、追及、面積、線段等問題多方位整合，學生通過動態(tài)視覺探究，拓展思維，利于實現(xiàn)小、初、高知識點與思想方法的貫通。

朱熹說讀書要“心到、眼到、口到。”視覺演繹可在數(shù)學學習中彌補符號等表征短板，豐富體驗，加深理解，促進思辨。借助“幾何畫板”等軟件，可以促進學生在數(shù)學領域中翱翔。

參考文獻：

[1]劉勝利.幾何畫板課件制作教程（第三版）[M].北京：科學出版社，2010

[2]趙慧臣.知識可視化視覺表征的理論建構與教學應用[M].北京：中國社會科學出版社，2011.11