沈文炳

摘 要：通過輕繩連接的小球在豎直平面下落后輕繩瞬間繃直并做圓周運(yùn)動(dòng)的模型是中學(xué)物理的典型模型。通過構(gòu)建剛性金屬絲圓軌道，并利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)和幾何畫板作圖，認(rèn)識(shí)到了小球能否再次從圓軌道回到最低點(diǎn)的條件。最后，利用該模型解決了電場中的繩瞬間繃直的問題。

關(guān)鍵詞：瞬間繃直；金屬絲圓軌道；數(shù)學(xué)求導(dǎo)；幾何畫板

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1003-6148（2016）11-0043-2

1 問題的提出

通過輕繩連接的小球在豎直平面的圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理研究的一個(gè)典型模型，其中涉及到的“繩瞬間繃直”問題是難點(diǎn)[1，2]。如圖1所示，長度為R的輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端連接質(zhì)量為m的小球，A、B、C、D是半徑為R的豎直平面的圓周上的四點(diǎn)。把小球從與水平方向成θ角的位置1由靜止釋放，小球自由下落到圓周上的位置2時(shí)速度為v，并在瞬間速度發(fā)生突變，輕繩方向的速度消失，速度變?yōu)関1，然后沿圓周運(yùn)動(dòng)。

一般的試題中，主要是求解小球第一次到達(dá)最低點(diǎn)B的速度。那么，在角度θ改變時(shí)，小球能否再次沿圓周通過最低點(diǎn)B？

2 問題的解決

小球從位置2向右沿圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果到達(dá)的最高點(diǎn)位于D點(diǎn)及以下時(shí)，就會(huì)沿圓周再次回到最低點(diǎn)B；如果能越過D點(diǎn)，則會(huì)從D點(diǎn)上方的圓周上某點(diǎn)脫離圓周，然后向左上方做斜拋運(yùn)動(dòng)。

為了簡單，假設(shè)從位置2向右的圓周用光滑的剛性金屬絲做成，有孔小球到達(dá)位置2后開始穿入圓軌道并向右運(yùn)動(dòng)。小球向右運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)3與CD夾角為α。若點(diǎn)3在CD下方則α為正，在CD上方則α為負(fù)。由動(dòng)能定理，小球從位置1到位置2過程中，2mgRsinθ=mv2；從位置2到最高點(diǎn)3的過程中，-mgR（sinθ-sinα）=0- mv ；又v1=vcosθ。聯(lián)立上述方程可以得到sinα=2sin θ-sinθ，其中0≤θ≤0.5π。

對方程求導(dǎo)，有（sinα）=（6sin2θ-1）cosθ，令（sinα）=0，可知，當(dāng)θ=0.5π時(shí)，sinα有最大值1，小球下落后靜止在B點(diǎn)；當(dāng)sinθ= 時(shí)，sinα有最小值- ≈-0.27，小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度最大。利用幾何畫板作方程的圖像如圖2所示。

從圖2可以看出，當(dāng)0<θ<0.25π時(shí)，小球會(huì)從D點(diǎn)上方某點(diǎn)脫離圓弧，向左上方做斜拋運(yùn)動(dòng)，不會(huì)沿圓弧到達(dá)B點(diǎn)；當(dāng)0.25π<θ<0.5π時(shí)，小球會(huì)在圓弧CBD上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)第二次沿圓弧到達(dá)B點(diǎn)。

3 問題的遷移

人民教育出版社課程教材研究所和物理課程教材研究開發(fā)中心編著的《教師教學(xué)用書》選修3-1第69頁第10題涉及到“繩瞬間繃直”的電場問題，可以用上述重力場的模型類比解決。

例 如圖3所示，空間存在水平方向的勻強(qiáng)電場E=2.0×104 N/C，在A處有一個(gè)質(zhì)量為0.3 kg的質(zhì)點(diǎn)，所帶電荷量q=+2.0×10-4 C，用一長L=600 cm的不可伸長的絕緣細(xì)線與固定點(diǎn)O連接。AO與電場線平行處于水平狀態(tài)，取g=10 m/s2?，F(xiàn)讓該質(zhì)點(diǎn)在A處靜止釋放，求：

（1）質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)增加的機(jī)械能ΔE；

（2）質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)的速度大小v1。

如圖4所示，A、B、C、D、G、H、K為半徑為L的圓周上的點(diǎn)，HB和GK垂直，GK和AD平行，OC為豎直方向。由于小球受的向左的電場力qE=4 N，重力mg=3 N，合力F=5 N，方向指向AD方向，AO和HB間夾角θ=53 °。小球第一次到達(dá)O點(diǎn)正下方的位置為P點(diǎn)。

如果要判斷小球能否沿圓周通過O點(diǎn)正下方的C點(diǎn)，就可以用上述的結(jié)論來類比。合力F類比于圖1中的mg，GK類比于圖1中的BA，HB類比于圖1中的DC。由于θ=53 °，滿足0.25π≤θ≤0.5π，小球到達(dá)D點(diǎn)后沿圓周向左運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)下方某處速度為零，然后返回通過C點(diǎn)。利用功能關(guān)系和動(dòng)能定理可以求解小球再次通過O點(diǎn)正下方時(shí)的速度大小。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈金虎. 高考物理試題的審題方法和技巧[J]. 物理教學(xué)探討，2009，27（05）：27—31.

[2]王志民. 物體將繩瞬間繃直現(xiàn)象的分析與求解[J]. 中學(xué)物理教學(xué)參考，2000，29（11）：27—29.

（欄目編輯 羅琬華）