蘭衍局

摘? 要：拓展性課程有別于基礎性課程，是對人的和諧、自主、有差異發(fā)展目標的完善與提升;小學數(shù)學拓展課程是為了讓學生更好地學習、理解和感受數(shù)學而設計的，要“突出拓展性課程的興趣性、活動性、層次性和選擇性，滿足學生的個性化學習需求”。文章所指的“綜合實踐類拓展課程”主要從人教版教材的內(nèi)容出發(fā)，依據(jù)學生的學習效果，結(jié)合核心素養(yǎng)的要求等方面進行拓展和應用，更多關注學生的薄弱知識與技能以及高階思維的發(fā)展，它是一些源于教材、寬于教材、高于教學的數(shù)學學習材料，是未來課程發(fā)展的需要。筆者認為，小學數(shù)學綜合實踐類拓展課程學習素材研發(fā)，要體現(xiàn)以教材實踐活動為基礎，兼顧不同學科的內(nèi)容安排，注意積累基本活動經(jīng)驗，關注學生的思維發(fā)展和素養(yǎng)提升為重點的基本原則。

關鍵詞：小學數(shù)學;拓展課程;綜合實踐;素材研發(fā)

華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學?！边@是對數(shù)學廣泛運用于生活的精彩描述。此次課程改革提出要在小學階段開展總課時量15%左右的拓展課程。筆者認為，小學階段的實踐類拓展內(nèi)容除了體藝類的內(nèi)容之外，還要關注孩子思維與實踐的融合，而數(shù)學綜合實踐活動類的課程內(nèi)容是最適合不過了。

為此，筆者帶領40多位工作室的學員，歷時4年左右的時間分別開發(fā)了3～6年級共約40節(jié)拓展課，我們確定了“基于教材、整合學科、發(fā)展思維、提升素養(yǎng)”十六個字的學習素材研發(fā)原則，通過尋找教學實際困難，依據(jù)核心素養(yǎng)理念整合各學科知識，開展拓展活動。

一、拓展課程學習素材的選擇要深度挖掘教材知識

教材是小學數(shù)學學習的“根”，離開了教材的拓展課程是“無根之木”。我們要非常清醒地認識到：學生已經(jīng)學了很多小學數(shù)學課程內(nèi)的知識了，為什么還要再學習拓展課程呢？要避免給孩子新的負擔。因此，拓展課程的開發(fā)，要對教材的內(nèi)容進行再“研究”、再“設計”、再“實踐”……甚至于“重組”。換句話說，是讓學生更加“吃透”教材，從而內(nèi)化知識，提高興趣。

比如，教材的有些內(nèi)容出現(xiàn)在課后練習中，作為一種相關知識拓展練習呈現(xiàn)的，由于沒有安排課時進行教學，學生難以系統(tǒng)學習，如“24點游戲”“七巧板”等內(nèi)容;有些知識的課時數(shù)量也相對比較少，比如“位置與方向”“方程”等內(nèi)容，都可以通過拓展課程補齊短板;此外，教材中有些帶星號的練習，往往被師生當成選做的對象，沒有很好地發(fā)揮習題的實際效果，需要進行拓展研發(fā)。比如五年級的一道練習：1/4>（ ）/（ ）>1/5，4/5>（ ）/（ ）>7/10，很多孩子會利用通分的方法完成填空。但是，這樣的一道精彩習題，僅僅完成一個答案我們覺得是非?？上У?！由此，我們開發(fā)了“夾縫中的分數(shù)”這樣一堂實踐拓展課。在教學中，我們讓學生“動手畫圖、合作交流”等方式探究不同的解題方法。孩子們想出了“通分母”“化小數(shù)”“十字交叉相乘”（如圖1）等方法。在此過程中，發(fā)展了對分數(shù)的概念，提升了數(shù)學研究能力。

學生在展示自己一種思考方法后，課堂里又展示了其他學生的不同方法，讓學生感受尋找兩個分數(shù)之間的分數(shù)的方法的多樣性;之后，學生通過思考幾種方法的共同點，打通各種方法之間的聯(lián)系，通過數(shù)形結(jié)合，讓學生深刻感受通分的分數(shù)單位越小，兩個分數(shù)分子之間的中間數(shù)就越多，找到的分數(shù)也就越多，轉(zhuǎn)化成小數(shù)也是一樣的道理，計數(shù)單位越小，找到的小數(shù)就越多。繼而感受數(shù)的稠密性，發(fā)展學生的極限思維。數(shù)形對照，以數(shù)輔形，以形助數(shù)，形象思維與抽象思維聯(lián)袂而行。既有直觀的解釋，又便于嚴謹?shù)倪壿嬐评?，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。

最后，在班級授課制下，教學往往會受制于教學時間、教學條件等因素的干擾，很多課堂實踐的內(nèi)容被淡化甚至以說教代替實踐。比如，“秒的認識”“千米的認識”一課。

二、拓展課程學習素材的選擇要注意學科之間的整合

在開發(fā)拓展課程的時候，要依據(jù)教學大綱兼顧不同學科的教學內(nèi)容。避免學科之間內(nèi)容的重復，也能從中挖掘出數(shù)學的內(nèi)涵，整合不同學科的知識，減少課時數(shù)量，解放學生。如科學課中“擺”的知識，我們就和統(tǒng)計教學中“用哪個數(shù)據(jù)代表一般水平”這樣的知識相整合，開發(fā)了“蕩秋千”為題的數(shù)學拓展課。

主要研究的內(nèi)容是在相同時間內(nèi)“秋千”擺動的次數(shù)與物體的重量無關，與擺繩的長短有關。為了達成數(shù)學知識與科學知識整合的目標，我們主要制訂了兩個的教學方案：其一，放手讓學生去設計實驗方案。比如，要蕩秋千的次數(shù)是否與物體的重量有關？就要考慮將繩長等外界原因全部歸零，再變化物體的重量，從而設計出實驗方案……其二，在出現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)不一致的時候，讓學生思考用“平均數(shù)”“眾數(shù)”等知識，選擇合理的數(shù)據(jù)代表“一般水平”，并用計算機模擬實驗精確數(shù)據(jù)，我們將次數(shù)展示盡可能多的小數(shù)位數(shù)，讓數(shù)據(jù)更具準確性。通過測試單擺的15秒鐘的次數(shù)與科學數(shù)據(jù)進行對比，確定可行性（如圖2、圖3）。

在開發(fā)這堂課的過程中，我們認為重點是讓孩子掌握數(shù)學實驗的能力和數(shù)據(jù)篩選的意義，而不是強調(diào)結(jié)果的記憶與固化。因此不必將目標定位于“得出結(jié)果，掌握一般規(guī)律”，而應重在拓展課堂的時間與空間，以及學習方式，避免將實踐活動當作知識技能教學是第一步。

數(shù)學拓展課程的學習素材不僅可以和科學學科整合，還可以和語文、思品等各種學科整合;有時候還可以走出教材，與歷史、人文、文化等統(tǒng)整在一起;甚至和新聞事件整合。比如，此次中國“抗擊疫情”行動中，一個官員對于口罩數(shù)量從“108億”只到“18億”只再到“108萬”只，就可以研發(fā)“大數(shù)的再認識”這樣的拓展課，讓孩子們進一步感受到“數(shù)的大小”。

三、拓展課程學習素材的選擇要關注學生的思維發(fā)展

一般來說，對學生拓展性課程內(nèi)容的學習情況宜采用靈活多樣的考查方式進行評價，而不應成為期末學業(yè)考試的必考內(nèi)容，否則就容易使主動、積極的實踐性學習降格為被動的鞏固與訓練，不僅會降低學生學習的興趣，甚至會加重學生的負擔。這與我們實踐課程改革、構(gòu)建學科拓展性課程的初衷是相悖的。因此，數(shù)學拓展性課程的內(nèi)容選擇不應增加知識，而應以解決問題和發(fā)展思維為重點。比如，在小學數(shù)學教學中，我們遇到這樣一類問題：“買了若干瓶礦泉水，喝完后幾個空瓶可換一瓶水，最多可以喝到多少瓶水？”這類“以瓶換水”常被我們當作思考題來考學生，學生也容易在這方面出錯。由此，我們提出要依據(jù)“空瓶換水”的素材，開設一節(jié)“強調(diào)引導學生在經(jīng)歷解決問題的過程中，突出感受直觀模型的價值、突出解題策略的指導，進而掌握模型獨立解決問題的方法，提升素養(yǎng)”的拓展課。下面是該課的主要教學片段：

片段一：畫信息，培養(yǎng)等量意識

題目：3個空瓶換1瓶飲料。

圖形表征：同學們對這句話都有自己的理解，那你能不能用一幅圖把這句話的意思畫出來？

師：這兩幅圖，除了選的圖形形狀不一樣，還有什么不一樣的地方？

生：圖①畫的是換來的1瓶新的飲料，圖②是把換來的飲料空瓶和飲料分開畫的。

歸納小結(jié)：原來我們說的3個空瓶換1瓶飲料，換來的是1份飲料和1個新的空瓶。（板書：3個空瓶=1個空瓶+1份飲料）

片段二：畫過程，滲透代數(shù)思想

題目：小明有12個空瓶，最多能喝到幾瓶飲料？

對比：這兩位同學的方法有什么一樣和不一樣的地方？

質(zhì)疑：他們還剩余2個空瓶，怎么把它利用好？

生：向老板借一瓶飲料，然后還他。（借的是1瓶飲料，還的是1個空瓶，老板會同意嗎？）

片段三：“畫”到“算”，深化模型思想

師：通過剛才的學習，我們知道了3個空瓶換1瓶飲料，其實就是用2個空瓶換1份飲料，那18個空瓶你覺得最多可以換多少份飲料呢？

反饋：

（1）畫圖：如圖6所示。

（2）算式：18÷2=9（份）。

……

聚焦“空瓶換飲料”這部分內(nèi)容，本課還承載著幫助學生經(jīng)歷從實物圖到示意圖，再到數(shù)量關系模型建立的抽象任務，為解決類似的“空瓶換飲料”的問題奠定基礎，初步經(jīng)歷在解決問題中進行量與量之間的轉(zhuǎn)換，代數(shù)式的恒等變形的過程，為后繼學習等式基本性質(zhì)做鋪墊。

這樣的一節(jié)“等量模型解決問題”的拓展課，學會運用等量模型這一數(shù)學思想方法來解決一些簡單的實際問題或數(shù)學問題，引導學生經(jīng)歷數(shù)學抽象、數(shù)學推理與數(shù)學建模的過程，實現(xiàn)思維的發(fā)展。

四、拓展課程學習素材的選擇要能提升學生的核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)可以簡單地理解為學習者在進行某一科目的學習過程中最終能夠獲得的能力。目前對于小學數(shù)學的學習較為關注，尤其注重的是對學生素質(zhì)和能力的培養(yǎng)。數(shù)學核心素養(yǎng)是學生通過學習能夠達到的具有特殊性的綜合能力，沒有特定的知識點或者是技能要求，與過去理解的數(shù)學能力有一定的區(qū)別。比如，五年級的教材中有這樣一道題目：某茶廠工人要將長、寬各為20厘米，高為10厘米的長方體茶盒裝入棱長為30厘米的正方體紙箱，最多能裝幾盒？教材編寫這道思考題的意圖是對長方體、正方體表面積與體積計算的應用。而此題是長方體與正方體體積的實際應用，按照一般的方法：紙箱的體積÷茶盒的體積=裝幾盒，但這顯然不符合實際情況。這里需要學生在頭腦中形成真實擺放的表象（如圖7）。

我們發(fā)現(xiàn)，這樣的思考題對于發(fā)展孩子們的空間觀念幫助很大。但是，離開了課件，很多孩子是沒有辦法想象的，而僅僅依靠三維課件對孩子們的空間發(fā)展又不是很有利。于是，我們開發(fā)了一堂拓展課，題為“紙箱中的數(shù)學問題”。在教學中，我們讓學生學會先畫出各種擺法的底面圖，然后借助底面圖現(xiàn)象圖形鋪滿一層之后的樣子，進而思考剩余的空間部分形成什么圖形。在不斷地思考、畫圖想象中發(fā)展學生的空間觀念，提升素養(yǎng)。如下教學片段：

某化工廠用一種長方形紙箱分別裝牙膏和香皂。紙箱從里面量的數(shù)據(jù)如圖8①所示。（單位：厘米）

牙膏盒和香皂盒從外面量的數(shù)據(jù)如圖8②、③所示（單位：厘米）。如果用紙箱裝香皂，一箱最多能裝幾盒？（主要作品如圖9）

本課通過讓學生“想一想——擺一擺——畫一畫”的方式經(jīng)歷從“實物——表象——抽象”的過程，從算式中想象裝箱情況，裝箱的立體圖形變成平面圖形，再從不同的平面圖到立體圖最后回到算式，這樣數(shù)形結(jié)合方式幫助學生在頭腦中形成真正的表象。此外，“底面圖”貫穿了整節(jié)課，借助“底面圖”想象立體圖形的擺法，又利用畫“底面圖”找剩余空間，想象剩余空間，再用“底面圖”來描述剩余空間的裝箱情況。滲透“底面圖”內(nèi)容，運用“底面圖”教學手段來解決立體幾何知識，豐富了幾何課程內(nèi)容，調(diào)動學生多種感官參與學習活動，真正讓學生在頭腦中有表象，發(fā)展學生的數(shù)學思維，使他們形成空間觀念，進而發(fā)展空間想象力，建立空間觀念，培養(yǎng)幾何直觀與推理能力。