【摘要】本文以《分數(shù)除以分數(shù)》為例，呈現(xiàn)了小學數(shù)學理性課堂追求的課例實踐研究，以深入分析學情為實踐研究的起點，通過積淀和碰撞堅定實踐研究的方向，在研究的過程中充分考慮小學生數(shù)學理性思維的現(xiàn)狀，通過先后經(jīng)歷合情推理和演繹推理以實現(xiàn)理性數(shù)學課堂的追求，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學方法和數(shù)學思想。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 合情推理 演繹推理 理性課堂

《分數(shù)除以分數(shù)》是蘇教版數(shù)學教材六年級上冊“分數(shù)除法”單元的教學內(nèi)容。分數(shù)除法的計算法則是教學的難點，這不是因為學生不會按照法則進行計算，而是因為學生不易得出并理解法則。使法則的形成過程符合小學生的認知特點，是蘇教版數(shù)學教材編排的一個亮點。然而，怎樣借助這一編排亮點使小學數(shù)學課堂真正綻放出理性的光芒？我課題組以課例《分數(shù)除以分數(shù)》為抓手，深入研究，實踐思考。

一、分析學情，找準思想的起點

在學習“分數(shù)除法”單元前，學生已經(jīng)學會分數(shù)加法、減法和乘法的計算，而學習分數(shù)除法后，學生掌握了分數(shù)的四則運算。

分別對比人教版教材以及原蘇教版教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)安排，可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行蘇教版教材對于分數(shù)除法計算的教學安排得非常細致，從分數(shù)除以整數(shù)，至整數(shù)除以分數(shù)，最后是分數(shù)除以分數(shù)，在邏輯上逐步形成包攝性很強的法則。學生通過對例1、例2、例3的學習，已經(jīng)明確了分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)均可以轉(zhuǎn)換成相應的分數(shù)乘法進行計算。

例4和“練一練”安排研究分數(shù)除以分數(shù)。分析、解讀教材，在分數(shù)除以整數(shù)的研究中，教材利用平均分的意義實現(xiàn)了思維遷移;在學習整數(shù)除以分數(shù)時，教材利用包含除的概念實現(xiàn)了算法推理;在分數(shù)除以分數(shù)的研究中，教材意圖利用數(shù)形結(jié)合的方法并借助包含除的意義完成合情推理及直觀驗證，從而讓學生逐步理解轉(zhuǎn)化是必然的，并將積累的知識經(jīng)驗進一步歸納、推廣，意圖實現(xiàn)數(shù)學思維“理性”的飛躍。

二、積淀碰撞，堅定思想的方向

教材的編排重視推理在分數(shù)除法算法研究中的運用，然而，我們認為，只經(jīng)歷了例4這種相除的特例探究就匆忙進行算法的歸納，明顯是有邏輯漏洞的，部分學生提出了質(zhì)疑，而這些質(zhì)疑我們不能視而不見。我們不得不考慮，如何讓學生經(jīng)歷完整、嚴密的推理探究之旅，從而讓學生對算法確認無疑，呈現(xiàn)數(shù)學理性思維的嚴謹。

基于以上對教材的解讀，我們調(diào)查了學生的思維水平現(xiàn)狀，并充分考慮銜接第三學段數(shù)學學習的需求，重新審視了本課例。雖然本課例從課型上可類歸為計算課，但是小學階段學習數(shù)的運算，不僅是正確計算的需要和解決實際問題的需要，也是學生進一步學習和發(fā)展的需要。由于六年級學生已經(jīng)具備了一定的思維和探究能力，為了讓計算法則的教學不是被動接受，而是主動建構(gòu)的過程，課堂教學中不僅要重視合情推理在研究算法中的作用，更要借助演繹推理實現(xiàn)學生嚴謹思維的生成，從而讓數(shù)學理性的思維火花真正迸發(fā)。

在人們認識世界的過程中，合情推理和演繹推理分別扮演著重要角色，演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程，而數(shù)學研究思路的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理。

三、經(jīng)歷“合情推理”，體悟合理

合情推理是指“合乎情理”的推理，歸納和類比是常用的合情推理，它們都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、猜想、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，從而提出猜想。在數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供思路和方向，合情推理顯然貼近小學生的思維現(xiàn)狀，利于為思維的深入搭建溝通的橋梁。

探究活動一：同分母分數(shù)相除

1.教學例題

（1）出示例題。

（2）提出猜想。

談話組織探究活動。

（3）自主驗證。

（4）展示交流。

組織交流，預設：

A.數(shù)形結(jié)合。（板貼色塊展示）

B.轉(zhuǎn)化成以毫升為單位計算。

C.轉(zhuǎn)化成小數(shù)計算。

D.利用商不變的規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)計算。

E.假設驗證。

談話小結(jié)。（相機板書）

探究[910]÷[310]的算法，理解其算理是本環(huán)節(jié)教學的核心，教材編排從提出合理猜想起步。因為合情推理是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維，它是形象思維最直接的層面，只要建立在合理的問題情境之上，猜想并不用“教”，它是順其自然而生的思維，學生根據(jù)先前的學習經(jīng)驗，水到渠成地提出了對算法的合理猜想。本課例的教學實踐中，預設了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想和假設驗證三個層次的驗證方法，結(jié)合學生的學情相機出示。其中，數(shù)形結(jié)合的驗證方法清晰呈現(xiàn)了算理;轉(zhuǎn)化的驗證方法實現(xiàn)了數(shù)學思想方法的滲透;假設驗證法是教師在學生“驗算”經(jīng)驗的層面上適當提升所得，這一假設推理整理、疏導已有的相關(guān)經(jīng)驗和思路，這一理性的“感悟”為后續(xù)探究奠定了理性思維的基石。

2.舉例驗證

（1）談話組織研究。

明確：大量舉例。

組織探究。

（2）學生自主驗證，教師巡視。

（3）展示交流，分層出示。

預設：

A.一般情況：[45]÷[25]=? 。

B.特殊情況，如：[67]÷[57]=? 。追問：為什么不轉(zhuǎn)化成小數(shù)來驗證？

C.特殊情況，如[49]÷[89]=? 。

（4）小組交流，追問：你們舉的例子中有反例嗎？

3.歸納結(jié)論

談話回顧。（相機板貼：猜想，驗證，歸納）

本環(huán)節(jié)的探究主要組織學生經(jīng)歷合情推理中的不完全歸納。由于學生已經(jīng)有一定的探究經(jīng)驗，所以會想到用舉例驗證的方法進行研究，但學生容易先入為主，所舉的例子太過單一，使得探究的有效性大大降低，故通過提問設疑來組織教學探究活動，讓學生充分暴露認知的局限性，在交流中形成有效舉例探究的共識，同時通過“反例意識”來組織學生完結(jié)這一階段的不完全歸納的探究之旅。學生在所經(jīng)歷的“非形式”思維過程中，反思與質(zhì)疑、思維與表達等能力均得到了提升，從而為逐步抽象形成理性思維架起了溝通的橋梁。

四、經(jīng)歷“演繹推理”，呈現(xiàn)嚴謹

演繹推理也稱為邏輯推理，是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。第三學段的數(shù)學學習中，“演繹推理”是用于數(shù)學證明和研究的主要手段，但是小學生的抽象能力尚有限，過于理性的學術(shù)抽象顯然會讓學生在斷層的思維中迷失方向，如何能真正“演繹”出數(shù)學理性的嚴謹呢？

探究活動二：異分母分數(shù)相除（練一練）

1.談話設疑

預設：

A.舉例驗證。

B.轉(zhuǎn)化成同分母。

出示“練一練”，談話組織研究。

2.展示交流

（1）轉(zhuǎn)化成同分母計算;數(shù)形結(jié)合明確算理。（相機板貼）

（2）直接乘倒數(shù)計算。

3.觀察比較，溝通聯(lián)系

追問：用第二種方法只驗證了這一個例子，還需要更多的例子進行驗證嗎？

小結(jié)。（相機板書）

本環(huán)節(jié)的教學主要組織學生經(jīng)歷演繹推理的探究學習過程。由于學生的思維層次不同，再加上先前同分母分數(shù)相除的研究，針對“異分母分數(shù)相除”的研究，學生水到渠成地形成了兩種探究的思路，這完全是學生思維能力原生態(tài)的呈現(xiàn)，理性的思維花火在以上兩個層次的交流和推進中得以進一步迸發(fā)。然而，在這里確定思路并非難處，教學中促進理性思維提升的關(guān)鍵點在巧妙的追問：“利用這種方法進行研究的學生，是不是遇到異分母分數(shù)相除都要化成同分母分數(shù)相除來計算呢？”教師設疑引導學生主動觀察，讓學生在觀察中實現(xiàn)自我認知的突破。通過本環(huán)節(jié)的探究學習，學生的思想從合情推理的“合理”體驗逐漸上升為領(lǐng)略演繹推理的“嚴謹”魅力，那一層層推波助瀾式的表達交流讓數(shù)學理性抽象的線索逐漸清晰。教學中摒棄了字母抽象的形式，而是圍繞[35]÷[310]這一特例展開探究，但這絕不是摒棄簡潔、概括、輻射面廣的優(yōu)點。太過抽象的純教條化學術(shù)抽象完全脫離了小學生需求的“理性”，這種為了理性而理性的做法并非小學數(shù)學課堂中理性教學的追求初衷。

小學階段的技能教學既要教“術(shù)”，也要教“理”，同時更要突出對基本數(shù)學思想的感悟和數(shù)學方法的積累。研究課例《分數(shù)除以分數(shù)》，不僅幫助學生完整地統(tǒng)攝了分數(shù)除法計算乃至除法計算的算法，同時促使教師進一步思考和實踐計算教學的力量。教師應意識到培養(yǎng)學生的數(shù)學方法和數(shù)學思想之于數(shù)學教學的意義，而這樣的數(shù)學課堂才是真正“理性”的課堂，長此以往方能真正促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，讓小學數(shù)學課堂綻放理性思維的魅力火花。

作者簡介：姚翕蔚（1985— ），女，江蘇無錫人，大學本科學歷，一級教師，研究方向：小學數(shù)學教學。

（責編 雷 靖）