陳綺琳

【摘要】數(shù)學(xué)概念是反映事物在空間形式與數(shù)學(xué)關(guān)系方面的關(guān)鍵屬性或本質(zhì)屬性的基本單位.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的內(nèi)容之一，對(duì)于計(jì)算和應(yīng)用題的解決起著重要的作用.多元表征是符號(hào)表征、語(yǔ)言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等外在表征形式的綜合，多元表征有利于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生全面審視問題的能力，并且?guī)椭鷮W(xué)生形成最優(yōu)化的解題策略，因此運(yùn)用多元表征理論指導(dǎo)概念教學(xué)具有重要的意義.筆者對(duì)如何在概念教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用多元表征進(jìn)行實(shí)踐研究，以北師大版五年級(jí)上“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)為例，探討如何借多元表征悟數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生達(dá)到正確地理解、運(yùn)用分?jǐn)?shù)的概念，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用能力.

【關(guān)鍵詞】多元表征;動(dòng)作表征;表象表征;口語(yǔ)表征;概念教學(xué)

表征是指信息在心理活動(dòng)中的表現(xiàn)和記載的方式[1].數(shù)學(xué)外在表征（簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)表征）是指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為，也是指形式的本身[2].美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：在人類智慧生長(zhǎng)期，有三種表征方式在起作用，它們分別是動(dòng)作表征、表象表征和符號(hào)表征.這三種表征系統(tǒng)的相互作用，是人類認(rèn)知生長(zhǎng)和智慧生長(zhǎng)的核心.三種不同表征代表著思維活動(dòng)的不同程度.學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念往往是以線性方式從動(dòng)作表征到表象表征，最后通過抽象思維形成符號(hào)表征.美國(guó)學(xué)者萊什從交流、認(rèn)知的作用出發(fā)，在布魯納的表征系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加了口語(yǔ)和實(shí)物情景兩種表征，他認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有五種外在表征形式：（1）實(shí)物情境;（2）教具模型;（3）圖形或圖表;（4）口語(yǔ);（5）書寫符號(hào)[3].他曾借助圖形來說明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程：實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表述方式如圖形、書面語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、現(xiàn)實(shí)情境等同樣也發(fā)揮了十分重要的作用.萊什的論述顯然具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，即是指我們?cè)诮虒W(xué)中不應(yīng)片面地強(qiáng)調(diào)“情境設(shè)置”或“動(dòng)手實(shí)踐”.另外，從更為一般的角度分析，這實(shí)際上也可以被看成為我們?nèi)绾胃玫厝ダ斫鈹?shù)學(xué)教育領(lǐng)域中這樣一個(gè)普遍的發(fā)展趨勢(shì)提供了直接的背景，即是指對(duì)于“聯(lián)系”的突出強(qiáng)調(diào)（當(dāng)然，對(duì)于這里所說的“聯(lián)系”我們應(yīng)作廣義的理解，即這不僅是指同一概念不同心理表征之間的聯(lián)系，也是指不同概念乃至不同學(xué)科或?qū)W科分支之間的聯(lián)系）.例如，美國(guó)數(shù)學(xué)教師全國(guó)委員會(huì)在2000年頒布的新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就將“聯(lián)系”與“數(shù)和運(yùn)算”“模式、函數(shù)和代數(shù)”“幾何與空間感”“度量”“數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)與概率”“問題解決”“推理與證明”“交流”“表述”等一起列為學(xué)校數(shù)學(xué)的“十項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)”.

20世紀(jì)80年代以來，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)在教育領(lǐng)域的應(yīng)用，多元外在表征的研究成為認(rèn)知科學(xué)、教育技術(shù)、教育心理學(xué)等領(lǐng)域的熱門話題.多元表征是符號(hào)表征、語(yǔ)言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等外在表征形式的綜合，多元表征有利于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生全面審視問題的能力，并且?guī)椭鷮W(xué)生形成最優(yōu)化的解題策略.因此，運(yùn)用多元表征理論指導(dǎo)概念教學(xué)具有重要的意義.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多元外在表征的研究主要趨勢(shì)是：綜合運(yùn)用多種理論和多種研究方法，深入探討多元外在表征研究對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義，建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多元表征研究的基本理論;系統(tǒng)思考各種因素，探討運(yùn)用多元外在表征的教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)習(xí)效率.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的多種表征形式.南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授指出，“概念教學(xué)的一個(gè)主要目標(biāo)是幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并能根據(jù)需要與情境在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換”.我們?cè)诟拍罱虒W(xué)中不應(yīng)片面地強(qiáng)調(diào)“情境設(shè)置”或“動(dòng)手實(shí)踐”，應(yīng)當(dāng)注重不同表征之間的有機(jī)融合，幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)[4].現(xiàn)以北師大版五年級(jí)上“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)為例，對(duì)概念教學(xué)的多元表征進(jìn)行探討.

一、在動(dòng)作表征中初悟概念

所謂動(dòng)作表征，是指通過動(dòng)作反應(yīng)對(duì)知識(shí)進(jìn)行表征，有些數(shù)學(xué)概念的定義就是通過動(dòng)作的描述來表征的.小學(xué)生的思維以直觀、形象思維為主.教學(xué)概念時(shí)，教師應(yīng)選擇動(dòng)態(tài)的直觀材料，通過操作演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、感知隱藏在動(dòng)作或?qū)嵨镏械臄?shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生形成概念的直觀表象.

課程開始，教師先請(qǐng)兩名學(xué)生代表上臺(tái)分別取出兩個(gè)相同盒子里糖果的1[]2，其中一名學(xué)生代表取出了一個(gè)糖果.接著，教師讓臺(tái)下的同學(xué)猜一猜另一名學(xué)生可能會(huì)取出多少個(gè)糖果.學(xué)生在猜想的同時(shí)思考自己猜想的理由.當(dāng)?shù)诙麑W(xué)生取出3個(gè)糖果時(shí)，教師疑惑地請(qǐng)教臺(tái)下的學(xué)生：“同樣是盒子里糖果的1[]2，為什么取出來的糖果數(shù)量不一樣呢？”隨著學(xué)生的思考與解答，教師把兩個(gè)盒子里的糖果總數(shù)同時(shí)展示給學(xué)生觀察，并把取的過程再重新演示一遍，幫助學(xué)生感知?jiǎng)幼鞅碚髋c分?jǐn)?shù)概念原型之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)他們主動(dòng)形成同一個(gè)分?jǐn)?shù)表示多少的相對(duì)性直觀表象，初步感悟整體.然后教師進(jìn)行追問：“拿出來的數(shù)量不一樣，為什么還都是1[]2？”學(xué)生在互動(dòng)中初步感悟不管整體的數(shù)量是多少，只要把整體平均分成兩份，取其中的一份，這一份就占這個(gè)整體的二分之一，從而構(gòu)建了分?jǐn)?shù)的概念，為接下來對(duì)分?jǐn)?shù)概念的歸納概括打下基礎(chǔ).

二、在表象表征中領(lǐng)悟概念

所謂表象表征，是指用心理表象來表征知識(shí).兒童對(duì)實(shí)物直覺和知覺后在記憶中會(huì)留下它的形象、肖像或圖片等，通過表象可以獲得知識(shí).認(rèn)知心理學(xué)研究表明，許多兒童在具體的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)的形式之間的聯(lián)結(jié)會(huì)有許多的困難，這其中的主要原因是缺乏表象操作（半具體、語(yǔ)言、抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)）的中間層次，這就需要教師關(guān)注表象操作的層次[5].學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的再認(rèn)識(shí)，既不能僅僅停留在具體實(shí)物上，也不能一蹴而就地從實(shí)物原型直接抽象出分?jǐn)?shù)概念.學(xué)生從動(dòng)作表征中獲得概念的初步表象后，教師應(yīng)用表象操作，即半具體、語(yǔ)言、抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來揭示概念的本質(zhì)屬性.

教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)把教學(xué)的重點(diǎn)放在對(duì)3[]4的表象表征上.因?yàn)閷?duì)分?jǐn)?shù)概念的理解過程是不應(yīng)該由教材或教師替代學(xué)生進(jìn)行的，所以必須讓學(xué)生自己經(jīng)歷，自己體驗(yàn)和感悟.只有這樣，學(xué)生才會(huì)構(gòu)建屬于自己對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解.信息加工理論的學(xué)者認(rèn)為：有了正確的表征，問題就已經(jīng)解決了一半.布魯納更是直接說：“學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不在于記憶，而在于編碼.”表征（編碼）的重要性在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中表現(xiàn)得尤為突出.當(dāng)學(xué)生樂于并有能力表征3[]4這個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)已是水到渠成的事了.而學(xué)生獲得用自己的方式表征的數(shù)學(xué)概念，才是對(duì)其后續(xù)學(xué)習(xí)最有價(jià)值的東西.

北師大版教材直接用三組不同的圖畫呈現(xiàn)對(duì)3[]4的表示，而教師進(jìn)行了改編，鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方式表示3[]4.在這個(gè)環(huán)節(jié)里，教師為學(xué)生提供充足的探索時(shí)間，學(xué)生在獨(dú)立探索、嘗試表征的過程中在自己的腦海里對(duì)分?jǐn)?shù)概念進(jìn)行了回憶、提取、分析、構(gòu)建與創(chuàng)編，聯(lián)系第一個(gè)環(huán)節(jié)取糖果的動(dòng)作表征學(xué)習(xí)，部分學(xué)生必然對(duì)分?jǐn)?shù)有更多的、新的想法，這樣的一個(gè)對(duì)分?jǐn)?shù)的表象表征過程有利于學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的深入領(lǐng)悟，同時(shí)，畫一畫、圈一圈、寫一寫使得學(xué)生的思維看得見.這時(shí)，教師可以走到學(xué)生中了解學(xué)生的真實(shí)思維，并選擇有代表性的作品進(jìn)行展示.教師在展示學(xué)生的作品時(shí)先展示多幅把一個(gè)物體看作一個(gè)整體的作品，再展示多幅把多個(gè)物體看作一個(gè)整體的作品，最后展示多幅把多組物體看作一個(gè)整體的作品.教師要充分尊重學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自己的圖形嘗試用自己的語(yǔ)言多元表征對(duì)3[]4的理解.對(duì)于把多組物體看作一個(gè)整體的作品，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，這是本課的一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生要嘗試把多個(gè)物體分成多組物體，對(duì)分?jǐn)?shù)構(gòu)成中分母表示平均分成了幾份，分子表示取這樣的幾份有一個(gè)非常清晰的概念，根據(jù)腦海中分?jǐn)?shù)的概念才能用圖形表征出來.當(dāng)這些學(xué)生把自己對(duì)于3[]4的理解的作品介紹給同學(xué)們聽時(shí)，其他同學(xué)隨時(shí)提問，在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)中幫助學(xué)生拓展分?jǐn)?shù)概念的外延，對(duì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性的理解也由淺至深，使學(xué)生產(chǎn)生真問題、真思考，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.學(xué)生把新舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系學(xué)習(xí)，將原來對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知遷移到新知，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，突破了教學(xué)的重難點(diǎn).

三、在口語(yǔ)表征中頓悟概念

所謂口語(yǔ)表征，就是運(yùn)用日?？谡Z(yǔ)、數(shù)學(xué)特殊語(yǔ)言和專用名詞表征知識(shí).語(yǔ)言是思維的外殼，口語(yǔ)表征有助于概念的提煉.概念的外顯特征易于識(shí)別，結(jié)構(gòu)中隱含的本質(zhì)屬性則需要強(qiáng)化，否則，學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)極易出現(xiàn)只記表象而不知內(nèi)涵的現(xiàn)象.因此，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別概念的外在特征，還要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成語(yǔ)言表征的過程.

教學(xué)時(shí)，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論：為什么同樣都表示3[]4，所表示的數(shù)量卻不一樣？學(xué)生在討論中理解到整體不一樣，它們的3[]4就不一樣.這個(gè)整體可以是以前學(xué)過的1個(gè)圖形，還可以擴(kuò)展為多個(gè)圖形、多組圖形.教師接著再追問：“整體不同，為什么都可以用3[]4表示？”學(xué)生在交流中梳理出3[]4的意義，體會(huì)變與不變的數(shù)學(xué)思想.有了前面的鋪墊，教師再鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言嘗試概括出分?jǐn)?shù)的意義.學(xué)生通過口語(yǔ)表征完善構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念的完整意義——把一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示.這個(gè)環(huán)節(jié)需要注意讓每個(gè)學(xué)生都有思考與口語(yǔ)表征的時(shí)間與空間，切忌過早用嚴(yán)格唯一的分?jǐn)?shù)概念定義去束縛學(xué)生的思維.

四、在多元表征中徹悟概念

學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)概念的符號(hào)表征，現(xiàn)在經(jīng)過動(dòng)作表征、表象表征和口語(yǔ)表征后，學(xué)生已經(jīng)能較完整地理解分?jǐn)?shù)的概念了.如果教師再提供一些變式練習(xí)，將有助于學(xué)生對(duì)概念多元表征之間的互相轉(zhuǎn)換，達(dá)到徹悟分?jǐn)?shù)概念的目的.

鞏固環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)了由易到難的變式練習(xí)：先看圖找分?jǐn)?shù)，由部分找整體，由部分找部分，實(shí)現(xiàn)符號(hào)表征到圖形表征的轉(zhuǎn)化.接著是說一說生活中分?jǐn)?shù)的意義，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的整體，讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)與生活的密切聯(lián)系，利用情境表征幫助部分學(xué)習(xí)困難的學(xué)生更好地徹悟分?jǐn)?shù)概念.緊接著是實(shí)踐題：巴黎圣母院中圓形玻璃塊數(shù)的1[]4需要修復(fù)，方形玻璃塊數(shù)的3[]4需要修復(fù)，需要修復(fù)的圓形玻璃和方形玻璃哪個(gè)塊數(shù)多呢？學(xué)生用自己喜歡的方式獨(dú)立解決問題.在解決問題的過程中，有的學(xué)生是用圖形表征，有的學(xué)生是用數(shù)學(xué)符號(hào)表征，有的學(xué)生是用口語(yǔ)表征，有的學(xué)生是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征，有的學(xué)生甚至能用多種方法表征，并且能在不同的表征方法之間進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化，他們都實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)概念的深度學(xué)習(xí)，對(duì)分?jǐn)?shù)大小的相對(duì)性有了深刻的認(rèn)識(shí)，再次認(rèn)識(shí)到整體的重要性，并學(xué)會(huì)用假設(shè)的數(shù)學(xué)方法來驗(yàn)證自己的方法是否正確.最后，布置課后多元表征作業(yè)：對(duì)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)做一張手抄報(bào).

總之，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與起點(diǎn)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷多元表征過程，溝通聯(lián)系各種表征，能夠使他們從多維度徹悟概念.

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