繆愛(ài)紅

[摘? 要] 概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基石. 但學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一些接近本質(zhì)、非標(biāo)準(zhǔn)的“臨近概念”. 對(duì)于學(xué)生的“臨近概念”，教學(xué)中教師要尊重、理解和包容，并對(duì)之加以積極引導(dǎo)，將學(xué)生非正式、非正規(guī)的“臨近概念”發(fā)展、提升為科學(xué)化的“數(shù)學(xué)概念”.

[關(guān)鍵詞] 臨近概念;概念教學(xué);概念本質(zhì)

概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，精準(zhǔn)把握概念的內(nèi)涵和外延是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然要求. 但在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生理解了概念的內(nèi)涵和外延，但對(duì)概念的描述卻是日?；?、個(gè)性化的，沒(méi)有上升到科學(xué)概念表達(dá)的層次. 對(duì)此，教師不必苛求，而應(yīng)對(duì)學(xué)生的“臨近概念”表達(dá)尊重、理解、包容，并對(duì)之積極轉(zhuǎn)化、發(fā)展和提升，讓學(xué)生的“臨近概念”逐步逼近“科學(xué)概念”，這是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，不可能一蹴而就. 那么，學(xué)生的“臨近概念”有哪些特征，怎樣發(fā)展、提升學(xué)生的“臨近概念”？筆者在教學(xué)中進(jìn)行了積極探索. 本文旨在拋磚引玉，以求教于大方之家.

“臨近概念”是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)術(shù)語(yǔ)，意在表達(dá)學(xué)生“前概念”和“科學(xué)概念”轉(zhuǎn)化的過(guò)程狀態(tài). “臨近概念”既不同于“前概念”，也不同于“科學(xué)概念”. 首先，“臨近概念”不是完全基于學(xué)生的生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的，臨近概念是學(xué)生學(xué)習(xí)新知后所形成的“個(gè)體化概念”，從這個(gè)意義上說(shuō)，“臨近概念”是“準(zhǔn)科學(xué)的”. 其次，“臨近概念”不同于“科學(xué)概念”，科學(xué)概念是完全數(shù)學(xué)化、標(biāo)準(zhǔn)化的，而“臨近概念”夾雜著個(gè)體的理解，因而可能是模糊的、不清晰的，有時(shí)甚至夾雜著錯(cuò)誤因子. 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生臨近概念，促進(jìn)學(xué)生“臨近概念”向“科學(xué)概念”的積極轉(zhuǎn)化.

1. 接近性

應(yīng)該說(shuō)，“臨近概念”是很接近科學(xué)的數(shù)學(xué)概念的. 有時(shí)候，由于學(xué)生的理解差異，對(duì)概念的表達(dá)也是不盡相同的. 例如人教版八年級(jí)的“因式分解”，科學(xué)化的定義是：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的變形叫作把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解. 教學(xué)中，有學(xué)生認(rèn)為將一個(gè)多項(xiàng)式化成積的形式，有學(xué)生認(rèn)為將一個(gè)多項(xiàng)式分成多個(gè)整式乘積，還有學(xué)生認(rèn)為，將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成和它相等的積的形式……應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生的“臨近概念”都是“部分真理”，但卻都不嚴(yán)格、不嚴(yán)謹(jǐn)，都有待提煉、發(fā)展和提升.

2. 發(fā)展性

學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷發(fā)展的過(guò)程，有時(shí)，教師需要“在下一個(gè)路口等學(xué)生”. 學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，常見(jiàn)的有兩種方式：一是數(shù)學(xué)概念的同化，二是數(shù)學(xué)概念的順應(yīng). 同化即學(xué)生數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)的自然擴(kuò)張，是一種“量”的累積;順應(yīng)即學(xué)生數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)質(zhì)的改變、發(fā)展. 這個(gè)過(guò)程伴隨著學(xué)生的認(rèn)知沖突、認(rèn)知失衡. 例如人教版七年級(jí)引入“垂線”，學(xué)生的理解是“垂直就是兩條直線相交成直角”. 人教版八年級(jí)、九年級(jí)繼續(xù)深化學(xué)生的“臨近概念”，學(xué)生運(yùn)用兩條直線互相垂直的定義進(jìn)行推理，深刻理解垂直定義的判斷、性質(zhì)等多方面的功能. 在不斷的學(xué)習(xí)中，學(xué)生零散化的臨近概念理解逐步發(fā)展提升為系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)概念理解.

3. 直覺(jué)性

盡管初中生的抽象邏輯思維能力已經(jīng)得到了較大程度的發(fā)展，但很多時(shí)候，尤其是不能清晰界定數(shù)學(xué)概念的情況下，還是善于運(yùn)用“直觀”“直覺(jué)”等進(jìn)行思考、描述. 例如對(duì)于人教版八年級(jí)的“全等三角形”，有學(xué)生對(duì)于怎樣判斷三角形全等經(jīng)常把握不準(zhǔn)，他們于是借助筆在草稿紙上畫(huà)圖，從而把握三角形全等的條件，如“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等. 有時(shí)候，由于學(xué)生的直覺(jué)思維，在解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不能通盤(pán)考慮，從而造成思維卡殼、思維短路.

“臨近概念”是基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的，學(xué)生的許多“臨近概念”是不登“大雅之堂”的，但在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中卻發(fā)揮著重要的作用. 教學(xué)中，教師一方面要呵護(hù)學(xué)生的“臨近概念”，另一方面卻要對(duì)學(xué)生的“臨近概念”進(jìn)行引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生將“臨近概念”轉(zhuǎn)化、提升為科學(xué)的數(shù)學(xué)概念.

1. 問(wèn)題情境：讓學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)概念的內(nèi)核

學(xué)生的“臨近概念”不僅表現(xiàn)在對(duì)概念本質(zhì)把握的個(gè)性化，更體現(xiàn)為學(xué)生對(duì)科學(xué)的數(shù)學(xué)概念沒(méi)有真正地感受、體驗(yàn)、感悟. 學(xué)生所獲得的對(duì)概念的認(rèn)知是文字式的，比如學(xué)生無(wú)法想象這樣的情境：用一根直徑比地球赤道長(zhǎng)2米的鐵絲將地球圍起來(lái)，地球和鐵絲之間的間隔有多大？對(duì)于這樣的問(wèn)題，需要在情境中用數(shù)據(jù)說(shuō)話，才能讓學(xué)生獲得真正的知識(shí)理解和感悟.

例如教學(xué)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)“有理數(shù)的乘方”，有學(xué)生盡管能夠記憶乘方的概念，但對(duì)乘方的內(nèi)涵卻缺乏必要的體驗(yàn). 應(yīng)該說(shuō)，這樣的概念掌握是有缺失、有缺陷的，也應(yīng)該屬于“臨近概念”. 數(shù)學(xué)概念不僅僅是把握概念的形，更為重要的是把握概念的神. 為此，在講解有理數(shù)的乘方時(shí)，筆者引入了這樣的經(jīng)典故事：從前，有一個(gè)智慧的大臣，把自己發(fā)明的國(guó)際象棋獻(xiàn)給了國(guó)王. 國(guó)際象棋讓國(guó)王樂(lè)此不疲，揚(yáng)言只要大臣提出條件，國(guó)王一定滿足他. 大臣于是讓國(guó)王在棋盤(pán)上放置米粒，第一格放置二的一次方也就是二粒米，第二格放置二的二次方也就是四粒米，第三格放置二的三次方也就是八粒米……國(guó)王說(shuō)，這有什么難的呢？大臣笑道，恐怕陛下沒(méi)有這么多米粒吧？這樣的問(wèn)題情境，對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)乘方有著重要的意義. 學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)不再是無(wú)動(dòng)于衷，而是在知識(shí)情感的基礎(chǔ)上多了一份知識(shí)理性.

基于情境的教學(xué)讓學(xué)生干癟的數(shù)學(xué)“臨近概念”更加飽滿. 知識(shí)不再游離于學(xué)生之外，而是切入學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)、情感系統(tǒng)，讓其多了一份真切的體驗(yàn)和感受. 如此，學(xué)生不僅從文字表面理解了數(shù)學(xué)概念，而且理解了概念的本質(zhì)內(nèi)涵、深層意蘊(yùn).

2. 多向辨析：讓學(xué)生逼近概念的內(nèi)核

某些數(shù)學(xué)概念，其內(nèi)涵是十分豐富的，從不同的視角看，基于不同的場(chǎng)景，具有不同的意蘊(yùn)和內(nèi)涵. 教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生思辨、辨析，不斷逼近概念的本質(zhì)內(nèi)核. 有時(shí)候，教師還需要將單個(gè)的概念放置于概念結(jié)構(gòu)、概念體系中才能獲得全面而深刻的理解. 俗話說(shuō)，有比較才有鑒別，概念通常的定義方法是“屬加種差”式的，對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行比較，尋找概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，同樣能夠?qū)W(xué)生的“臨近概念”發(fā)展、提升為科學(xué)化的數(shù)學(xué)概念.

例如人教版八年級(jí)的“矩形、菱形和正方形”，除了基本的定義外，還需要學(xué)生自覺(jué)地將這些概念進(jìn)行比較. 通過(guò)比較，凸顯概念的本質(zhì)內(nèi)涵，從而突破自我臨近概念的局限. 就拿內(nèi)涵最深刻、外延最窄的正方形來(lái)說(shuō)，和菱形比較，可以發(fā)現(xiàn)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;和矩形比較，可以發(fā)現(xiàn)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;再和平行四邊形進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)有一個(gè)角是直角、一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形等等. 在不同的比較中，正方形顯示出不同的內(nèi)涵，表現(xiàn)為不同的外延，也正是在比較中，學(xué)生能夠突破自我的認(rèn)識(shí)局限，超越自我的臨近概念，逐步逼近概念的本質(zhì)內(nèi)核.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是緩慢的，建構(gòu)是漸進(jìn)的. 某種意義上，學(xué)生的“臨近概念”是一種“模糊性的精確”，是源于學(xué)生自我認(rèn)知的[1].

3. 緩沖建構(gòu)：引導(dǎo)學(xué)生抵達(dá)概念的本質(zhì)

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知與把握不是一次性到位的，其間可能要經(jīng)過(guò)一個(gè)漫長(zhǎng)的、曲折的過(guò)程. 教學(xué)中，教師不能要求教學(xué)的一帆風(fēng)順，不能企望教學(xué)的一蹴而就，而應(yīng)允許學(xué)生的緩沖理解. 學(xué)生的這種緩沖理解可能只是學(xué)生的一種體驗(yàn)、一種意會(huì)，可能只是學(xué)生一種懵懂的表達(dá)，但其中卻閃現(xiàn)著數(shù)學(xué)本質(zhì)的光輝，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的種子.

例如教學(xué)“三角函數(shù)”，其定義經(jīng)歷了幾個(gè)不斷深化、循序漸進(jìn)的過(guò)程. 首先，是讓學(xué)生理解直角三角形邊長(zhǎng)的比來(lái)刻畫(huà)銳角三角函數(shù)，這是三角函數(shù)最為基本的定義;其次，是用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)定義;再次是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)線、三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等等. 對(duì)于三角函數(shù)概念的深度發(fā)掘，能夠讓學(xué)生理解三角函數(shù)的內(nèi)涵和外延. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解有時(shí)不是一步到位的，正如三角函數(shù)概念的建立. 但是，學(xué)生數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的不周全，恰恰為教師的豐富性教學(xué)提供了可能. 正是由于對(duì)數(shù)學(xué)概念的分層建構(gòu)，才讓學(xué)生真正感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念高度的抽象性、普適性.

俗話說(shuō)，“磨刀不誤砍柴工”. 三角函數(shù)的概念是整個(gè)三角函數(shù)部分的奠基石，貫穿于與三角函數(shù)有關(guān)的各個(gè)部分內(nèi)容之中并發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用. 教師重視概念教學(xué)，有助于讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延. 教學(xué)中，要讓學(xué)生反復(fù)體會(huì)、螺旋上升、逐步理解，從而能夠靈活運(yùn)用.

學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程是一個(gè)漸進(jìn)化的過(guò)程，“臨近概念”是學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的一個(gè)重要階段. 教學(xué)中，教師不能急功近利，不能急躁浮躁，奢望一蹴而就，而應(yīng)從學(xué)生的“臨近概念”出發(fā)，引領(lǐng)啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生從對(duì)數(shù)學(xué)概念的臨近理解發(fā)展、提升為數(shù)學(xué)化的理解. 如此，學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知才能從模糊走向清晰、從模糊走向精準(zhǔn).

參考文獻(xiàn)：

[1]趙庭標(biāo). 基于學(xué)科核心素養(yǎng)的章始概念課教學(xué)實(shí)踐與探索 [J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017 （32）：2-5.