蘇華春

摘 要：“化歸思想并非源于數(shù)學(xué)，它的根源在于人類的思維定式——以現(xiàn)有的方法去處理面臨的新問題?！苯柚@種思維原則來學(xué)習(xí)與教學(xué)?？墒掳牍Ρ?。文章借鑒化歸思想為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一種思路——搭建化歸平臺，以促進學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，融合提升數(shù)學(xué)理論應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：化歸平臺;高中數(shù)學(xué);化歸思想

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 收稿日期：2019-03-27 文章編號：1674-120X（2019）21-0080-02

化歸思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，多數(shù)教師只將化歸思想方法視為解題思想方法，事實上化歸思想曾被笛卡爾譽為“萬能方法”：“一切問題都可數(shù)學(xué)化，化歸為數(shù)學(xué)問題;一切數(shù)學(xué)問題都可化歸為代數(shù)問題;一切代數(shù)問題又都可化歸為方程問題，有了方程理論就可解決一切問題?！?雖然這一方法并不是萬能的，但是這種思維原則體現(xiàn)了“化歸思想并非源于數(shù)學(xué)，它的根源在于人類的思維定式——以現(xiàn)有的方法去處理面臨的新問題”。在教學(xué)中，把“化歸”作為一種教學(xué)思想方法，就是把那些有待教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)比較難的問題（內(nèi)容），通過某種轉(zhuǎn)化手段（搭建的平臺），化歸到學(xué)生已經(jīng)解決或比較容易解決或已有解決程序的問題（內(nèi)容），即“規(guī)范問題”，通過對規(guī)范問題的教學(xué)，使學(xué)生解決（學(xué)習(xí)）新問題。本文借鑒化歸思想為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一種思路——搭建化歸平臺促進學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)、融合提升數(shù)學(xué)理論應(yīng)用能力。

一、在知識發(fā)生過程中搭建知識同化、順應(yīng)的化歸平臺，促新知的內(nèi)化吸收

中學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯關(guān)系緊密，新知的學(xué)習(xí)多在舊知基礎(chǔ)上擴充定義，擴展延伸知識與方法，提煉產(chǎn)生新知識、新方法，是從已知到未知的表層知識規(guī)范化的過程。教師可立足于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，著眼尋找新知識與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，通過化歸的方式，把將要教學(xué)的知識用已學(xué)習(xí)過的知識來建構(gòu)，讓學(xué)生調(diào)整頭腦中已有的知識結(jié)構(gòu)去適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使其對新知識的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變成對原有知識的發(fā)展。

如教學(xué)“空間等角定理”及其本質(zhì)——空間平移的不變性（角的大?。?，可建立異面直線所成角與平面相交直線所成角的聯(lián)系。反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)兩個知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)中強化從“數(shù)”的對應(yīng)（映射）關(guān)系和“形”的對稱關(guān)系理解反函數(shù)，學(xué)生就會參考已學(xué)過的指數(shù)函數(shù)的定義以及相關(guān)性質(zhì)來理解內(nèi)化對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)?！皵?shù)列的通項本質(zhì)是一個特殊的函數(shù)”是理解數(shù)列的節(jié)點，教學(xué)在“數(shù)列是一個特殊的函數(shù)”上下功夫：①在數(shù)列中由項的序號可得對應(yīng)項，即對每一個序號，都有唯一的項與之對應(yīng)，這種對應(yīng)本質(zhì)是什么？以針對性的問題來揭示數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。②數(shù)列到底是怎樣的函數(shù)？誰是自變量？誰是函數(shù)？（序號n是自變量，項an是函數(shù)）an是關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)的定義域是什么？數(shù)an是關(guān)于n的這個函數(shù)的什么？理清通項函數(shù)的內(nèi)涵。③函數(shù)從哪幾個角度研究？數(shù)列呢？讓學(xué)生用函數(shù)的知識方法去建構(gòu)數(shù)列的知識方法。教學(xué)中通過抓住新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系的橋梁，架設(shè)知識同化、順應(yīng)的化歸平臺，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生參與到類比、歸納、化歸的過程中去，促進知識習(xí)得與內(nèi)化。

二、在知識應(yīng)用教學(xué)過程中搭建數(shù)學(xué)模型化歸平臺，促提升數(shù)學(xué)理論應(yīng)用能力

要將所習(xí)得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為“生產(chǎn)力”，鞏固所學(xué)、提升能力，需要在教學(xué)中提供例題模型平臺，幫助學(xué)生構(gòu)建一定的知識應(yīng)用模式。經(jīng)過適度的強化訓(xùn)練，讓學(xué)生研究模型問題的條件與所求，進行翻譯、轉(zhuǎn)化、類比，調(diào)用頭腦中已有的相關(guān)聯(lián)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來演繹、來推理，激活儲備信息把問題轉(zhuǎn)化為基本概念、定理、公式或圖形問題，按照條件代入公式或定理而得出結(jié)論，讓學(xué)生在大腦里形成一定的解題系統(tǒng)。不斷教會學(xué)生學(xué)會如何想題，如何追根求源，進而讓學(xué)生深刻理解概念，掌握研究方法。

例如初學(xué)等差數(shù)列的定義，由于數(shù)學(xué)符號的抽象性，學(xué)生無法馬上從本質(zhì)上理解什么是等差數(shù)列。給出例題：已知數(shù)列{an}滿足下列條件，求通項。

（1）a2n+1=a2n+4，且a1=1，an>0.

（2）

（3）

（4）

（5）lgan+1=lgan+2，且a1=2.

（6）

給學(xué)生充分的時間整體來觀察題目條件的共同結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生內(nèi)化“在你的心目中什么是等差數(shù)列”“上述題目中有沒有能構(gòu)成等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)”，等待學(xué)生對照等差數(shù)列定義“an+1-an=d”，將上述數(shù)列整體轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列定義形式，最后自主發(fā)現(xiàn)上述題目中{a2n}、{}、{}、{}、{lgan}、{}等都是等差數(shù)列，并得出相應(yīng)的首項與公差，然后再求得數(shù)列的通項。

再如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性應(yīng)用教學(xué)，設(shè)計例題與變式訓(xùn)練如下：

例題1：已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求實數(shù)a的取值范圍。

變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)f（x）=，x∈[-1，1].若

f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求實數(shù)a的取值范圍。

例題2：2016年福建省質(zhì)檢數(shù)學(xué)科填空題：已知點A（3，1）， B（，2），且平行四邊形ABCD的四個頂點都在函數(shù)

f（x）=log2的圖像上，則四邊形ABCD的面積為 ? ? ? ?。

從直接應(yīng)用知識的例題（源問題）到需要挖掘題設(shè)條件所反映的知識本質(zhì)的變式訓(xùn)練題，讓學(xué)生經(jīng)歷識別、聯(lián)想和構(gòu)建與“源問題”相關(guān)的思維橋梁，數(shù)學(xué)模型群組搭建了知識的應(yīng)用化歸平臺。“系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機會”，充足典型的平臺催化學(xué)生模式思想的產(chǎn)生，讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度、不同層次應(yīng)用知識、形成應(yīng)用知識模式到熟練掌握知識系統(tǒng)的過程，拓展思維，提高知識的綜合應(yīng)用能力。

三、在解題教學(xué)中搭建運用化歸思想解題的展示平臺，促數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成發(fā)展

數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化條件與結(jié)論之間的差異，化異為同，化繁為簡，需要探索化歸轉(zhuǎn)化的策略及化歸目標(biāo)選擇的合理性和必然性，教學(xué)中精選例題，搭建運用化歸思想解題的展示平臺，讓學(xué)生直觀感知化歸思想在解題中的指導(dǎo)作用，同時升華解題思想，提升解題能力。

例：對任意x∈[-1，1]不等式x2-ax-2≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。在教學(xué)中先讓學(xué)生回顧不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生想到解此題可把代數(shù)式x2-ax-2看作函數(shù)，記（x）=x2-ax-2，指出這是化歸思想指導(dǎo)函數(shù)思想在起作用。這樣使（x）≤0對x∈[-1，1]恒成立就可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)（x）在區(qū)間x∈[-1，1]上（x）≤

0或數(shù)形結(jié)合只需函數(shù)（x）圖像在兩端點處值小于等于0。求函數(shù)（x）在區(qū)間x∈[-1，1]上的最值或用函數(shù)的圖像來研究屬于函數(shù)知識與方法的應(yīng)用，屬于技能范疇，不是函數(shù)思想的體現(xiàn)。解決本題的關(guān)鍵在轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，讓學(xué)生體驗建立用化歸思想指導(dǎo)解題的必要性，體驗應(yīng)用函數(shù)思想解題就是用函數(shù)和變量去思考，引領(lǐng)學(xué)生開拓思維，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師通過設(shè)置合理化解題建議，不斷將問題與條件的一種語言“翻譯”成另一種語言（數(shù)學(xué)語言一般有文字語言、符號語言和圖形語言），一種表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為另一種表現(xiàn)形式，展示轉(zhuǎn)化思維過程與涉及的思想方法，讓學(xué)生自主揭示命題的本質(zhì)特征，從而找到解題途徑;并在解題基礎(chǔ)上總結(jié)和歸納解題的方法，升華到思想的高度;在后繼的習(xí)題鞏固環(huán)節(jié)中強化化歸思想對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，有效提高學(xué)生的邏輯思維能力，讓學(xué)生會想到、能做到，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

四、在復(fù)習(xí)小結(jié)的提煉和概括中搭建知識網(wǎng)絡(luò)化歸平臺，促內(nèi)容系統(tǒng)結(jié)構(gòu)化

在復(fù)習(xí)小結(jié)中運用化歸方法，整合新舊知識，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)， 促新舊知識有機聯(lián)系;整合解題思路，建構(gòu)思維導(dǎo)圖，促進尋找解題策略思維過程，拓寬解題思路，迅速找到解題的突破口。如研究簡單多面體外接球問題時，探求解決此類問題本質(zhì)：確定球心位置，在小結(jié)時可歸納、歸類、構(gòu)建思維導(dǎo)圖整合確定球心的方法如下：

內(nèi)切球的球心確定等也可采用類似方法，利用思維導(dǎo)圖的表征工具，展示確定球心的解題方向，展示化未知為已知、化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易來尋找解題策略思維過程，揭示知識之間內(nèi)在聯(lián)系的功能，幫助學(xué)生在思維層次上總結(jié)歸納各種基本特征、規(guī)律，提煉和概括出其中的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生更好地理解其本質(zhì)特征。

總之，在不同的教學(xué)階段、教學(xué)環(huán)節(jié)都可“搭建化歸平臺，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生思維發(fā)展而教”，讓學(xué)生在自主探索、合作探究、實踐操作的基礎(chǔ)上領(lǐng)悟并駕馭數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)過程中教師應(yīng)充分發(fā)揚新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神，促進學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第二卷）[M].劉遠(yuǎn)圖，等譯.北京：科學(xué)出版社，1987.