汪晶晶

[摘? 要] 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要目標(biāo). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)促使學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題;變換視角，解決問(wèn)題;聯(lián)通融合，反思問(wèn)題. 在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力;數(shù)學(xué)問(wèn)題;數(shù)學(xué)教學(xué)

創(chuàng)新是民族的靈魂，一個(gè)民族要想走在時(shí)代前列，就不能沒(méi)有創(chuàng)新. 數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用[1]. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要目標(biāo). 有關(guān)數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的內(nèi)涵尚未有定論，筆者比較認(rèn)同羅新兵和羅增儒教授的觀點(diǎn)，將認(rèn)知過(guò)程與認(rèn)知結(jié)果相結(jié)合，去揭示數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的內(nèi)涵：從認(rèn)知過(guò)程來(lái)看，主要表現(xiàn)為克服思維定式，打破常規(guī)做法;從認(rèn)知結(jié)果來(lái)看，主要表現(xiàn)為豐富的、相異的、原創(chuàng)的思維產(chǎn)物[2].

筆者作為一線教師，發(fā)現(xiàn)我們目前的初中數(shù)學(xué)課堂中，整節(jié)課學(xué)生進(jìn)行大量計(jì)算、機(jī)械回答教師課前設(shè)計(jì)的問(wèn)題等現(xiàn)象還是普遍存在的，這對(duì)于學(xué)生打好基礎(chǔ)固然是有幫助的，但學(xué)生同時(shí)也失去了發(fā)展創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì). 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的主陣地還是課堂，除了注重打好學(xué)生的基礎(chǔ)，也要謀求發(fā)展，靈活創(chuàng)新. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生和吳文俊先生以及數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生也都認(rèn)為“創(chuàng)新需要堅(jiān)實(shí)的基本知識(shí)和基本技能為基礎(chǔ)，而建立基礎(chǔ)又需要?jiǎng)?chuàng)新精神的引領(lǐng). ”[3]縱觀美國(guó)數(shù)學(xué)教育改革，就是不斷在打好基礎(chǔ)和尋求創(chuàng)新之間尋找平衡的過(guò)程. 解決問(wèn)題是美國(guó)數(shù)學(xué)課程的核心，有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 事實(shí)上，除了解決問(wèn)題之外，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及反思問(wèn)題也能很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，具體談?wù)勗诎l(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題和反思問(wèn)題三個(gè)方面如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

打開(kāi)創(chuàng)新之門：大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

猜想是對(duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納，并依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法. 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，鼓?lì)學(xué)生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題. 由于每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知能力不同，理解能力不同，已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)也不盡相同，導(dǎo)致學(xué)生在猜想過(guò)程中的思維方式各異，從而發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題也不同. 也就是說(shuō)，從認(rèn)知結(jié)果上看，學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題是豐富的、相異的、都是原創(chuàng)的思維產(chǎn)物. 學(xué)生從經(jīng)歷過(guò)的東西猜想未曾經(jīng)歷過(guò)的東西，從事物的過(guò)去和現(xiàn)在猜想事物的未來(lái)，或從一個(gè)事物猜想另一個(gè)事物，這就是一種創(chuàng)造性思維模式. 數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力與數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維關(guān)系密切，數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的前提和基礎(chǔ). 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，放手讓學(xué)生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.

案例1? 矩形的判定.

在這節(jié)課中，師生首先共同復(fù)習(xí)矩形的定義和性質(zhì)，之后明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：如何判定一個(gè)四邊形是矩形. 第一種判定方法必然是定義，因?yàn)槿魏味x既可以作為性質(zhì)又可以作為判定方法. 那么如何發(fā)現(xiàn)其他方法呢？教師放手讓學(xué)生大膽猜想. 由于在前面學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)平行線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定等，已經(jīng)積累了相關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，判定和性質(zhì)通常是兩個(gè)已知和結(jié)論互換的命題，這為學(xué)生猜想創(chuàng)造了條件，并提供了科學(xué)的猜想方法. 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并猜想了11種判定方法：（1）四個(gè)角相等的四邊形;（2）三個(gè)角為直角的四邊形;（3）對(duì)角線相等且互相平分的四邊形;（4）一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角為90°的四邊形;（5）對(duì)角線相等的平行四邊形;（6）對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形;（7）三個(gè)角相等的平行四邊形;（8）一組鄰角相等的平行四邊形;（9）在四邊形ABCD中，AO=BO，∠ABC=90°;（10）一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角都為90°的四邊形;（11）四邊形ABCD為平行四邊形，BO=AC.

在前面的學(xué)習(xí)中，很多幾何圖形的判定方法都是性質(zhì)的逆命題，學(xué)生已經(jīng)形成一種思維定式，認(rèn)為判定方法就是性質(zhì)的逆命題. 包括在人教版教材中，矩形的判定方法也是將矩形性質(zhì)的已知和結(jié)論互換，形成新的命題，再加以證實(shí). 其實(shí)，矩形的判定方法是多樣化的，學(xué)生在猜想的過(guò)程中，克服了思維定式，打破常規(guī)做法，并且猜想的結(jié)果也是很豐富的，雖然上述的第（9）條猜想是個(gè)假命題，可以通過(guò)舉反例證偽，但是這些猜想都是學(xué)生原創(chuàng)的思維產(chǎn)物. 學(xué)生在猜想的過(guò)程中，發(fā)展了數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維. 因此，在課堂教學(xué)中，教師要舍得花時(shí)間讓學(xué)生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.

開(kāi)拓創(chuàng)新之路：變換視角，解決問(wèn)題

解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)教育的核心，是學(xué)生思維活動(dòng)一種重要形式. 在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵是變換視角，發(fā)散思維. 發(fā)散思維是從一點(diǎn)出發(fā)，向各個(gè)不同方向輻射，產(chǎn)生大量不同設(shè)想的思維. 無(wú)論是從認(rèn)知過(guò)程還是認(rèn)知結(jié)果來(lái)看，發(fā)散思維都體現(xiàn)了創(chuàng)新. 不少心理學(xué)家認(rèn)為，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維最主要的特點(diǎn)，是測(cè)定創(chuàng)新能力的主要標(biāo)志之一. 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，一題多解是非常重要的發(fā)散思維的方法，它可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多層次的分析，打破常規(guī)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.

案例2? 等腰三角形的判定.

在這節(jié)課中，學(xué)生首先猜想得出命題：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它是等腰三角形. 根據(jù)命題畫(huà)出圖形（如圖2），并用幾何語(yǔ)言寫出已知和求證.

已知：如圖2，在△ABC中，∠B=∠C.? 求證：△ABC為等腰三角形.

在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生先獨(dú)立思考，后合作交流，共同探討出六種證法，令人嘆為觀止（如圖3）.

證法1：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，證明△ABD ≌△ACD.

證法2：作∠BAC的角平分線AD，證明△ABD ≌△ACD.

證法3：過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn). 可證△BED ≌△CFD，從而DE=DF. 由于AD是中線，△ABD和△ACD的面積相等，而它們的高相等，所以底邊AB=AC，△ABC為等腰三角形.

證法4：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線DE，分別過(guò)點(diǎn)B，C作BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分別為點(diǎn)D，E. 根據(jù)平行線間距離相等，得出BD=CE，再證明△ABD ≌△ACE.

證法5：分別過(guò)點(diǎn)B，C作BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D，E. 再利用等面積法或者全等得證.

這里要特別指出第六種證法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)△ABC和自己全等，因?yàn)椤螧=∠C，BC=CB，∠C=∠B，所以△ABC≌△ACB，從而AB=AC，△ABC是等腰三角形. 筆者曾經(jīng)在特級(jí)教師任勇老師寫的書(shū)里看到過(guò)這種證明方法，當(dāng)時(shí)直接被震撼到了，這世間還有如此簡(jiǎn)潔、奇妙的方法！沒(méi)想到自己的學(xué)生通過(guò)合作交流也想到了. 這種證法克服了思維定式，打破常規(guī)，學(xué)生在思考的過(guò)程中發(fā)展了數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力. 其實(shí)，這些豐富的、相異的證法全部都是由學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論得出的，對(duì)于學(xué)生而言具有原創(chuàng)性. 而且學(xué)生在試圖尋找其他證法的過(guò)程中，總是在不斷地變換思考視角，力圖求新、求異. 因此，通過(guò)一題多解，變換視角來(lái)解決問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.

架構(gòu)創(chuàng)新之橋：聯(lián)通融合，反思問(wèn)題

反思是指對(duì)曾經(jīng)在思維活動(dòng)中出現(xiàn)的問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法、結(jié)論不斷思考的心理活動(dòng)，既表現(xiàn)為對(duì)尚未解決的問(wèn)題的上下求索，又表現(xiàn)為對(duì)已有解法和結(jié)論的挑剔和批判. 因此，學(xué)生反思問(wèn)題的過(guò)程就是創(chuàng)新的過(guò)程，并且學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力在反思活動(dòng)中會(huì)得到更多的體現(xiàn). 然而，學(xué)生反思問(wèn)題的意識(shí)是比較薄弱的，更談不上反思的方法和習(xí)慣.

在實(shí)踐中，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用創(chuàng)新工具——思維導(dǎo)圖在解決問(wèn)題后進(jìn)行反思，將所學(xué)知識(shí)和方法梳理成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為學(xué)生架構(gòu)創(chuàng)新之橋.

案例3? 等腰三角形的判定.

在這節(jié)課中，學(xué)生展示各種解法之后，教師歸納總結(jié)，將所有解法進(jìn)行聯(lián)通融合，提升數(shù)學(xué)思維，并為學(xué)生提供一種可借鑒和學(xué)習(xí)的反思問(wèn)題的方法，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力. 繪制的思維導(dǎo)圖如圖4.

在教學(xué)中，筆者也經(jīng)常布置作業(yè)讓學(xué)生寫數(shù)學(xué)小論文，數(shù)學(xué)小論文的形式也是多樣的，有的是談?wù)勛约簩W(xué)習(xí)本章內(nèi)容的體會(huì)，有的是課堂研究的延續(xù)，對(duì)課堂上研究的問(wèn)題做進(jìn)一步思考，也有的是讓學(xué)生根據(jù)課堂上研究問(wèn)題的方法，研究一個(gè)新的問(wèn)題. 學(xué)生創(chuàng)作小論文的過(guò)程就是反思、創(chuàng)新的過(guò)程，因此，有利于學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力. 由于教師在課堂上的引導(dǎo)，很多學(xué)生在小論文中利用思維導(dǎo)圖作為開(kāi)篇或者結(jié)尾，使研究的思路更清晰. 下面選取了兩位同學(xué)小論文里的思維導(dǎo)圖，如圖5.

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.” 學(xué)生探究知識(shí)的欲望，往往是從問(wèn)題開(kāi)始的. 我們教師在教學(xué)時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題;變換視角，解決問(wèn)題;聯(lián)通融合，反思問(wèn)題，促使每一位學(xué)生積極參與到充滿智慧的數(shù)學(xué)問(wèn)題探究活動(dòng)中，讓潛能得以開(kāi)發(fā)，思維得以提升，創(chuàng)新能力得以發(fā)展. 我們?cè)诮虒W(xué)中播下數(shù)學(xué)問(wèn)題的種子，學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力定會(huì)開(kāi)出絢爛之花.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 羅新兵，羅增儒. 數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的涵義與評(píng)價(jià)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（2）.

[3]張奠宙，于波. 數(shù)學(xué)教育的“中國(guó)道路”[M]. 上海：上海教育出版社，2009.