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        對(duì)一道函數(shù)壓軸題的多解探究

        2019-09-12 03:18:50張明詰
        關(guān)鍵詞:平移對(duì)稱整體

        張明詰

        [摘? 要] 函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)重要的問(wèn)題類型,一般切入點(diǎn)較多,可以采用不同的方法來(lái)求解. 考慮到其分析思路較為多樣,所以在解題教學(xué)中需要重點(diǎn)引導(dǎo). 文章以一道函數(shù)綜合題為例,開(kāi)展解題突破、多解探究,提出相應(yīng)的教學(xué)建議,與讀者交流.

        [關(guān)鍵詞] 函數(shù);多解;平移;對(duì)稱;整體

        問(wèn)題呈現(xiàn)及思路突破

        問(wèn)題? 現(xiàn)有兩個(gè)二次函數(shù),其解析式分別為y1=x2+bx+c,y2=x2+m. 對(duì)于函數(shù)y1,當(dāng)x=2時(shí),該函數(shù)可以取得最小值.

        (1)試求函數(shù)y1解析式中b的值;

        (2)如果函數(shù)y1的圖像與坐標(biāo)軸只存在A,B兩個(gè)公共點(diǎn),試求公共點(diǎn)A,B之間的距離AB;

        (3)如果函數(shù)y1和y2的圖像均經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2),在坐標(biāo)系中取一點(diǎn)(0,a-3),過(guò)該點(diǎn)作x軸的平行線,已知所作平行線與函數(shù)y1和y2的圖像一共存在4個(gè)交點(diǎn),設(shè)4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,且該4個(gè)橫坐標(biāo)值存在如下關(guān)系:x1

        思路突破? (1)該問(wèn)求函數(shù)y1解析式中的系數(shù)b,由系數(shù)a>0可知,拋物線y1的圖像開(kāi)口向上. 根據(jù)其單調(diào)性可知,該拋物線在頂點(diǎn)處取得最小值,于是有-=2,又a=1,所以b=-4.

        (2)由(1)問(wèn)可確定函數(shù)y1的解析式為y1=x2-4x+c. 條件指出,其對(duì)應(yīng)圖像只與坐標(biāo)軸有A,B兩個(gè)不同的公共點(diǎn),考慮到?jīng)]有限定公共點(diǎn)位于哪條具體的坐標(biāo)軸上,所以需分類討論,具體可以分為以下兩種情形:①二次函數(shù)y1與x軸和y軸分別只有1個(gè)公共點(diǎn);②二次函數(shù)y1與x軸有2個(gè)交點(diǎn),由于圖像必須與y軸有公共點(diǎn),則其中的1個(gè)公共點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

        ①函數(shù)y1與x軸和y軸各有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí),圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),則Δ=16-4c=0,解得c=4. 此時(shí)y1=x2-4x+4. 令x=0,可得y=4;令y=0,可得x=2. 利用兩點(diǎn)之間的距離公式,可得AB=2.

        ②因?yàn)楹瘮?shù)y1經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且另一公共點(diǎn)也在x軸上,所以Δ=16-4c>0,解得c<4. 將原點(diǎn)O(0,0)代入解析式y(tǒng)1=x2-4x+c中,解得c=0,所以此時(shí)y1=x2-4x. 令y=0,可得x1=0,x2=4,所以兩公共點(diǎn)之間的距離AB=4.

        (3)已知函數(shù)y1,y2均經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2),將該點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)y1和y2的解析式中,可得1-4+c=-2,

        1+m=-2, 解得c=1,

        m=-3,所以y1=x2-4x+1,y2=x2-3. 函數(shù)y1的解析式可變形為y1=(x-2)2-3,考慮到過(guò)點(diǎn)(0,a-3)所作的平行于x軸的直線與函數(shù)y1,y2的圖像有4個(gè)交點(diǎn),所以需要確保點(diǎn)(0,a-3)位于函數(shù)y1頂點(diǎn)的上方,即a-3>-3,解得a>0. 分別令y1=a-3,y2=a-3,將其代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式中,結(jié)合x(chóng)1

        根據(jù)函數(shù)解析式繪制圖像(如圖1),將直線y=a-3由函數(shù)下方逐步向y軸正方向移動(dòng):當(dāng)-3-2時(shí),橫坐標(biāo)為x1,x3的點(diǎn)在函數(shù)y2的圖像上,橫坐標(biāo)為x2,x4的點(diǎn)在函數(shù)y1的圖像上. 現(xiàn)分別加以討論.

        ①當(dāng)-3

        -,x2=,x3=2-,x4=2+,所以x4-x3+x2-x1=4. 由于0

        ②當(dāng)a-3>-2,即a>1時(shí),x1=-,x2=2-,x3=,x4=2+,所以x4-x3+x2-x1=4.

        綜上可知,0

        [圖1][O][x][y][x1][x2][x3][x4][x1][x2][x3][x4]

        解法評(píng)析及多解探究

        此題為一次函數(shù)與二次函數(shù)為背景的綜合題,第(1)(2)小問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單,只需要分析函數(shù)的特征,適當(dāng)結(jié)合分類討論即可確定. 第(3)問(wèn)屬于交點(diǎn)分析的代數(shù)式最值問(wèn)題,關(guān)鍵是確定函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo). 上述思路采用了常規(guī)的平行線平移方法來(lái)確定分類的標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)而確定了代數(shù)式的取值范圍. 實(shí)際上,對(duì)于第(3)問(wèn),還存在一些其他的方法,下面進(jìn)行深入探究.

        1. 平移視角切入,數(shù)形結(jié)合分析

        根據(jù)上述條件,可確定兩函數(shù)的解析式分別為y1=x2-4x+1,y2=x2-3. 對(duì)y1進(jìn)一步變形可得y1=(x-2)2-3,顯然兩函數(shù)的頂點(diǎn)分別為(2,-3)和(0,-3),且開(kāi)口方向均向上,大致圖像如圖2所示. 于是可以將函數(shù)y1的圖像視為是由y2的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.

        根據(jù)已知條件x11時(shí),根據(jù)坐標(biāo)的大小規(guī)律,有CD=x2-x1=2,EF=x4-x3=2,所以x4-x3+x2-x1=EF+CD=4,即代數(shù)式為定值4. ②當(dāng)00,所以4-2DE<4. 所以此時(shí)x4-x3+x2-x1<4. 綜上可知,x4-x3+x2-x1的最大值為4.

        [圖2][O][x][y][C][D][E][F][C][D][E][F]

        2. 限定視角切入,緊抓對(duì)稱特征

        同樣的,我們可以通過(guò)分析兩函數(shù)的特征作為解題切入點(diǎn). 要確保直線y=a-3與函數(shù)有4個(gè)切點(diǎn),需要滿足以下兩個(gè)條件:①直線不經(jīng)過(guò)兩函數(shù)的交點(diǎn),即y=a-3≠-2;②直線需位于兩函數(shù)的頂點(diǎn)上方,而兩函數(shù)的頂點(diǎn)分別為(2,-3)和(0,-3),所以y=a-3>-3. 因此在討論時(shí)需要分為-3-2兩種情形:

        (1)當(dāng)-3

        (2)當(dāng)a-3>-2,即a>1時(shí),此時(shí)直線y=a-3位于兩函數(shù)交點(diǎn)的上方,同樣設(shè)交點(diǎn)依次為C,D,E,F(xiàn),因?yàn)楹瘮?shù)y1的對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)F到該對(duì)稱軸的距離為x4-2,所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x2=2-(x4-2)=4-x4. 所以x4+x2=4. 同理,函數(shù)y1的對(duì)稱軸為y軸,即直線x=0,點(diǎn)E到該對(duì)稱軸的距離為x3,則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x1=0-x3=-x3. 所以x1+x3=0. 所以x4-x3+x2-x1=(x4+x2)-(x3+x1)=4.

        綜上可知,x4-x3+x2-x1的最大值為4.

        3. 整體視角切入,等量代換計(jì)算

        基于上述分析,我們還可以直接將點(diǎn)的分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)之間的運(yùn)算,利用代數(shù)運(yùn)算的精準(zhǔn)性來(lái)突破. 具體討論標(biāo)準(zhǔn)同上,即分為01兩種情形.

        (1)當(dāng)0

        (2)當(dāng)a>1時(shí),x4,x2在函數(shù)y1上;x3,x1在函數(shù)y2上. 根據(jù)函數(shù)解析式,分別令x2-4x+1=a-3,x2-3=a-3,可得x2+x4=4, x3+x1=0,所以x4-x3+x2-x1=(x4+x2)-(x3+x1)=4.

        綜上可知,x4-x3+x2-x1的最大值為4.

        解法評(píng)析上述展示了第(3)問(wèn)的三種不同切入視角,第一種解法以二次函數(shù)的平移作為切入點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合的方式加以討論;第二種解法從四點(diǎn)存在的限定條件視角加以討論,輔以拋物線對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化代數(shù)式;第三種解法則在上述兩種解法的基礎(chǔ)上,將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為不同的整體,結(jié)合韋達(dá)定理構(gòu)建關(guān)系式. 雖切入視角不同,但這些解法均存在如下一些共有特點(diǎn):①考慮到直線y=a-3的解析式中含有參數(shù)a,無(wú)法確定直線的具體位置,因此需要對(duì)其加以分類討論,而分類討論的具體內(nèi)容均為四點(diǎn)位于函數(shù)圖像上的情形;②由于此問(wèn)為一次函數(shù)與二次函數(shù)的相交問(wèn)題,因此必然涉及兩函數(shù)解析式之間的關(guān)系分析,而求解兩根之差或兩根之和必然繞不開(kāi)相關(guān)的定理,如求根公式、韋達(dá)定理等[1].

        解題思考及教學(xué)建議

        1. 關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí),透視核心概念

        本題屬于初中數(shù)學(xué)的函數(shù)綜合題,解題過(guò)程涉及求二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸,以及兩類函數(shù)的交點(diǎn);而分析問(wèn)題時(shí)又涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值,以及圖像繪制,這些內(nèi)容均是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和核心內(nèi)容. 數(shù)學(xué)解題最為基本的要求是理解題意,能夠運(yùn)用最基本的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拆解,這就要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中要充分理解教材的每一個(gè)核心概念,掌握基本的公式、定理. 同樣地,教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)側(cè)重基礎(chǔ)概念、定理的講解,使學(xué)生充分理解概念背后的深層內(nèi)涵,能夠靈活運(yùn)用公式來(lái)求解基本問(wèn)題[2].

        2. 問(wèn)題多解探究,拓展解題思維

        上述在求解第(3)問(wèn)時(shí),基于不同的切入視角,靈活采用不同的方法加以分析、運(yùn)算,這些解題方法雖大同小異,但對(duì)于透視考題結(jié)構(gòu)、剖析深層內(nèi)涵,具有一定的作用. 如平移視角充分揭示了兩函數(shù)解析式和圖像之間的關(guān)系;限度條件視角剖析了討論的標(biāo)準(zhǔn),以及兩函數(shù)圖像之間的交點(diǎn)情形;而整體視角則進(jìn)一步解讀了代數(shù)式背后的整體關(guān)系,建立了交點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系[3]. 這些探究所得的內(nèi)容對(duì)于完善學(xué)生的知識(shí)架構(gòu)、拓寬學(xué)生的解題思維,有極大的幫助. 因此,在日常的教學(xué)中,教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來(lái)分析問(wèn)題,要幫助學(xué)生提煉、總結(jié)不同的解題思路,使之內(nèi)化為學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),逐步形成自己的思維意識(shí),從而不斷提升學(xué)生的思維水平.

        參考文獻(xiàn):

        [1]湯永明,王紅. 對(duì)兩道函數(shù)題的探究剖析與欣賞[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2019(2):81-83.

        [2]馮英馨,李鴻運(yùn). 一道中考函數(shù)壓軸題的一題多解賞析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué),2018(4):87-88.

        [3]李功林. 整體視角下的函數(shù)概念教學(xué)實(shí)踐與思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(14):53-56.

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