周脈東

摘要 文章論證了共軛的對(duì)稱性，利用射影幾何里的對(duì)合的概念對(duì)共軛的概念進(jìn)行幾何圖形的直觀解釋，證明了共軛關(guān)系是對(duì)合關(guān)系，對(duì)合關(guān)系是對(duì)稱關(guān)系及共軛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 射影變換 共軛方向 對(duì)合 對(duì)稱

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.08.061

Teaching Discussion on College Mathematics Conjugate

ZHOU Maidong

（Mathematics Department， Shaanxi Xueqian Normal University， Xi'an， Shaanxi 710061）

Abstract Demonstrated conjugate symmetry， the use of projective geometry in an intuitive interpretation of the concept of conjugate bound to the concept of geometry were proved conjugate relationship is close relations， close relations are symmetrical relationship and conjugate application.

Key words projective transformation; conjugate direction; involution; symmetry

引言

共軛直徑是解析幾何中比較抽象的概念之一，學(xué)生很難理解直徑的共軛關(guān)系，在教學(xué)中，進(jìn)行直觀解釋也僅限于將表達(dá)式的對(duì)應(yīng)變量對(duì)調(diào)，表達(dá)式不變，這只是一種代數(shù)直觀解釋，現(xiàn)從射影幾何角度來進(jìn)一步進(jìn)行幾何圖形的直觀解釋。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 一維基本形的射影變換

平面上一維基本形分兩種，即點(diǎn)列和線束。兩個(gè)同類的一維基本形是重疊的是指點(diǎn)列是共底的或線束是共中心的。

重疊并且為射影變換的兩個(gè)一維基本形，有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)元素，或一個(gè)自對(duì)應(yīng)元素或沒有自對(duì)應(yīng)元素。

若一維基本形的射影變換有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)元素的則稱為雙曲型射影對(duì)變換，有一個(gè)自對(duì)應(yīng)元素的則稱為拋物型射影對(duì)變換，沒有自對(duì)應(yīng)元素的則稱為橢圓型射影對(duì)變換。

1.2 對(duì)合

在兩個(gè)一維基本形是重疊且為射影變換里有一種特殊情況，如果對(duì)于重疊圖形的任何一個(gè)元素，無論把它看作是屬于第一基本形或第二基本形，它的對(duì)應(yīng)元素總是一樣的。即

有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)元素的對(duì)合稱為雙曲型對(duì)合，沒有實(shí)自對(duì)應(yīng)元素的對(duì)合稱為橢圓型對(duì)合。

命題1^[2]：雙曲型對(duì)合中的任何一對(duì)對(duì)應(yīng)元素與其兩個(gè)二個(gè)自對(duì)應(yīng)元素成調(diào)合共軛。

1.3 共軛方向、共軛直徑

稱為互為共軛方向，即

定義3[3]：中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做共軛直徑。

則（1）式化成

這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式。

1.4 分隔

在取中心線束中的任意三條直線，則每條直線都不能隔開其余兩條，故在射影平面上中間這個(gè)概念就失去了本來的意義，所以我們?nèi)≈行木€束中的任意四條直線來定義分隔，它有兩種情況：第一情況是直線偶分隔了直線偶;第二情況是線偶沒有分隔直線偶。

分隔具有射影不變性。若線束是分隔的，用不通過中心的任意直線去截中心線束，則得到的點(diǎn)列也是分隔的，顯然，線束的交比和點(diǎn)列的交比相等且為負(fù)值。

1.5 點(diǎn)列交比、線束交比

共線的四點(diǎn)A、B、C、D，它們的交比值等于兩個(gè)單比的比值，即（AB，CD） = 上（ABC）下（ABD）。

對(duì)偶地線束中任意四條直線的交比值等于兩個(gè)三直線的單比的比值，即（ab，cb） =上（abc）下（abd）?。

命題2[2]：如果線束的四條直線被任何一條直線截于點(diǎn)四點(diǎn)A、B、C、D，則（ab，cd） = （AB，CD）。

1.6 兩條平行直線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

2 結(jié)論

共軛關(guān)系是對(duì)合關(guān)系，對(duì)合關(guān)系是對(duì)稱關(guān)系。

2.1 代數(shù)解釋

命題3[2]：兩個(gè)重疊一維基本形成為對(duì)合的充要條件是對(duì)應(yīng)點(diǎn)參數(shù)與滿足以下方程：

一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式。

即直徑的共軛關(guān)系是對(duì)稱關(guān)系。

2.2幾何解釋

2.2.1 雙曲型對(duì)合的對(duì)稱圖形

①重疊一維點(diǎn)列對(duì)合的幾何圖形是對(duì)稱圖形

在直線上取定點(diǎn)P，對(duì)于直線上任意一點(diǎn)M_i，設(shè)M_i的關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)M_i為M_i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則點(diǎn)列（M_i）與點(diǎn)列（M_i）是對(duì)合（點(diǎn)P與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為兩個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)）。

②重疊一維線束對(duì)合的幾何圖形是對(duì)稱圖形

顯然有兩個(gè)自共軛方向。

命題6：證明：重疊一維線束的對(duì)合的幾何圖形是對(duì)稱圖形。

2.2.2 橢圓型對(duì)合的對(duì)稱圖形

橢圓型對(duì)合有兩條共軛虛的自對(duì)應(yīng)直線。在無窮遠(yuǎn)直線上取圓點(diǎn)和，另取固定點(diǎn)，連結(jié)、，則、為自對(duì)應(yīng)直線，則過定點(diǎn)A的相交的對(duì)應(yīng)直線為對(duì)合變換。

3 應(yīng)用

3.1 調(diào)和共軛

點(diǎn)列上四個(gè)點(diǎn)或線束中四直線，若它們的交比值等于-1，即（AB，CD） = -1，或（ab，cd） =-1 ，則稱為調(diào)和共軛。

例1 ?設(shè)任意四邊形，其兩組對(duì)邊延長后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，求證：另一條對(duì)角線的延長線平分對(duì)邊交點(diǎn)的連線（1978年全國競(jìng)賽題）。

證：根據(jù)題意作圖2。

3.2 對(duì)合

命題7：雙曲型射影變換的兩條自對(duì)應(yīng)直線和任意一對(duì)對(duì)應(yīng)直線的交比是一個(gè)常數(shù)。

對(duì)偶地，上述命題對(duì)于點(diǎn)列也同樣成立。

例2.試求坐標(biāo)為2和3的兩個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)所確定的對(duì)合的方程。

教改項(xiàng)目：數(shù)學(xué)專業(yè)幾何課程體系建設(shè)與教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化（院級(jí)）（09JG024Y）

參考文獻(xiàn)

[1] 羅崇善等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 梅向明.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3] 呂林根等.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.