何建云

【摘要】對稱問題是研究幾何和代數(shù)問題必不可少的內容.建立幾何與代數(shù)間的聯(lián)系能有效培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想，促進學生數(shù)學思維的靈活性和解決問題的時效性，提升學生認識數(shù)學知識的宏觀調控能力和微觀操作手段，達到應用數(shù)學解決實際問題之目的.

【關鍵詞】一元抽象函數(shù)；對稱；實踐

一元抽象函數(shù)的對稱問題是模擬考試和高考命題的熱點之一，?？汲Ｐ拢y度較大，函數(shù)的對稱問題，從初中到高中，除三角函數(shù)討論總結出對稱性外，其它基本初等函數(shù)針對對稱性問題泛泛而談，甚至不談.關于對稱的問題最早是以幾何概念的“形”的文字語言出現(xiàn)的，而把這種“形”的概念轉化為“符號語言”的“數(shù)”表達出來，在教材中幾乎是空白，這就需要教師挖掘教材內涵，開發(fā)校本教材去彌補和化解對學生造成的“硬傷”.

1建立函數(shù)中心對稱概念

在高中數(shù)學教材[1]中，中心對稱問題呈現(xiàn)于教材是在解析幾何知識中，其基本概念最早見于初中數(shù)學平面幾何知識.初中教材中“把一個圖形繞著某一點旋轉，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心（簡稱中心），這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點.”[2]這說明了兩個圖形是否關于某點對稱的問題.同時“把一個圖形繞著某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.”[3]這說明了一個圖形是否是中心對稱圖形的依據(jù).在高中階段的函數(shù)性質研究中，除了“形”的觀察研究外，更重要的是“數(shù)”的嚴密推理過程，也就是數(shù)學建模的深入理解：若一個函數(shù)的圖象繞著某一點旋轉，如果旋轉后的圖象能夠與原來的圖象重合，那么這個函數(shù)的圖象關于這個點成中心對稱.換句話說：“對于函數(shù)f（x），其圖象上的任一點P1（x，f（x）），關于點P（m，n）的對稱點P2（2m-x，2n-f（x））也在函數(shù)圖象上，則稱函數(shù)f（x）的圖象關于點P成中心對稱.”根據(jù)這個定義，如何判斷函數(shù)圖象是否是中心對稱圖象和如何求函數(shù)的對稱中心問題就迎刃而解了.

2建立函數(shù)關于軸對稱的概念

初中階段“把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線（或軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后的重合的點是對應點，叫做對稱點.”[4]這說明了兩個圖形是否關于某直線對稱的問題.“如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸，也就是說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱”[5].這給出了一個圖形是否是軸對稱圖形的依據(jù).由于一元函數(shù)圖象是一個平面圖形，為此，一元函數(shù)圖象關于軸對稱的概念可描述為：若一個一元函數(shù)的圖象沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個函數(shù)圖象就叫做關于這條直線（成軸）對稱.由于“軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點連線段的垂直平分線”[6]，故對于函數(shù)關于某直線對稱的概念也可表述為：對于函數(shù)f（x），其圖象上的任一點P1（x，f（x））關于直線l：y=ax+b，（a≠0）的對稱點P2（m，n）也在函數(shù)f（x）圖象上，則稱函數(shù)f（x）的圖象關于直線l對稱.其中m，n由方程組 n-f（x）m-x=-1a，

n+f（x）2=a·m+x2+b求出，然后檢驗n=f（m）是否成立？若成立，表明y=f（x）關于直線l對稱；若不成立，則表明l不是y=f（x）的對稱軸；當a=0時，m=x，n=2b-f（x）從而代入y=f（x）檢驗判斷即可.

不難知道：若已知一個函數(shù)y=f（x）關于某直線成軸對稱，要求出其對稱軸就可以用待定系數(shù)法解決了.

3抽象函數(shù)y=f（x）的對稱性結論及證明

3.1若函數(shù)f（x）滿足f（a-nx）=f（nx+b），則f（x）是對稱函數(shù)，且函數(shù)關于直線x=a+b2對稱.

證明在f（a-nx）=f（nx+b）中，令X=a-nx，得f（X）=f（a+b-X），即f（x）=f（a+b-x）.設點（x，f（x））在函數(shù)f（x）的圖象上，則點（x，f（x））關于直線x=a+b2對稱的點的坐標為（a+b-x，f（x）），由f（x）=f（a+b-x）可證得點（a+b-x，f（x））也在函數(shù)的圖象上.故函數(shù)關于直線x=a+b2對稱.

3.2若函數(shù)f（x）滿足f（a-nx）=-f（nx+b）+c，則f（x）是對稱函數(shù)，且函數(shù)關于點（a+b2，c2）成中心對稱.

證明在f（a-nx）=-f（nx+b）+c中，令X=a-nx，得f（X）=-f（a+b-X）+c，即f（x）=-f（a+b-x）+c.設點（x，f（x））關于點（a+b2，c2）對稱的點的坐標為（a+b-x，c-f（x）），由f（x）=-f（a+b-x）+c得c-f（x）=f（a+b-x），即點（a+b-x，c-f（x））也在函數(shù)的圖象上.故函數(shù)f（x）關于點（a+b2，c2）成中心對稱.

3.3若給定函數(shù)f（x），則函數(shù)y=f（a-nx）與y=f（nx+b）的圖象關于直線x=a-b2n對稱.

證明設y=f（a-nx）圖象上任一點（x，f（a-nx））關于直線x=a-b2n對稱的點為（a-bn-x，f（a-nx）），令X=a-bn-x，則（X，f（nX+b）），即點（x，f（nx+b））在函數(shù)y=f（nx+b）的圖像上，故函數(shù)y=f（a-nx）與y=f（nx+b）的圖象關于直線x=a-b2n對稱.

當函數(shù)y=f（x）關于任意直線或點對稱，證明可仿照上面方法進行，只是較復雜而已.當函數(shù)y=f（x）關于某點或關于形如x=m的直線對稱，就可利用其逆命題得結論.

4抽象函數(shù)y=f（x）雙對稱與周期的關系

函數(shù)y=f（x）同時關于點點或點線或線線的對稱叫做雙對稱.

4.1若函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=a，x=b，（a≠b）對稱，則函數(shù)f（x）必為周期函數(shù)，且T=2|b-a|是一個周期.

證明因為f（x）的圖象關于直線x=a對稱，所以f（x）=f（-x+2a）；同理有f（x）=f（-x+2b），所以f（-x+2a）=f（-x+2b），即f（x）=f（x+2b-2a）.所以f（x）的一個正周期T=2b-a.

4.2若函數(shù)f（x）的圖象關于點（a，0）和直線x=b對稱，則函數(shù)f（x）必為周期函數(shù)，且T=4a-b是一個周期.

證明因為f（x）的圖象關于點（a，0）對稱，所以f（x）=-f（-x+2a）；又因為f（x）的圖象關于直線x=b對稱，所以f（x）=f（-x+2b）；因此-f（-x+2a）=f（-x+2b），化簡得f（x）=f（x-4a+4b）.故T=4a-b是一個周期.

4.3若函數(shù)f（x）的圖象關于點（a，0）和點（b，0）對稱，則函數(shù)f（x）必為周期函數(shù)，且T=2b-a是一個周期.

證明因為f（x）的圖象關于點（a，0）對稱，所以f（x）=-f（-x+2a）；又因為f（x）的圖象關于點（b，0）對稱，所以f（x）=-f（-x+2b）；因此有-f（-x+2a）=-f（-x+2b），即f（x）=f（x+2b-2a）.故f（x）的一個正周期T=2b-a.

5抽象函數(shù)f（x）的構造函數(shù)法依據(jù)及應用

由以上知識可知，若一個抽象函數(shù)的對稱性按定義法來解決問題則較為繁雜；若應用抽象函數(shù)的對稱性結論或雙對稱性與周期的關系來解決問題，則能縮短解題過程和時間.要做到這一點，必須熟練掌握這些“用處大”的結論.由于數(shù)學知識內容豐富，容量大，對中、差生來說，有效掌握函數(shù)的對稱問題就顯得“不可理喻”和力不從心了.如何讓全體學生找到淺顯易懂的解決函數(shù)對稱問題的方法呢？采用構造函數(shù)法不失為一種較簡捷的辦法.因為存在性包含于任意性中，所以只要構造出某個符合抽象函數(shù)所有條件的具體函數(shù)，則這個具體的函數(shù)就是符合這個抽象函數(shù)條件的一個特殊函數(shù).

例1（2007年重慶卷理） 已知定義域為R的函數(shù)f（x）在（8，+∞）上為減函數(shù)，且函數(shù)f（x+8）為偶函數(shù)，則（ ）

A.f（6）>f（7） B.f（6）>f（9）

C.f（7）>f（9） D.f（7）>f（10）

解析f（x+8）為偶函數(shù)，所以f（x+8）=f（-x+8）.即函數(shù)f（x）關于直線x=8對稱，又f（x）在（8，+∞）為減函數(shù)，故可設f（x）=-（x-8）2.

由一元二次函數(shù)性質可知：f（7）>f（10）.

故選D.

反思應用一元二次函數(shù)的對稱性性質.

例2定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關于點（1，1）和點（3，2）對稱，則f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=（）

A.16B.24 C.32 D.48

解析法一性質法：因為在R上函數(shù)f（x）的圖象關于點（1，1）對稱，所以f（x）=-f（-x+2）+2，且f（0）+f（2）=2.同理，在R上函數(shù)f（x）的圖象關于點（3，2）對稱，則有f（x）=-f（-x+6）+4.因此-f（-x+2）+2=-f（-x+6）+4，化簡得f（x）=f（x+4）-2.所以f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=4[f（0）+f（2）]+24=4×2+24=32.

故選擇C.

法二構造函數(shù)法： 因為一元一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）恒關于其圖像上任意點對稱，故點（1，1），（3，2）在其圖像上.由a+b=1，

3a+b=2得a=12，b=12.則f（x）=12x+12.

所以f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=12（0+2+4+…+14）+12×8=32.

故選C.

反思應用一元一次函數(shù)關于其圖象上的任意點對稱的性質求解簡便易懂.

例3定義在R上的函數(shù)f（x）的圖像既關于點A（m，n）對稱，又關于直線l：y=ax+b（a≠0）對稱，請你構造一個滿足條件的函數(shù)f（x）.

解析因為過點A（m，n）且垂直于l的直線關于l對稱，所以可構造函數(shù)f（x）=px+q，則有p=-1a，

n=pm+q，解之得：q=n+ma.

所以f（x）=-1a（x-m）+n.

故可構造一個滿足條件的函數(shù)f（x）=-1a（x-m）+n.

反思一元一次函數(shù)關于其圖象上的任意點對稱；平面上互相垂直的兩條直線互為對稱直線.

總之，應用構造函數(shù)法解決抽象函數(shù)對稱問題運用于選擇題和填空題時較方便，但在解決解答題和證明題時只能作為打開思維的依據(jù)而不能作為完整的解題過程，它畢竟是一種“特殊性”的方法存在于“普遍性”方法之中，是建立在對基本初等函數(shù)性質熟練掌握基礎上的靈活應用的方法.

參考文獻

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學選修21A版[M].北京：人民教育出版社：44.

[2][3]林群.義務教育教科書.數(shù)學九年級上冊[M].北京：人民教育出版社：62-67.

[4][5][6]林群，義務教育教科書，數(shù)學八年級上冊[M].北京：人民教育出版社：58-60.