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        一元抽象函數(shù)對稱問題的思考與實踐

        2016-11-01 13:54:31何建云
        中學數(shù)學雜志(高中版) 2016年5期
        關鍵詞:實踐

        何建云

        【摘要】對稱問題是研究幾何和代數(shù)問題必不可少的內容.建立幾何與代數(shù)間的聯(lián)系能有效培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想,促進學生數(shù)學思維的靈活性和解決問題的時效性,提升學生認識數(shù)學知識的宏觀調控能力和微觀操作手段,達到應用數(shù)學解決實際問題之目的.

        【關鍵詞】一元抽象函數(shù);對稱;實踐

        一元抽象函數(shù)的對稱問題是模擬考試和高考命題的熱點之一,??汲P拢y度較大,函數(shù)的對稱問題,從初中到高中,除三角函數(shù)討論總結出對稱性外,其它基本初等函數(shù)針對對稱性問題泛泛而談,甚至不談.關于對稱的問題最早是以幾何概念的“形”的文字語言出現(xiàn)的,而把這種“形”的概念轉化為“符號語言”的“數(shù)”表達出來,在教材中幾乎是空白,這就需要教師挖掘教材內涵,開發(fā)校本教材去彌補和化解對學生造成的“硬傷”.

        1建立函數(shù)中心對稱概念

        在高中數(shù)學教材[1]中,中心對稱問題呈現(xiàn)于教材是在解析幾何知識中,其基本概念最早見于初中數(shù)學平面幾何知識.初中教材中“把一個圖形繞著某一點旋轉,如果它能與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心(簡稱中心),這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點.”[2]這說明了兩個圖形是否關于某點對稱的問題.同時“把一個圖形繞著某一點旋轉,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心.”[3]這說明了一個圖形是否是中心對稱圖形的依據(jù).在高中階段的函數(shù)性質研究中,除了“形”的觀察研究外,更重要的是“數(shù)”的嚴密推理過程,也就是數(shù)學建模的深入理解:若一個函數(shù)的圖象繞著某一點旋轉,如果旋轉后的圖象能夠與原來的圖象重合,那么這個函數(shù)的圖象關于這個點成中心對稱.換句話說:“對于函數(shù)f(x),其圖象上的任一點P1(x,f(x)),關于點P(m,n)的對稱點P2(2m-x,2n-f(x))也在函數(shù)圖象上,則稱函數(shù)f(x)的圖象關于點P成中心對稱.”根據(jù)這個定義,如何判斷函數(shù)圖象是否是中心對稱圖象和如何求函數(shù)的對稱中心問題就迎刃而解了.

        2建立函數(shù)關于軸對稱的概念

        初中階段“把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這條直線(或軸)對稱,這條直線叫做對稱軸,折疊后的重合的點是對應點,叫做對稱點.”[4]這說明了兩個圖形是否關于某直線對稱的問題.“如果一個平面圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸,也就是說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱”[5].這給出了一個圖形是否是軸對稱圖形的依據(jù).由于一元函數(shù)圖象是一個平面圖形,為此,一元函數(shù)圖象關于軸對稱的概念可描述為:若一個一元函數(shù)的圖象沿著一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個函數(shù)圖象就叫做關于這條直線(成軸)對稱.由于“軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對應點連線段的垂直平分線”[6],故對于函數(shù)關于某直線對稱的概念也可表述為:對于函數(shù)f(x),其圖象上的任一點P1(x,f(x))關于直線l:y=ax+b,(a≠0)的對稱點P2(m,n)也在函數(shù)f(x)圖象上,則稱函數(shù)f(x)的圖象關于直線l對稱.其中m,n由方程組 n-f(x)m-x=-1a,

        n+f(x)2=a·m+x2+b求出,然后檢驗n=f(m)是否成立?若成立,表明y=f(x)關于直線l對稱;若不成立,則表明l不是y=f(x)的對稱軸;當a=0時,m=x,n=2b-f(x)從而代入y=f(x)檢驗判斷即可.

        不難知道:若已知一個函數(shù)y=f(x)關于某直線成軸對稱,要求出其對稱軸就可以用待定系數(shù)法解決了.

        3抽象函數(shù)y=f(x)的對稱性結論及證明

        3.1若函數(shù)f(x)滿足f(a-nx)=f(nx+b),則f(x)是對稱函數(shù),且函數(shù)關于直線x=a+b2對稱.

        證明在f(a-nx)=f(nx+b)中,令X=a-nx,得f(X)=f(a+b-X),即f(x)=f(a+b-x).設點(x,f(x))在函數(shù)f(x)的圖象上,則點(x,f(x))關于直線x=a+b2對稱的點的坐標為(a+b-x,f(x)),由f(x)=f(a+b-x)可證得點(a+b-x,f(x))也在函數(shù)的圖象上.故函數(shù)關于直線x=a+b2對稱.

        3.2若函數(shù)f(x)滿足f(a-nx)=-f(nx+b)+c,則f(x)是對稱函數(shù),且函數(shù)關于點(a+b2,c2)成中心對稱.

        證明在f(a-nx)=-f(nx+b)+c中,令X=a-nx,得f(X)=-f(a+b-X)+c,即f(x)=-f(a+b-x)+c.設點(x,f(x))關于點(a+b2,c2)對稱的點的坐標為(a+b-x,c-f(x)),由f(x)=-f(a+b-x)+c得c-f(x)=f(a+b-x),即點(a+b-x,c-f(x))也在函數(shù)的圖象上.故函數(shù)f(x)關于點(a+b2,c2)成中心對稱.

        3.3若給定函數(shù)f(x),則函數(shù)y=f(a-nx)與y=f(nx+b)的圖象關于直線x=a-b2n對稱.

        證明設y=f(a-nx)圖象上任一點(x,f(a-nx))關于直線x=a-b2n對稱的點為(a-bn-x,f(a-nx)),令X=a-bn-x,則(X,f(nX+b)),即點(x,f(nx+b))在函數(shù)y=f(nx+b)的圖像上,故函數(shù)y=f(a-nx)與y=f(nx+b)的圖象關于直線x=a-b2n對稱.

        當函數(shù)y=f(x)關于任意直線或點對稱,證明可仿照上面方法進行,只是較復雜而已.當函數(shù)y=f(x)關于某點或關于形如x=m的直線對稱,就可利用其逆命題得結論.

        4抽象函數(shù)y=f(x)雙對稱與周期的關系

        函數(shù)y=f(x)同時關于點點或點線或線線的對稱叫做雙對稱.

        4.1若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=a,x=b,(a≠b)對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),且T=2|b-a|是一個周期.

        證明因為f(x)的圖象關于直線x=a對稱,所以f(x)=f(-x+2a);同理有f(x)=f(-x+2b),所以f(-x+2a)=f(-x+2b),即f(x)=f(x+2b-2a).所以f(x)的一個正周期T=2b-a.

        4.2若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)和直線x=b對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),且T=4a-b是一個周期.

        證明因為f(x)的圖象關于點(a,0)對稱,所以f(x)=-f(-x+2a);又因為f(x)的圖象關于直線x=b對稱,所以f(x)=f(-x+2b);因此-f(-x+2a)=f(-x+2b),化簡得f(x)=f(x-4a+4b).故T=4a-b是一個周期.

        4.3若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),且T=2b-a是一個周期.

        證明因為f(x)的圖象關于點(a,0)對稱,所以f(x)=-f(-x+2a);又因為f(x)的圖象關于點(b,0)對稱,所以f(x)=-f(-x+2b);因此有-f(-x+2a)=-f(-x+2b),即f(x)=f(x+2b-2a).故f(x)的一個正周期T=2b-a.

        5抽象函數(shù)f(x)的構造函數(shù)法依據(jù)及應用

        由以上知識可知,若一個抽象函數(shù)的對稱性按定義法來解決問題則較為繁雜;若應用抽象函數(shù)的對稱性結論或雙對稱性與周期的關系來解決問題,則能縮短解題過程和時間.要做到這一點,必須熟練掌握這些“用處大”的結論.由于數(shù)學知識內容豐富,容量大,對中、差生來說,有效掌握函數(shù)的對稱問題就顯得“不可理喻”和力不從心了.如何讓全體學生找到淺顯易懂的解決函數(shù)對稱問題的方法呢?采用構造函數(shù)法不失為一種較簡捷的辦法.因為存在性包含于任意性中,所以只要構造出某個符合抽象函數(shù)所有條件的具體函數(shù),則這個具體的函數(shù)就是符合這個抽象函數(shù)條件的一個特殊函數(shù).

        例1(2007年重慶卷理) 已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(8,+∞)上為減函數(shù),且函數(shù)f(x+8)為偶函數(shù),則( )

        A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)

        C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

        解析f(x+8)為偶函數(shù),所以f(x+8)=f(-x+8).即函數(shù)f(x)關于直線x=8對稱,又f(x)在(8,+∞)為減函數(shù),故可設f(x)=-(x-8)2.

        由一元二次函數(shù)性質可知:f(7)>f(10).

        故選D.

        反思應用一元二次函數(shù)的對稱性性質.

        例2定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,1)和點(3,2)對稱,則f(0)+f(2)+f(4)+…+f(14)=()

        A.16B.24 C.32 D.48

        解析法一性質法:因為在R上函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,1)對稱,所以f(x)=-f(-x+2)+2,且f(0)+f(2)=2.同理,在R上函數(shù)f(x)的圖象關于點(3,2)對稱,則有f(x)=-f(-x+6)+4.因此-f(-x+2)+2=-f(-x+6)+4,化簡得f(x)=f(x+4)-2.所以f(0)+f(2)+f(4)+…+f(14)=4[f(0)+f(2)]+24=4×2+24=32.

        故選擇C.

        法二構造函數(shù)法: 因為一元一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)恒關于其圖像上任意點對稱,故點(1,1),(3,2)在其圖像上.由a+b=1,

        3a+b=2得a=12,b=12.則f(x)=12x+12.

        所以f(0)+f(2)+f(4)+…+f(14)=12(0+2+4+…+14)+12×8=32.

        故選C.

        反思應用一元一次函數(shù)關于其圖象上的任意點對稱的性質求解簡便易懂.

        例3定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像既關于點A(m,n)對稱,又關于直線l:y=ax+b(a≠0)對稱,請你構造一個滿足條件的函數(shù)f(x).

        解析因為過點A(m,n)且垂直于l的直線關于l對稱,所以可構造函數(shù)f(x)=px+q,則有p=-1a,

        n=pm+q,解之得:q=n+ma.

        所以f(x)=-1a(x-m)+n.

        故可構造一個滿足條件的函數(shù)f(x)=-1a(x-m)+n.

        反思一元一次函數(shù)關于其圖象上的任意點對稱;平面上互相垂直的兩條直線互為對稱直線.

        總之,應用構造函數(shù)法解決抽象函數(shù)對稱問題運用于選擇題和填空題時較方便,但在解決解答題和證明題時只能作為打開思維的依據(jù)而不能作為完整的解題過程,它畢竟是一種“特殊性”的方法存在于“普遍性”方法之中,是建立在對基本初等函數(shù)性質熟練掌握基礎上的靈活應用的方法.

        參考文獻

        [1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學選修21A版[M].北京:人民教育出版社:44.

        [2][3]林群.義務教育教科書.數(shù)學九年級上冊[M].北京:人民教育出版社:62-67.

        [4][5][6]林群,義務教育教科書,數(shù)學八年級上冊[M].北京:人民教育出版社:58-60.

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