朱純剛

2016年高考理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)卷（Ⅰ）壓軸題：

已知f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，求證：x1+x2<2.

此題具有表述簡(jiǎn)潔明了、背景公平公正、立足于考查基本知識(shí)與基本技能、內(nèi)涵豐富、入口較寬、能力要求高、重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查等特點(diǎn)，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有很好的導(dǎo)向作用，給廣大數(shù)學(xué)教師以很多啟示.本文在探究其基本解法的基礎(chǔ)之上，談?wù)勊o中學(xué)數(shù)學(xué)教師的啟示.

1解法探究

標(biāo)準(zhǔn)答案是基于下面的解題思路：

對(duì)于第（Ⅰ）問，要使f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2的零點(diǎn)有兩個(gè)，就必須作出其草圖，為此必須判斷其單調(diào)性，考察其極值情況及函數(shù)值的分布情況.因此，求導(dǎo)、考察導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性成為必然.

對(duì)于第（Ⅱ）問，實(shí)際上就是比較大小.比較大小有直接作差比較與用單調(diào)性比較等途徑，顯然直接作差比較沒有條件，因?yàn)閤1，x2根本求不出來，故必須用單調(diào)性比較大小.為此需要利用解答第（Ⅰ）問時(shí)所得到的結(jié)論：x1∈（-∞，1），x2∈（1，2），f（x）在（-∞，1）上單調(diào).

可以說，這是一種最直接、最循規(guī)蹈矩、最符合考生實(shí)際的解題思路，因?yàn)榭忌谧鞔鹪擃}時(shí)，兩個(gè)小時(shí)的作答時(shí)間已經(jīng)所剩無幾了，根本沒有時(shí)間去思考其他的間接思路.實(shí)際上，用下面的三種構(gòu)造解法解答本題，效果可能會(huì)更好一些.

法一構(gòu)造一個(gè)常數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)（分離參數(shù)法）.

解（Ⅰ）顯然x=1不是f（x）的零點(diǎn).故f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)方程a=（2-x）ex（x-1）2有兩個(gè)不等實(shí)根.

令h（x）=（2-x）ex（x-1）2，則f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)y=a的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).

因?yàn)閔′（x）=-（x-2）2-1（x-1）3ex>0x<1，

所以h（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→-∞時(shí)，h（x）→0，（x→-∞）；當(dāng)x→1時(shí)，h（x）→+∞.

又h（2）=0，且當(dāng)x<2（x≠1）時(shí)，h（x）>0.

所以要使函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)y=a的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，必須且只需a>0.

故a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）不妨設(shè)x1

因?yàn)閔（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，故x1+x2<2x1<2-x2h（x1）

h（x2）

令g（x）=（2-x）e2x-2-x，x∈（1，2），則g′（x）=（3-2x）e2x-2-1，g″（x）=4（1-x）e2x-2<0，

所以g′（x）在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，又g′（1）=0，所以g′（x）<0，

所以g（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，又g（1）=0，所以g（x）<0在（1，2）內(nèi)恒成立，

故h（x1）

法二構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)與超越函數(shù).

由f（x）=0得a（x-1）2=（2-x）ex，

令g（x）=a（x-1）2，h（x）=（2-x）ex，則f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).

因?yàn)閔′（x）=（1-x）ex，所以h（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

且當(dāng)x<2時(shí)，h（x）>0；當(dāng)x>2時(shí)，h（x）<0；h（2）=0，h（x）max=h（1）=e.

結(jié)合草圖容易看出，所求的a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）設(shè)x1

因?yàn)閍>0，所以f′（x）=（x-1）（ex+2a）>0x>1.

所以f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減.以下同標(biāo)準(zhǔn)答案.

法三構(gòu)造一個(gè)指數(shù)型函數(shù)與雙鉤函數(shù).

顯然a≠0，且x≠2.

由f（x）=0得（x-1）2x-2=-1aex.令g（x）=（x-1）2x-2，h（x）=-1aex，

則f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).

因?yàn)間（x）=（x-1）2x-2=x+1x-2=（x-2）+1x-2+2，

所以y=g（x）的圖象由雙鉤函數(shù)y=x+1x的圖象分別向右、向上平移2個(gè)單位得到，而h（x）=-1aex是指數(shù)型函數(shù).

結(jié)合草圖可以看出，所求的a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）同解法二.略.

2對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

從該題的眾多特點(diǎn)及多種解法可以看出，它對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用，給廣大數(shù)學(xué)教師以眾多啟示.

啟示一勿以題海戰(zhàn)術(shù)應(yīng)對(duì)高考

學(xué)數(shù)學(xué)需要解題，甚至大量解題，但并不等于一定要在題海中遨游.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好解題后的反思這一環(huán)節(jié)，盡量做到一題多解，舉一反三，觸類旁通，而不是大量地重復(fù)練習(xí).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用之一，每一個(gè)參加高考的學(xué)生都應(yīng)該熟知，也應(yīng)該經(jīng)歷過這方面的解題訓(xùn)練，去年全國(guó)卷的壓軸題也是考查函數(shù)的零點(diǎn)，近年來各省市的高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)，此類題對(duì)參加高考的學(xué)生來說應(yīng)該是常見題，并不感到陌生.因此，完全沒有必要通過題海戰(zhàn)術(shù)來應(yīng)對(duì)高考的常見題型.

啟示二應(yīng)立足于基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

由前面給出的幾種解法可以看出，解答本題都是靈活運(yùn)用一些常見的基礎(chǔ)知識(shí)，在用解法三解第（Ⅰ）問時(shí)，就只用到了高一必修一的知識(shí)，根本沒有用到導(dǎo)數(shù).如果學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好，很容易發(fā)現(xiàn)由方程通過變形可以分離出雙鉤函數(shù)與指數(shù)型函數(shù).因此，在教學(xué)中我們應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，加強(qiáng)通式通法的教學(xué)，沒必要?jiǎng)ψ咂h、一味地追求一些偏難怪的方法.

啟示三必須重視數(shù)學(xué)概念尤其是核心概念的教學(xué)

函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)是高中代數(shù)部分的幾個(gè)核心概念，本題就是圍繞這幾個(gè)核心概念立意的.

教材在定義函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，為了突出“零”字，定義函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，亦即為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).但如果把x軸看成函數(shù)y=0的圖象，函數(shù)的零點(diǎn)也可以這樣定義：函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，亦為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).這個(gè)定義蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)中的構(gòu)造思想，即由方程左右兩邊分別構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，考察函數(shù)的零點(diǎn)就是考察這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣所給的方程有多少種變形形式，就應(yīng)有多少種構(gòu)造函數(shù)的方式，而不再局限于題目所給的方程.如：為了考察f（x）=x2-3x+2的零點(diǎn)、即方程x2-3x+2=0的根，可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)y=x2-3x+2與y=0、也可以構(gòu)造y=x2與y=3x-2、或者y=x2+2與y=3x、或者y=x-3與y=-2x、或者y=x+2x與y=3等等，再分別考察它們圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).如果教師在“函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)中，深挖了其潛在價(jià)值，抓住了其本質(zhì)，相信學(xué)生在高考中應(yīng)能給出上面的解法.

在講授函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，很多教師通常只照本宣科地講“任取x1，x2∈D，且x1x2對(duì)任意x1，x2∈D均成立.如果教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生揭示了單調(diào)性的實(shí)質(zhì)，相信學(xué)生在看到該題的第（Ⅱ）問時(shí)不會(huì)感到茫然.

數(shù)學(xué)有三種不同的形態(tài)：第一種是數(shù)學(xué)家創(chuàng)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程中的原始形態(tài)；第二種是整理研究成果之后發(fā)表于數(shù)學(xué)雜志上、陳述于教材上的學(xué)術(shù)形態(tài)；第三種是便于學(xué)生理解學(xué)習(xí)，在課堂上出現(xiàn)的教育形態(tài).數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該把抽象難懂的“第一種、第二種形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“第三種形態(tài)”，這種轉(zhuǎn)化在某種程度上實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)概念的再創(chuàng)造，而這種再創(chuàng)造的過程正是概念的生成過程，正是發(fā)展學(xué)生思維、提升學(xué)生能力的過程，也正是探究概念本質(zhì)的過程.因此，教師在教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)概念尤其是核心概念的教學(xué).

啟示四打造真正意義上的“高效課堂”

目前，中學(xué)教育界關(guān)于“高效課堂”可以說是眾說紛紜，圍繞“如何打造高效課堂”這一話題，產(chǎn)生了多種不同的課堂教學(xué)模式，如“三講三不講”、“翻轉(zhuǎn)課堂”、“先學(xué)后教”模式等等，幾乎每一個(gè)模式發(fā)明者都認(rèn)為采用自己的教學(xué)模式去教學(xué)的課堂是高效的.這就存在一個(gè)高效課堂的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)的問題，前面所說的一些教學(xué)模式實(shí)際上是以“學(xué)生對(duì)當(dāng)堂知識(shí)的掌握”為標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)判是否高效的，而“高效課堂”的真正評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是“教育價(jià)值”.教育的價(jià)值就是促進(jìn)人的全面發(fā)展.一個(gè)人沒有知識(shí)肯定不能全面發(fā)展，但有了知識(shí)就一定能全面發(fā)展嗎？顯然不是.要讓一個(gè)人全面發(fā)展，還必須關(guān)注其情感、態(tài)度、價(jià)值觀，必須關(guān)注非智力因素方面的發(fā)展.由于人與人之間千差萬別，因此，真正意義上的“高效課堂”，是沒有固定模式可循的，這才是真正的“教無定法”.

真正意義上的“高效課堂”，應(yīng)是促進(jìn)人的全面發(fā)展的課堂，也就是說應(yīng)該是發(fā)展人、完善人的課堂.要發(fā)展人、完善人，教師在教學(xué)中就應(yīng)該盡可能地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的再創(chuàng)造，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生有了數(shù)學(xué)思想，就會(huì)在思想的引領(lǐng)下運(yùn)用知識(shí)發(fā)現(xiàn)和解決問題，解決問題需要能力，學(xué)生在需要能力的活動(dòng)中就能形成能力.關(guān)注知識(shí)的再創(chuàng)造過程，就是關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀的過程，關(guān)注學(xué)科素養(yǎng)對(duì)人的發(fā)展的貢獻(xiàn)的過程.

高考雖然有其局限性和片面性，但不能否認(rèn)高考仍然是一種對(duì)學(xué)生相對(duì)全面考查的有效方式.解答高考?jí)狠S題需要用到多種數(shù)學(xué)思想與方法，需要有較強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力，需要有良好的心態(tài)，需要有正確對(duì)待高考的態(tài)度.所有這些，都需要教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)、正確地引導(dǎo).因此，只有打造了真正意義上的高效課堂，學(xué)生才能得到真正發(fā)展，才能在高考中取得優(yōu)異成績(jī).