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        2016年全國卷Ⅲ理科第20題別解與推廣

        2016-11-01 14:13:48劉才華
        中學數學雜志(高中版) 2016年5期
        關鍵詞:準線垂線中點

        劉才華

        試題已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.(Ⅰ)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明:AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.

        這是2016年全國卷Ⅲ理科第20題,我們首先給出試題的一種新解法.

        別解設直線AB:x=my+t與C:y2=2x相交于A(y212,y1),B(y222,y2),由x=my+t

        y2=2x得y2-2my-2t=0……①.

        (Ⅰ)若F在線段AB上,則t=12,①式變?yōu)閥2-2my-1=0,則y1y2=-1.

        于是R(-12,y1+y22),即R(-12,y1-1y12),即R(-12,y21-12y1),則AR=-(y21+12,y21+12y1);

        Q(-12,y2)即Q(-12,-1y1),F(xiàn)(12,0) ,則FQ=-(1,1y1).由AR=y21+12FQ得AR∥FQ;

        (Ⅱ)因為S△PQF=12PQ=12y1-y2,S△ABF=12t-12y1-y2,由條件得t-12=12,則t=1或t=0(舍),于是①式變?yōu)閥2-2my-2=0.設AB中點為M(x0,y0),則y0=m,

        x20=m2+1,

        消去m得x0=y20+1,即AB中點的軌跡方程為y2=x-1.

        通過探究我們發(fā)現(xiàn):試題(Ⅰ)結論對于一般圓錐曲線都成立,得到圓錐曲線焦點弦的一個共同性質,用三個命題給出,并且命題的證明用到了如下引理.

        引理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊 .(引理易證,過程從略).

        命題1如圖1,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F作直線交C于A,B兩點,過A,B分別作C的準線x=-p2的垂線,垂足為P,Q兩點.若R是PQ的中點,則AR∥FQ.

        圖1圖2證明如圖1,延長射線AR交BQ所在直線于點H,由條件得AP∥BH.由R是PQ的中點得AP=QH.由拋物線的定義得AF=AP,BF=BQ.在△ABH中,由BFFA=BQQH及引理得AR∥FQ.

        命題2如圖2,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左(右)焦點為F,過F作直線交C于A,B兩點,過A,B分別作C的左(右)準線x=-a2c(x=a2c)的垂線,垂足為P,Q兩點.若R是PQ的中點,則AR∥FQ.

        證明如圖2,當F為左焦點時,延長射線AR交BQ所在直線于點H,由條件得AP∥BH.由R是PQ的中點得AP=QH.設橢圓的離心率為e,由橢圓的第二定義得AF=eAP,BF=eBQ.在△ABH中,由BFFA=BQQH及引理得AR∥FQ.

        當F為右焦點時,同理可證.

        命題3已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的左(右)焦點為F,過F作直線交C的左(右)支于A,B兩點,過A,B分別作C的左(右)準線x=-a2c(x=a2c)的垂線,垂足為P,Q兩點.若R是PQ的中點,則AR∥FQ.

        命題3可以仿照命題2的證明方法證明.

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