李麗娜 張昆

2淮北師范大學(xué)?數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北?235000）[=]【摘?要】“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”是“圓的切線的判定定理”教學(xué)內(nèi)容的自然發(fā)展，作為平面幾何基本作圖的一個(gè)有價(jià)值的知識(shí)點(diǎn)，理應(yīng)成為一個(gè)拓展的教學(xué)內(nèi)容。文章闡述了兩種課堂教學(xué)途徑，一是講授法，將“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”作為鞏固新知識(shí)“圓的切線的判定定理”一個(gè)例題的課堂教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié);二是探究發(fā)現(xiàn)法，教師與學(xué)生進(jìn)行“心理換位”，從揣摩與推測(cè)學(xué)生如何思考問題出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)。兩種教學(xué)法各有優(yōu)劣，但研究者倡導(dǎo)授課教師還是要練就以探究發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)，因?yàn)檫@是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)能力的重要途徑。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì);講授法;探究發(fā)現(xiàn)法

【作者簡(jiǎn)介】李麗娜，中學(xué)一級(jí)教師，淮北市濉溪縣城關(guān)中心學(xué)校;張昆，中學(xué)高級(jí)教師，博士，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)課程論、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)、數(shù)學(xué)史等。?人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)在第95頁至第104頁，以10頁的篇幅呈現(xiàn)了課題名稱為“直線和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)內(nèi)容，主要包含圓的切線的判定、圓的切線的性質(zhì)定理、圓的切線長(zhǎng)定理（教材注明為選學(xué)內(nèi)容），并相應(yīng)地配置了合適的例題與習(xí)題。教科書的材料內(nèi)容呈現(xiàn)合理，例題、習(xí)題的選擇典型、精當(dāng)，行文有力，有利于教師的施教與學(xué)生的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了人教版專家編制教科書的高格局、高水平，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。在此基礎(chǔ)上，筆者認(rèn)為關(guān)于圓的切線的基本作圖問題之一——“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”內(nèi)容理應(yīng)成為圓的知識(shí)點(diǎn)的一個(gè)拓展的教學(xué)內(nèi)容。

一、“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的教學(xué)價(jià)值

研究者認(rèn)為，教師在完成切線的判定定理教學(xué)內(nèi)容后，可以承接例1增加一個(gè)例2，向?qū)W生介紹“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的基本作圖問題。如果課堂教學(xué)時(shí)間充足，教師還可以探究發(fā)現(xiàn)的方式帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握基本作圖的一般步驟;如果課堂教學(xué)時(shí)間不充足，教師可以要求學(xué)生在課后自學(xué)。增設(shè)“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”教學(xué)內(nèi)容的主要依據(jù)主要體現(xiàn)在以下幾方面。

其一，加深對(duì)平面幾何基本圖形的認(rèn)識(shí)，建立幾何直觀。歐幾里得在著《幾何原本》時(shí)，特別重視基本作圖。他引進(jìn)的公理、公設(shè)、定理及其證明過程的圖形，都可以通過尺規(guī)（尺——沒有刻度的直尺，規(guī)——沒有特殊功能的圓規(guī)）作出圖形。無獨(dú)有偶，波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第一卷）》第一章“雙軌跡的模型”中，選擇了“第一，作已知三角形的外接圓;第二，作兩圓的公共切線;第三，給定三條中線，求作三角形”[1]三個(gè)典型的用尺規(guī)作圖的例子。透過這些數(shù)學(xué)家兼數(shù)學(xué)教育家對(duì)尺規(guī)作圖的重視，我們可以認(rèn)識(shí)到，平面幾何的基本作圖具有非常重要的意義。理在用中方知妙，學(xué)生通過平面幾何的基本作圖，可以認(rèn)識(shí)作圖工具，并借助作圖工具理解平面幾何理論知識(shí)，加深對(duì)平面幾何基本圖形的認(rèn)識(shí)，為母語、圖形語言、符號(hào)語言的認(rèn)識(shí)、發(fā)展與轉(zhuǎn)化奠定基礎(chǔ)，為積累嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀握Z言打下基礎(chǔ)，為證明較為復(fù)雜的幾何命題探究活動(dòng)提供感性材料，為添加輔助線、圖形語言與符號(hào)語言的表達(dá)與互譯創(chuàng)造條件[2]。

其二，有利于學(xué)生對(duì)自己的行為結(jié)果進(jìn)行反思。由于學(xué)生的基本幾何作圖成果可以通過他們?cè)诿浇樯狭粝碌闹庇^痕跡立即加以判斷，因此盡管這些直觀痕跡與探究平面幾何命題證明的思維活動(dòng)不完全一樣，但是偏向于“實(shí)踐操作—結(jié)論痕跡”的直截了當(dāng)過程，他們對(duì)作出的痕跡結(jié)果反饋是直接的，對(duì)所作出的留在媒介上的直觀痕跡是否符合作圖要求也具有一目了然的特點(diǎn)。學(xué)生對(duì)這些直觀痕跡可以通過邏輯推理加以檢驗(yàn)與驗(yàn)證。如果發(fā)現(xiàn)了其中某些環(huán)節(jié)具有缺陷或者錯(cuò)誤，他們會(huì)自覺重新思考，形成新的指導(dǎo)操作作圖工具的幾何觀念，修正其中的某些環(huán)節(jié)，得到正確的結(jié)論;或者另起爐灶，重新走一遍前述的作圖過程，直到獲得正確的作圖痕跡為止。

同樣，“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”基本作圖的有效正確操作，對(duì)于學(xué)生理解圓的切線性質(zhì)定理與判定定理具有極大的幫助。因此，教師應(yīng)將其作為一個(gè)拓展的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)。

二、“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”教學(xué)設(shè)計(jì)研究

由前述分析可知，“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”是“圓的切線的判定定理”教學(xué)內(nèi)容的自然發(fā)展，作為平面幾何基本作圖的一個(gè)有價(jià)值的知識(shí)點(diǎn)，理應(yīng)成為圓知識(shí)點(diǎn)的一個(gè)拓展教學(xué)內(nèi)容。在進(jìn)行這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)時(shí)，由于需要制作輔助圓，因此對(duì)于學(xué)生來講，并不是一件容易的事情。研究者探究了兩種課堂教學(xué)途徑，現(xiàn)摘要性地展示，供大家評(píng)判與參考。

教師甲將“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”作為鞏固新知識(shí)“圓的切線的判定定理”一個(gè)例題的課堂教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)（其中的省略號(hào)表示學(xué)生的思維中斷）。

師：剛剛學(xué)習(xí)的“圓的切線的判定定理”具有什么特征？

生1：具有兩個(gè)方面的結(jié)構(gòu)特征。其一，經(jīng)過半徑的外端;其二，并且垂直于這條半徑的直線。

師：下面請(qǐng)同學(xué)們看例1（PPT展示例1）。如圖1，已知⊙O2經(jīng)過⊙O1的圓心，⊙O2與⊙O1相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，直線O1O2交⊙O2于點(diǎn)P，求證：PA是⊙O1的切線。

師：要證明PA是⊙O1的切線，我們就要運(yùn)用生1所說的圓的切線的判定定理的結(jié)構(gòu)特征。如何利用這兩個(gè)特征解鎖證明的思路呢？

生2：由于點(diǎn)A是PA和⊙O1的公共點(diǎn)，因此我們只要證明點(diǎn)A到點(diǎn)O1的距離是⊙O1的半徑就行了。連接O1A，證明O1A垂直于PA就達(dá)到目的了。因?yàn)镺1P是⊙O2的直徑，故O1P所對(duì)的圓周角∠O1AP為直角，O1A是點(diǎn)O1到PA的距離，從而得到PA是⊙O1的切線。

師：讓我們一起反思這道證明題。老師再提出一個(gè)新問題（記為例2）。如圖2，已知⊙O1與⊙O1外一點(diǎn)P，求作⊙O1的切線。同學(xué)們?nèi)绾谓鉀Q這道作圖題？

生：……

師：大家仔細(xì)觀察圖1，并認(rèn)真研究例1的證明過程。這對(duì)解決例2有幫助嗎？請(qǐng)大家認(rèn)真思考，擬定例2的作圖步驟。

生3：第一步，連接O1P;第二步，取線段O1P的中點(diǎn)O2，以O(shè)2為圓心，以O(shè)2P的長(zhǎng)為半徑，畫⊙O2交⊙O1于點(diǎn)A和點(diǎn)B;第三步，連接PA。如此，PA是⊙O1的一條切線。

師：生3提供的作圖步驟正確嗎？如何判斷這個(gè)結(jié)論？

生4：正確。可以依據(jù)生3作圖所提供的條件，對(duì)“PA是⊙O1的一條切線”結(jié)論加以證明就可以了。這個(gè)證明過程就是生2所給出的證明過程。

教師甲通過分析學(xué)生對(duì)“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”發(fā)生認(rèn)識(shí)時(shí)的心理疑難，進(jìn)步分散難點(diǎn)。例1的證明活動(dòng)，一方面促使學(xué)生鞏固剛剛學(xué)習(xí)的“圓的切線的判定定理”，另一方面又以其為支持點(diǎn)，設(shè)計(jì)新問題（例2）促使學(xué)生認(rèn)識(shí)這個(gè)重要的基本作圖步驟。在教學(xué)的啟發(fā)下，從例1的證明中，學(xué)生獲得基本作圖步驟的分析活動(dòng)過程，教師也圓滿地完成了教學(xué)任務(wù)。

然而，這種教學(xué)設(shè)計(jì)也具有較大的缺點(diǎn)，在“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”教學(xué)活動(dòng)中，由于有例1的奠基，因此掩蓋了學(xué)生發(fā)現(xiàn)作圖步驟的思維活動(dòng)過程。這種發(fā)現(xiàn)作圖步驟的思維活動(dòng)過程極其重要，因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容，更是伴隨數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的產(chǎn)生，練就思維活動(dòng)的創(chuàng)造性。從分析信息開始，到確定問題的疑難所在，再到這個(gè)疑難是如何轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，或者創(chuàng)作新的數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)內(nèi)容，這些才是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)真正重要的地方。學(xué)生的這些數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)能力發(fā)展起來之后，才能形成自己的個(gè)性化數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。這種經(jīng)驗(yàn)比較容易遷移到今后面臨的新數(shù)學(xué)疑難問題中去，為解決新問題奠定基礎(chǔ)[3]。

為了研究“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”基本作圖的教學(xué)設(shè)計(jì)，研究者設(shè)計(jì)如下新的教學(xué)活動(dòng)。

師：如圖2，已知點(diǎn)P是⊙O1外一點(diǎn)。我們知道，過點(diǎn)P肯定存在與⊙O1相切的直線。請(qǐng)同學(xué)們思考，如何作出其中的一條切線？

生：……

師：我們?nèi)绾闻卸ㄟ^點(diǎn)P的一條直線是⊙O1的切線？

生1：這肯定要使用圓的切線的判定定理。對(duì)于圖2的作圖要求而言，要過點(diǎn)P引一條直線，使這條直線滿足兩個(gè)條件：一是所引的這條直線與⊙O1有交點(diǎn);二是把這個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)O1連接起來，同時(shí)使這條連線與所引的直線垂直，這個(gè)交點(diǎn)就是垂足。如此就可以判斷過點(diǎn)P所引的這條直線是⊙O1的切線了。

師：生1說得非常清楚。要想依據(jù)這個(gè)問題的條件作出合適的直線（過點(diǎn)P作⊙O1的切線），就要同時(shí)保證滿足這兩個(gè)條件。這是一件比較難以辦到的事情。大家對(duì)此有什么意見嗎？

生2：假定符合要求的那條切線已經(jīng)被我們找到（如圖3），那么它就滿足了兩個(gè)條件：一是點(diǎn)A在⊙O1上，為半徑O1A的外端點(diǎn);二是O1A⊥PA。

師：你們可否一個(gè)條件、一個(gè)條件地考慮？或者先考慮第二個(gè)條件作O1A⊥PA呢？

生3：由生2的提示，我們可以作一個(gè)以O(shè)1P為斜邊、以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的Rt△AO1P就可以達(dá)到目的?？上В乱徊轿也恢廊绾翁幚砹?。

師：大家開動(dòng)腦筋，認(rèn)真仔細(xì)地思考，如何作出Rt△AO1P呢？

生：……

師：在什么條件下，我們不用有意識(shí)地過直線外一點(diǎn)引這條直線的垂線，就可以自然而然地得到直角三角形呢？

生：……

師：大家可能受到了“直角是在直線的條件下產(chǎn)生的”思維定式的影響。現(xiàn)在我們將O1P連接起來（如圖4）。大家想到了什么？

生4：我想到了，只要以線段O1P為直徑作一個(gè)新的圓，就可以確?！螼1AP為直角了。

師：大家可以通過我們所使用的探究活動(dòng)過程所得到的結(jié)果，寫出“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的一般作圖步驟嗎？（下面回歸到教師甲的教學(xué)活動(dòng)所產(chǎn)生的作圖過程，如圖1）

以上教學(xué)設(shè)計(jì)是以研究者帶領(lǐng)學(xué)生在課堂展開探究活動(dòng)為主旨的。其前提條件是教師與學(xué)生進(jìn)行“心理換位”，揣摩與推測(cè)學(xué)生是如何思考問題的。在探究發(fā)現(xiàn)法中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)發(fā)生認(rèn)識(shí)時(shí)最重要的地方在于明確問題關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，然后針對(duì)這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，教師要捂住“包袱”，不要輕易抖開。因?yàn)檎窃谶@個(gè)地方需要教師誘發(fā)學(xué)生生成解決問題的數(shù)學(xué)觀念（例如，通過研究者的教學(xué)設(shè)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，在啟發(fā)學(xué)生作O1A⊥PA時(shí)，研究者使用了層層鋪墊、步步緊逼，使生4萌生了作“輔助圓”的數(shù)學(xué)觀念，從而比較好地發(fā)揮了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)價(jià)值;而在教師甲的教學(xué)設(shè)計(jì)中，他通過例1的證明活動(dòng)過程，將“輔助圓”的構(gòu)建過程和盤托出，使學(xué)生在產(chǎn)生這種新數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，失去培養(yǎng)學(xué)生萌生相應(yīng)的解決問題的數(shù)學(xué)觀念的機(jī)會(huì)，從而達(dá)不到了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)價(jià)值）。如此，在課堂教學(xué)活動(dòng)過程中，研究者通過不斷鋪墊與渲染，激起學(xué)生“接力”性地生成一個(gè)“序列”性的數(shù)學(xué)觀念。在這些數(shù)學(xué)觀念的指引下，學(xué)生合理操作圖形，找到了“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”基本作圖的一般性方法與步驟，徹底解決了問題。

三、兩種教學(xué)設(shè)計(jì)方法的簡(jiǎn)要評(píng)價(jià)及其合適的應(yīng)用場(chǎng)合

在前面行文的敘述中，教師甲的教學(xué)方法更傾向于講授法，而研究者所提供的教學(xué)方法更傾向于探究發(fā)現(xiàn)法。關(guān)于“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”基本作圖的這兩種教學(xué)設(shè)計(jì)皆有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)。教師甲的課堂教學(xué)效率高，通過增加例題量來彌補(bǔ)學(xué)生探究經(jīng)驗(yàn)的不足;研究者的教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)自不必言，但也有劣勢(shì)，那就是教學(xué)效率低，課堂教學(xué)的絕對(duì)時(shí)間量往往不夠用。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)的選擇中，關(guān)鍵的一項(xiàng)條件即教師面對(duì)的是具有怎樣學(xué)習(xí)心理特征（學(xué)習(xí)習(xí)慣、前任教師的教學(xué)方式產(chǎn)生的影響等）的學(xué)生?？傊軌蜻m應(yīng)學(xué)生心理發(fā)展的教學(xué)設(shè)計(jì)就是最好的教學(xué)設(shè)計(jì)。

當(dāng)面對(duì)的學(xué)生已經(jīng)養(yǎng)成獨(dú)立的學(xué)習(xí)習(xí)慣，且前任教師在自己的教學(xué)活動(dòng)中也非常注重培養(yǎng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方法，班級(jí)中已形成探究發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的氛圍，此時(shí)授課教師就應(yīng)該選擇研究者所提供的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)。當(dāng)面對(duì)的學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)能力比較差，也未養(yǎng)成很好的獨(dú)立學(xué)習(xí)習(xí)慣，且前任教師采用的教學(xué)方法大部分是傳授式的，班級(jí)中沒有形成探究發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的氛圍，此時(shí)授課教師選擇教師甲的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)，效果可能會(huì)更好。

雖然如此，但是授課教師還是要練就研究者所提供的教學(xué)設(shè)計(jì)途徑進(jìn)行教學(xué)，因?yàn)檫@是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)能力的重要途徑?！敖淌菫榱瞬唤獭币髮W(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，同步養(yǎng)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，同步發(fā)展數(shù)學(xué)能力，同步自己（而不是教師提供）萌生相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念，同步形成新鮮的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。但學(xué)生這種獨(dú)立學(xué)習(xí)的習(xí)慣、能力、觀念與經(jīng)驗(yàn)，都不是一蹴而就的，需要數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)的長(zhǎng)期影響，時(shí)時(shí)注意啟發(fā)，才有可能養(yǎng)成。

選擇研究者提供的這種教學(xué)設(shè)計(jì)途徑進(jìn)行教學(xué)，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在開始教學(xué)時(shí)可能有點(diǎn)不適應(yīng)。其一，在教學(xué)中，教師要以像“學(xué)生一樣的探索者”的身份出現(xiàn)，明明自己知道答案，卻要偽裝成不知道，明明掌握了問題的絕妙的解法，卻要隱忍于心、不講出來，讓學(xué)生思考，這對(duì)教師來說，是一件非常為難的事[4]。其二，這種課堂教學(xué)效率（產(chǎn)生知識(shí)量與教學(xué)時(shí)間的比率）較低，研究者在實(shí)際課堂教學(xué)時(shí)，為了促使學(xué)生萌生“輔助圓”這種數(shù)學(xué)觀念，用了將近十分鐘的時(shí)間，而且整個(gè)教學(xué)任務(wù)在當(dāng)堂課沒有完成，因此在評(píng)課時(shí)，很多教師認(rèn)為這樣做是得不償失的。其三，數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)的分析與學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)的心理環(huán)節(jié)的揣測(cè)更不是一件容易的事情。如果教師不能理解數(shù)學(xué)知識(shí)的某些特點(diǎn)所構(gòu)成的特定關(guān)鍵環(huán)節(jié)，不能準(zhǔn)確把握學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的心理活動(dòng)，就不可能恰到好處地設(shè)計(jì)學(xué)生探究活動(dòng)的環(huán)節(jié)，也不可能發(fā)揮探究發(fā)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)的真正價(jià)值[5]。因此，一線數(shù)學(xué)教師需要在這方面下一番苦功夫，提高認(rèn)識(shí)、轉(zhuǎn)變觀念、練就能力、吸收經(jīng)驗(yàn)，才能掌握探究發(fā)現(xiàn)模型的教學(xué)方法，以發(fā)揮數(shù)學(xué)課程資源的教育價(jià)值。

四、結(jié)語

“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的基本作圖問題應(yīng)該作為一個(gè)拓展的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)。因?yàn)樗鼘?duì)鞏固“圓的切線的判定定理”知識(shí)是一種非常好的材料;同時(shí)，它又是與圓的知識(shí)內(nèi)容相關(guān)的一項(xiàng)“基本作圖”（初中平面幾何的基本作圖問題為數(shù)不多），學(xué)生學(xué)習(xí)這一個(gè)教學(xué)內(nèi)容可以感受幾何作圖的思維方法;另外，它還是一項(xiàng)非常好的啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在施教“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的基本作圖知識(shí)點(diǎn)時(shí)，數(shù)學(xué)教師選擇的教學(xué)途徑應(yīng)該是研究者所提供的這種教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)此一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思之再思，慎之又慎！

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：第一卷[M].劉靜麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1979.

[2]張昆.“理性”與“實(shí)用性”：何長(zhǎng)何消——對(duì)平面幾何知識(shí)進(jìn)入義務(wù)教育課程的一些思考[J].課程·教材·教法，2007（8）：42-45.

[3]張昆.教材的結(jié)構(gòu)-功能分析方式探索：基于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的視角[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2017（6）：28-31.

[4]張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實(shí)現(xiàn)途徑[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（1）：33-37.

[5]張昆.整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的取向：基于知識(shí)發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2011（6）：52-55.