趙建輝

摘 要：極限思維法是物理學中一種常見的科學思維方法，在物理學研究和物理解題中有著廣泛的應用。在中學物理教學過程中，尤其是對一些運算比較的復雜物理問題的求解，極限思想有其特別的優(yōu)越性，往往可以化繁為簡、化難為易，并且在簡化解題過程的同時也提高了學生對物理知識和物理規(guī)律、方法的理解和掌握。

關鍵詞：極限思維;物理概念;物理過程

一、什么是極限思維？

《普通高中物理課程標準（2017年版）》中提出，發(fā)展學生的科學思維能力是重要的教學目標之一，物理學科核心素養(yǎng)中的“科學思維”就包括了模型建構、科學推理、科學論證和質疑創(chuàng)新四部分內(nèi)容，其中科學推理不僅包括了邏輯上的歸納推理、演繹推理和類比推理，而且還包括分析與綜合、抽象與概括、比較與分類等思維模式，而極限思維又是屬于科學推理中常見又重要的一種思維模式，高中階段的學生應能正確理解和應用此類思維方法。

極限思維是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學方法，是微積分的基本方法。在物理問題中，經(jīng)常會遇到一個包含了多個子過程的復雜的大過程，如果把這個復雜的物理全過程分解成幾個子過程且這些子過程是單調變化的，那么選取全過程的兩個端點及中間的奇變點來進行分析，其結果必然包含了所要討論的物理過程，從而能使問題解決，這就是極限的思維方法。

能夠采用極限法分析的物理過程必須是相關物理量是單調變化的，即該物理量隨某個變量是增函數(shù)或減函數(shù)，否則無法應用極限法分析。

按照連續(xù)性原理，把研究的現(xiàn)象或物理過程外推到理想的極限值上加以考慮，使主要因素或問題的本質暴露出來，從而得出正確結論，這種極限方法在物理學的發(fā)展和物理問題的研究中往往能獨辟蹊徑、化繁為簡、化難為易，從而達到事半功倍的作用。

二、極限問題的分類

按照物理過程中研究的相關物理量（即數(shù)學函數(shù)中自變量）的變化特點，可把用極限思維法解決的問題分為“無限”問題和“定值”問題。

1、“無限”問題

無限”包括“無限小”和“無限大”兩種情況，即物理過程中相關物理量的變化達到“無限小”和“無限大”，亦即“0”與∞”。它是一個理論上的概念，利用它下的定義恰當、確切，但實際上不能達到，是理想化。解決實際問題中，分別以不同的有限作為無限來處理，往往可以除去一些次要因素，從而使復雜問題簡化，主要因素更明顯和突出。

在物理學的發(fā)展中，“無限”的極限思維法有著廣泛的應用。

（1）在物理概念的引入上：

①運動物體在某時刻運動參量的即時值其定義就是物體在該時刻附近的平均值，當時間趨于零（無限?。r的極限值。如：瞬時速度v=，瞬時加速度a=。

【案例1】圓周運動中向心加速度公式的推導。

如圖所示，質點沿半徑為r的圓周做勻速圓周運動，線速度大小為v，某時刻質點位于M點，經(jīng)過時間，質點運動到N點，這個過程中速度變化量為，根據(jù)加速度的定義可知質點在這段時間內(nèi)的平均加速度為：，當時間趨于零時，圖中的也趨近于零，這時可近似認為弧MN=弦MN，即：，同理：，聯(lián)立可得：，即推導出向心加速度大小的表達式。

②電磁感應中感應電動勢平均值當時間間隔趨于零（無限小）時的極限值即為感應電動勢的瞬時值，即：e=，從而建立動生電動勢和感生電動勢的聯(lián)系。

（2）在物理過程的分析上

①定義運動形式

勻速直線運動、勻變速直線運動、勻速圓周運動等都是指在相等時間內(nèi)某個量（如位移、速度變化量、弧長等）的變化量相等。這就要求對“相等時間”不能有任何限制，包括“無限短”在內(nèi)的“任意相等時間”，某個量的變化都相等。但這只是理論上的要求，對于具體的運動，依據(jù)運動的不同情況及研究的不同要求確定一個“足夠短”的時間取代“無限短”。如研究短跑運動時，選確度為0.01秒的計時器，則在每0.01秒內(nèi)位移相等，即認為是勻速運動。

②研究過程的變化

著名的伽利略的理想實驗：如圖所示，兩個對接的斜面，讓靜止的小球沿一個斜面滾下，小球將滾上另一斜面， 如果沒有摩擦，小球將上升到釋放時的高度。對這個問題進行極限拓展可以得到，繼續(xù)減小第二斜面的傾角，小球要經(jīng)過更長的距離才能回到原來的高度，最后使它變成水平面，小球沿水平面做持續(xù)的勻速運動。

開爾文把理想氣體的等容變化外推到壓強無限小即壓強為零這極限值，而引入了熱力學溫標，并確定低溫的極限值;

萬有引力、庫侖力、分子力均隨距離增大而減小，當兩個物體（或兩個電荷、兩個分子）相距無限遠時，相互作用力為零，其對應勢能也通常視為零。但在實際問題中，常有個習慣范圍，超過此范圍，相互作用力視為零，勢能也為零。

用伏特表直接測電動勢時，可以設想在電源兩端接一電阻，伏特表并聯(lián)在電阻兩端測電壓，當電阻阻值逐漸增大趨于無限大時，則形成斷路，可看作伏特表與正、負極間的“空氣柱”并聯(lián)，測得的是這個“無限大”電阻上的電壓，即電源電動勢，這樣可以剔除對伏特表用法上的模糊認識。

【案例2】將質量為2m的長木板靜止地放在光滑的水平面上，如圖（a）所示，一質量為m的小鉛塊（可視為質點）以水平初速度v由木板左端恰能滑至木板的右端與木板相對靜止，鉛塊運動中所受的摩擦力始終不變。現(xiàn)將木板分成長度與質量均相等的兩段1、2后緊挨著仍放在此水平面上讓小鉛塊仍以相同的初速度v由木板1的左端開始滑動，如圖（b）所示，則下列說法正確的是（ ）

A。小鉛塊仍滑到與木板2的右端保持相對靜止;

B。小鉛塊滑過木板2的右端后飛離木板;

C。小鉛塊滑到木板2的右端前就與之保持相對靜止;

D。（b）過程產(chǎn)生的熱量少于（a）過程產(chǎn)生的熱量

解析：小鉛塊在木板上滑動時，由于水平面是光滑的，小鉛塊和木板組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，木板的質量越大，小鉛塊在木板上滑行的距離越大，若是木板的質量無窮大，則鉛塊最終的速度為零，其動能全部轉化為熱，而沒有動能轉移到木板上，這說明了長木板的質量越大，獲得的動能越小;質量越小，獲得的動能越大，在（b）圖中小鉛塊在木板1上運動時的情況與（a）中的情況完全相同，小鉛塊滑上木板2后，由于木板2的質量變小，移到木板2上的動能多于（a）中的情況，那么小鉛塊與木板2相對靜止時的速度比（a）中的大，系統(tǒng)損失的動能小于（a）中損失的動能。此過程中損失的動能全部轉化為熱，故小鉛塊滑到木板2的右端前就與之保持相對靜止，（b）過程產(chǎn)生的熱量少于（a）過程產(chǎn)生的熱量，所以選項C、D正確。

【案例3】將一標有“6.0V，3.0w樣的小燈泡甲接到某字源兩端時，小燈泡恰好正常發(fā)光。如果將另一標有“6.0V，6.0W電字樣的小燈泡乙接在同一電源上時，實際的功率可能為（）（設電源的電動勢、內(nèi)阻均為定值，小燈泡燈絲電阻隨溫度的變化忽略計）

A.1.0W B.2.0W C.5.5W D.8.0W

解析：本題如果采用常規(guī)解法，則過程如下：根據(jù)條件可求出兩燈泡工作電阻分別為R1=12.0Ω，R2=6.0Ω，電源電動勢E、內(nèi)阻r與燈泡相連，其輸出功率為：

接乙燈泡時有：，其中P1、R1、R2均已知。

設r≈0，則得P2=6.0W;若當r>>R1、R2時，則有：

即乙燈泡實際功率可能在1.5W～6.0W之間。

若采用極限思維進行分析，則是：若電源換接燈泡乙時，電源的路端電壓、輸出電流的變化，決定于電源電動勢E和內(nèi)電阻r，為求出此時小燈泡乙消端情耗的實際功率范圍，我們可以根據(jù)E、r搭配方式中的兩種極端情況進行推理：

①假設電源理想情況r→0，這時電源路端電壓等于電動勢，則：U2=6.0V，這是恒壓源情況，此時P2=6.0W（額定功率）。

②假設r→∞，此時電路中電流為一定值，這是恒流源情況，接入乙燈泡時，電路中電流為0.50A，故乙燈泡消耗的實際功率為：1.5W?？芍x項BC正確。

2、“定值”問題

“定值”是指被研究的物理過程中相關物理量的變化可以達到或趨近某一確定的值，它可以是過程的端點，也可能是奇變點，通過物理過程的極端分析暴露問題的實質，從而得出正確的結論。

例如：從高山上平拋物體，發(fā)現(xiàn)平拋速度越大物體落點越遠，那么當平拋初速度增大到一定值時物體就會落到無限遠處，也就是物體不落回地球，其運動軌跡將與地球表面平行而做圓周運動成為衛(wèi)星。

再比如：研究凸透鏡成實像，物像間距的變化時即可采用極限法：當物趨近焦點f或無限遠處時，物像間距可視為無窮大，而當物距為2f時物像間距確定值為4f，此時達最小值。這樣物體當物距逐漸減小（開始時物距很大），物像間距將先減小后增大，這里u=2f即為物像間距的奇變點，這種奇變點分析還有很多，如分子間距改變時分子勢能的變化等。

【案例4】如圖所示，甲、乙兩個光滑斜面的高度相同，乙斜面的總長度與甲斜面的長度相等，只是由兩部分組成（先傾角大后傾角?。瑢蓚€相同的小球從兩斜面頂端由靜止同時釋放，不計乙斜面拐角處能量損失，哪個小球先到達底端？

解析：此題中兩個斜面的不同點就是乙斜面由兩部分組成，但是可以把甲斜面看作乙斜面的特例，也就是將乙斜面兩部分分界處的夾角θ看成是在180°與90°之間變化，當θ=180°時就是甲斜面，當θ=90°時就是圖丙所示的情形了。由（甲）圖可得：又：

對比以上兩個結果，由于L>h，所以t1>t，而圖乙是中的一個連續(xù)變化點，故乙球先到達底端。

本題應用常規(guī)的方法確定兩物體運動時間關系是比較困難的。但是對于乙斜面中兩部分交界處的夾角θ可看作在180°與90°之間變化，然后取其極端“定值”即90°、180°確定時間關系，再根據(jù)連續(xù)變化原理，就可得出中間點（乙）圖的時間了，從而使本題順利求解。由此看出，采用極限分析法要求物理量或過程的連續(xù)變化。

三、小結

在高中物理教學和解題中，經(jīng)常會涉及到極限思維，極限思維的實用性在于抓住題干中某個過程的奇變點和兩端的定位，選取某個變化的物理量，按照物理過程的變化將該物理量推到極限情況，從而可以把隱蔽的各種可能性或者臨界狀態(tài)暴露出來，使得問題明朗化，物理解題趨于簡單化和簡潔化，學生能夠從復雜的物理情境中尋找到正確的價值信息、解答方法，從而應用極限思想法進行分析、推理、解題。

參考文獻

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