陳金飛

摘要：數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系。只有從知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)出發(fā)，將知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，使各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生的大腦中連成線、織成網(wǎng)，形成“知其然更知其所以然”的狀態(tài)，才能展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)有的深刻與靈動(dòng)?！爸切哉n堂”是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種具體實(shí)踐方式，它從創(chuàng)設(shè)適切的問(wèn)題情境、整體把握數(shù)學(xué)課程、抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)展開教學(xué)、提供深入探究和思考的機(jī)會(huì)、捕捉數(shù)學(xué)教育中的核心價(jià)值五個(gè)方面來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：智性學(xué)習(xí);智性課堂;數(shù)學(xué)聯(lián)系;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到底應(yīng)該用何種學(xué)習(xí)方式？“智性學(xué)習(xí)”的倡導(dǎo)者英國(guó)教育心理學(xué)家斯根普認(rèn)為，最有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是注重“數(shù)學(xué)聯(lián)系”的學(xué)習(xí)。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特也認(rèn)為，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系，只有從知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)出發(fā)，將知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，使各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生的大腦中連成線、織成網(wǎng)，形成“知其然更知其所以然”的狀態(tài)，才能展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)有的深刻與靈動(dòng)，這亦是“智性學(xué)習(xí)”的精髓所在。實(shí)際上，這種教學(xué)理念，跟時(shí)下最熱門的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心思維，提升數(shù)核心素養(yǎng)的要求，是相一致的。

作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種具體實(shí)踐方式，在課堂教學(xué)中，與“智性學(xué)習(xí)”的方式所對(duì)應(yīng)的“智性課堂”需要從五個(gè)方面來(lái)使學(xué)生實(shí)現(xiàn)“智性學(xué)習(xí)”。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的“智性課堂”，要求教師要善于根據(jù)具體教學(xué)要求創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法，開展自主探究和合作探究，使學(xué)生經(jīng)歷在其中，感悟數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程以及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而主動(dòng)解決相應(yīng)的隋境任務(wù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，蘇教版教材中“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”這一部分內(nèi)容，是直接引導(dǎo)學(xué)生從“倍數(shù)關(guān)系”中去理解，這與“分?jǐn)?shù)是在度量、分物時(shí)不能正好得到整數(shù)的結(jié)果而產(chǎn)生”的事實(shí)相違，與“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)也脫節(jié)。學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，不知道分?jǐn)?shù)還可以表示具體的數(shù)量，到認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)，教材憑空出現(xiàn)了“1米的3/10是2/10米”，而學(xué)生不懂“1/10米”所表示的含義，這就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)十進(jìn)分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系很難理解。鑒于此，我創(chuàng)造了一個(gè)以物換物的情境：2條魚換一塊肉，那么一條魚可以換多大的一塊肉？學(xué)生發(fā)現(xiàn)用學(xué)過(guò)的整數(shù)已不能表示，就很自然地要去創(chuàng)造一個(gè)新的數(shù)來(lái)表達(dá)。在物物交換的調(diào)整中，我讓學(xué)生領(lǐng)悟以下三個(gè)問(wèn)題：新的數(shù)為什么偏偏叫“分?jǐn)?shù)”？產(chǎn)生新的數(shù)為什么首先要“平均分”？為什么新的數(shù)偏偏叫“幾分之幾”？學(xué)生弄明白了這幾點(diǎn)，也就抵達(dá)了知識(shí)的本質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

現(xiàn)行各版本的教材普遍采用了“分步實(shí)現(xiàn)，螺旋上升”的原則來(lái)編排教學(xué)內(nèi)容，這既有利也有弊。一方面，適當(dāng)?shù)穆菪浇Y(jié)構(gòu)，可以很好地滿足不同發(fā)展階段學(xué)生的課程需求，符合學(xué)生思維發(fā)展的階段性與理解水平的階段性的現(xiàn)實(shí)要求;但另一方面，客觀上造成了教學(xué)中過(guò)分關(guān)注一個(gè)個(gè)分散、零碎的“知識(shí)點(diǎn)”，很少去關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系和發(fā)展。學(xué)生如果按照這種體系來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，他們很難明白所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)單元、整冊(cè)教材，乃至整個(gè)教材體系中的地位和作用，這將不利于學(xué)生知識(shí)的提取和能力的提升。鄭毓信教授曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)?！边@顯然是要求數(shù)學(xué)教師不但要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，更應(yīng)重視溝通知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系?！爸切詫W(xué)習(xí)”的課堂，要求教師必須高屋建瓴，整體、有序地把握教材體系，了解每個(gè)“知識(shí)點(diǎn)”在整個(gè)學(xué)習(xí)系統(tǒng)中所處的地位和作用，把每堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)放在整個(gè)教學(xué)體系的視野中來(lái)設(shè)定，引導(dǎo)學(xué)生理清教材的知識(shí)層次，重視知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，達(dá)到“既見樹木，又見森林”的教學(xué)效果。

例如，在學(xué)習(xí)了面積單位“公頃和平方千米”之后，從建構(gòu)系統(tǒng)的角度出發(fā)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生整理出已經(jīng)學(xué)過(guò)的5個(gè)面積單位的關(guān)系圖，有了這樣的整理，學(xué)生就可以比較輕松地實(shí)現(xiàn)面積單位之間的轉(zhuǎn)換。在圖1中，相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率大多是100，唯有平方米和公頃之間。為什么完美的“規(guī)律”被打破了？不妨聯(lián)系長(zhǎng)度單位來(lái)理解。長(zhǎng)度單位“厘米、分米、米”之間的進(jìn)率是10，而千米與米之間的進(jìn)率是1000，為什么會(huì)出現(xiàn)這種跳躍？原來(lái)，在米和千米之間省略了生活中很少用到的十米、百米這兩個(gè)長(zhǎng)度單位。如果將這兩個(gè)長(zhǎng)度單位編排進(jìn)長(zhǎng)度單位結(jié)構(gòu)圖中，學(xué)生就會(huì)容易理解長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率了。

由長(zhǎng)度單位生發(fā)出對(duì)應(yīng)的面積單位“平方厘米、平方分米、平方米、公畝、公頃、平方千米”，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)面積單位進(jìn)率都是100。之所以出現(xiàn)“平方米”和“公頃”之間的進(jìn)率是10000，原因是在平方米和公頃之間省略了一個(gè)面積單位“公畝”。如果將公畝編排進(jìn)面積單位結(jié)構(gòu)圖中，學(xué)生就會(huì)更容易地理解面積單位之間的進(jìn)率，也能很好的溝通長(zhǎng)度單位與面積單位之間的聯(lián)系，還易于生長(zhǎng)出體積單位。這樣，把長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位構(gòu)建成一個(gè)系統(tǒng)，會(huì)易于學(xué)生在系統(tǒng)中感受整體，在結(jié)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)建構(gòu)。

教師把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，是引導(dǎo)學(xué)生感知知識(shí)本質(zhì)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提。抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)展開教學(xué)，可以幫助師生從紛雜的概念、法則、定理、公式中跳出來(lái)，站在更高的位置上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，在對(duì)面積概念的理解的教學(xué)中，很多教師組織學(xué)生摸黑板的面、摸書本的面，然后說(shuō)有的大，有的小，這就是面積。即使就是生活中，大小也不是這個(gè)意思，比如說(shuō)“你去看看那個(gè)房間的大小”，這里的大小顯然是指房間的占地面積有多少平方米。

因此，教師完全可以從“量”的角度一所求面積中含有多少個(gè)單位面積去引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)面積的意義。這樣一來(lái)，就從更高的層面使學(xué)生達(dá)成了對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)關(guān)注，將線段、面積、體積的度量統(tǒng)一為用數(shù)來(lái)表示“量”的大小，度量線段的長(zhǎng)短需要確立單位“1”——長(zhǎng)度單位。同樣，度量面積的大小、體積的大小也就是單位“1”的確定。

積極思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中最有價(jià)值的學(xué)習(xí)方式，聽講、動(dòng)手是為了更好地幫助自己思考，交流是為了更好地啟迪自己思考。從一定意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)課就是學(xué)習(xí)如何思考，而學(xué)習(xí)路徑就是在思考中學(xué)習(xí)思考，這就如同只有在下水游泳中才能學(xué)會(huì)游泳是一樣的道理。

例如，在執(zhí)教“圓的面積”一課時(shí)，我沒有直接把計(jì)算公式灌輸給學(xué)生，而是放手讓學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上，自然地生成面積計(jì)算公式。課始，我先讓學(xué)生回顧以前學(xué)過(guò)的平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法，他們發(fā)現(xiàn)這些圖形都是由線段圍成的，都是用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。而圓偏偏是個(gè)曲線圖形，最直覺的方法便是“去曲成直”，學(xué)生很自然地把圓中曲的部分剪去或折去。這樣的處理，問(wèn)題顯而易見，改變了原有圖形的面積，所以“去曲成直”不可取。學(xué)生在心中很自然地會(huì)產(chǎn)生這樣的想法：把圓剪開試試。有的學(xué)生把圓四等分后，發(fā)現(xiàn)能拼出一個(gè)近似平行四邊形，只是底邊太彎曲。怎樣讓底邊變得“直”一些？一些學(xué)生受“折”的啟發(fā)，認(rèn)為如果繼續(xù)分割，底邊會(huì)變得更“直”。在多媒體演示不斷細(xì)分的圓片后，他們發(fā)現(xiàn)得到的其中一份圖形越來(lái)越趨近于一根線。這樣，他們思維的障礙就獲得了突破：圓之所以能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，是因?yàn)橛删€拼成的圖形，它的底邊自然變“直”了。學(xué)生從“把彎曲的部分折（剪）掉就變成直的”，到“折著折著，弧度就有點(diǎn)變直了”，再到“分的份數(shù)越多，每塊圖形越來(lái)越像一根線，線的話是沒有弧度了”，經(jīng)歷了一個(gè)“直觀的極限過(guò)程”—在觀察“有限分割”的基礎(chǔ)上想象“無(wú)限分割”，根據(jù)拼成圖形的變化趨勢(shì)去想象它們的終極狀態(tài)。從中學(xué)生領(lǐng)悟到：“將圓無(wú)限分割后拼成的才是真正的長(zhǎng)方形?！睆摹皥A的面積”的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，只有為學(xué)生提供充分的數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)思考的機(jī)會(huì)，才能讓學(xué)生感悟到“無(wú)限分割，化曲為直”的數(shù)學(xué)思想，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還需要了解數(shù)學(xué)的歷史，了解數(shù)學(xué)的發(fā)展，了解數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的作用。透過(guò)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，透過(guò)人類認(rèn)識(shí)的提升發(fā)展可以使我們更好地把握學(xué)生認(rèn)識(shí)提升的關(guān)鍵點(diǎn)。

例如，在“平均數(shù)”的教學(xué)中，通過(guò)梳理歷史我發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)概念的發(fā)展主要經(jīng)歷了三個(gè)階段：用中等數(shù)據(jù)估計(jì)總數(shù)、用全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)來(lái)減少誤差、用全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為總體水平的代表值。在梳理數(shù)學(xué)史的過(guò)程中，我受到啟發(fā)：在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該把大數(shù)估計(jì)問(wèn)題作為學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，通過(guò)教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生再現(xiàn)這種方法，以培養(yǎng)他們對(duì)平均數(shù)的直覺能力。從學(xué)生的認(rèn)知水平來(lái)看，學(xué)生對(duì)于理解平均數(shù)作為總體水平的代表值有困難，因此，我就把這個(gè)問(wèn)題作為了本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。我創(chuàng)設(shè)了“三年級(jí)二班參加套圈比賽”的情境，把學(xué)生分成兩組，一組為男生，一組為女生，并進(jìn)行了兩次比較。第一次，雙方人數(shù)相等，比總數(shù);第二次，女生比男生多1人，引導(dǎo)學(xué)生尋找代表值。這時(shí)女生的三個(gè)數(shù)據(jù)相同，男生的兩個(gè)數(shù)據(jù)不同，學(xué)生自然產(chǎn)生了勻平的想法，平均數(shù)意識(shí)在此時(shí)就萌發(fā)了。我再出示三年級(jí)三班的比賽情況，由于雙方人數(shù)、每個(gè)選手的比賽成績(jī)各不相同，這時(shí)學(xué)生自然就產(chǎn)生了用平均數(shù)作為代表值的想法。