陳麗娜

摘要：“一題多解”是立足不同角度，辯證分析問(wèn)題，綜合解決問(wèn)題的有效方法，契合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理念，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新思維、提高教學(xué)成效有重要作用。但是，“一題多解”核心不在于拼湊解題方法，而在于既要構(gòu)建思維體系，按圖索驥求解，又要突破思維定式，獨(dú)辟蹊徑創(chuàng)新，形成既有“套路”又有“出路”的良好格局。本文以一道幾何題為例，談?wù)勅绾蝿?chuàng)新教學(xué)實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：一題多解;創(chuàng)新思維;思維定式

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，我發(fā)現(xiàn)中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)普遍存在“三會(huì)三不會(huì)”現(xiàn)象，即會(huì)死記硬背，不會(huì)活學(xué)活用，習(xí)慣于見(jiàn)過(guò)做過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)見(jiàn)過(guò)做過(guò)的基本不會(huì);會(huì)死搬硬套，不會(huì)融會(huì)貫通，習(xí)慣于套用公式，稍有變通就錯(cuò)漏百出;會(huì)囫圇吞棗，不會(huì)真學(xué)真懂，習(xí)慣于答案抄了，錯(cuò)題改了，下次碰到照錯(cuò)不誤。這種機(jī)械化學(xué)習(xí)，容易挫傷學(xué)習(xí)積極性，陷入“讀書(shū)死-死讀書(shū)”的惡性循環(huán)，甚至形成談“數(shù)”色變的心理陰影。要克服“舊題不熟、新題不會(huì)、變通不行”的機(jī)械化學(xué)習(xí)，推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)由死記硬背、題海戰(zhàn)術(shù)式的應(yīng)試教育向融會(huì)貫通、舉一反三的素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，重點(diǎn)在于既要構(gòu)建思維體系，按圖索驥求解，又要突破思維定式，獨(dú)辟蹊徑創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)習(xí)成效。

“一題多解”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法，對(duì)啟發(fā)創(chuàng)新思維、鞏固教學(xué)成效有著重要作用。《中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)要引導(dǎo)學(xué)生自主探索、自主創(chuàng)新，努力培養(yǎng)創(chuàng)新能力，鼓勵(lì)開(kāi)展啟發(fā)性、發(fā)散式教學(xué)。然而，當(dāng)前“一題多解”文章大多局限于羅列解題方法，有的羅列五、六種甚至十幾種解法，好像“誰(shuí)解法多，誰(shuí)就能力強(qiáng)、水平高”，有些解法明顯東拼西湊，濫竽充數(shù)，創(chuàng)新啟發(fā)不夠。因此，我們要辯證看待“一題多解”，既要梳理常規(guī)思路，順藤摸瓜，又要突破思維定式，另辟蹊徑。本文以一道幾何題為例，將“一題多解”向“一題多思”延伸，努力實(shí)現(xiàn)既有“套路”又有“出路”的教學(xué)實(shí)踐。

例題：如圖1所示，在△ABC中，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，AE⊥BC，AE交CD于點(diǎn)F，若CE=BD，∠B=60°，求證：DF=CF。

套路一：幾何證明法

幾何證明法關(guān)鍵在于構(gòu)建全等或相似圖形，運(yùn)用相關(guān)定理判斷線線之間或夾角之間的關(guān)系。有時(shí)，現(xiàn)有條件無(wú)法直接構(gòu)建全等或相似圖形，可通過(guò)輔助線構(gòu)建全等或相似圖形。常見(jiàn)輔助線大體分為三類(lèi)：平行線、延長(zhǎng)線、等分線。

方法一：作“平行線”，構(gòu)建全等或相似圖形

解法一：過(guò)D做DG∥BC交AE于G，在△ABE中證明DG=BE，并證明△FGD≌FEC，得DE=DC。

解：過(guò)D做DG∥BC交AE于G，如圖2所示

∵DG∥BC，AE⊥BC，D為AB中點(diǎn)，∠B=60°

∴DG=BE，BD=BE

∵CE =BD，∴DG=CE，

∵DG∥BC ∴∠FDG=∠FCE

又∵DG=CE，∠DFG=∠CFE

∴△FGD≌FEC，則DF=CF。

方法二：作“延長(zhǎng)線”，構(gòu)建全等或相似圖形

解法二：延長(zhǎng)AE于G，使得CG∥AB，構(gòu)造△EAB∽△EGC，證明CG=AB，得CG=AD，再證明△ADF≌△GCF，得 DF=CF。

解：延長(zhǎng)AE于G，使得CG∥AB，如圖3所示

∵AE⊥BC，D為AB中點(diǎn)，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

∵CE =BD ∴CE =BE

∵CG∥AB，∴△ABE∽△GCE，

又∵CE =BE，∴CG=AB=AD

∵CG∥AB，∴∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠FGC

∴△ADF≌△GCF，則DF=CF

解法三：延長(zhǎng)CD于G，使得BG∥AE，通過(guò)構(gòu)造△DAF≌△DBG得FD=DG，因?yàn)椤鰿EF∽△CBG，得DF=CF。

解：延長(zhǎng)CD于G，使得BG∥AE，如圖4所示

∵D為AB中點(diǎn)，∴AD=BD

∵BG∥AE ∴∠FAD=∠GBD

∵∠FDA=∠GDB

∴△DAF≌△DBG，DF=DG=GF

∵AE⊥BC，D為AB中點(diǎn)，∠B=60°

∴BD=BE

又∵CE =BD ∴CE =BE

∵BG∥AE

∴△CEF∽△CBG，則CF =GF=DF。

方法三：作“等分線”，構(gòu)建全等或相似圖形

解法四：延長(zhǎng)BA至G，使得GA=AD，通過(guò)平行線等分線段定理證明AE∥CG，又因?yàn)锳為GD 中點(diǎn)，得F為CD中點(diǎn)。

解：延長(zhǎng)BA至G，使得GA=AD，如圖5所示

∵D為AB中點(diǎn)，∴GA=GB

∵AE⊥BC，D為AB中點(diǎn)，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

∵CE =BD ∴CE=BE=BG

∵GA=BG，CE=BG

∴.AE∥CG

∵GA=AD∴CF=FD

套路二：代數(shù)求解法

代數(shù)求解法關(guān)鍵在于將線長(zhǎng)與夾角用代數(shù)表示，通過(guò)比較確定相互關(guān)系。在構(gòu)建代數(shù)關(guān)系時(shí)要用輔助線構(gòu)建全等或相似圖形。以下以作平行線為例進(jìn)行說(shuō)明，其他輔助線參照使用。

方法四：作平行線，構(gòu)建代數(shù)關(guān)系式

解法五：過(guò)D做DG∥AE交BC于G，設(shè)CE= x，則CE=EG=GB= x 。利用直角三角形性質(zhì)計(jì)算各線數(shù)值。

解：過(guò)D做DG∥AE交BC于G，如圖6所示

設(shè)CE= x，

∵DG∥AE，D為AB中點(diǎn)，

∴BG=EG=BE

∵AE⊥BC，D為AB中點(diǎn)，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

∵CE =BD

∴CE=BE=EG，則AD=BD=2CE=2x，CE=EG=BG=x

在Rt△BDG中，∠B=60°，BD=2x，BG=x ∴DG= x

在Rt△CDG中，CG=2x ，DG= x ∴CD= x ，

又∵DG∥AE，CE=EG

在Rt△CEF中 ，EF=DG=x，CE=x

∴CF=x=CD，則CF=FD

出路法：反證法

當(dāng)遇到代數(shù)求解或幾何證明都行不通或很繁瑣時(shí)，可另辟蹊徑，用反證法尋找矛盾，反證假設(shè)的不合理性。利用反證法時(shí)可用輔助線尋找矛盾。以下作平行線進(jìn)行說(shuō)明。

方法五：作平行線，尋找矛盾關(guān)系

解題六：過(guò)F做FG∥AB交BC于G，假設(shè)CF≠DF，利用相似三角形性質(zhì)證明CG=BG，進(jìn)而證明CF=DF，說(shuō)明假設(shè)不成立。

解：過(guò)F做FG∥AB交BC于G，如圖7所示

假設(shè)CF≠DF

∵FG∥AB，∴G不是BC中點(diǎn)，即CG≠BG，

設(shè)CE=a，EG=b，BG=c，

∵AE⊥BC，D為AB中點(diǎn)，∠B=60°

∴AD=BD=BE，

同理，在Rt△EFG中，F(xiàn)G=2EG=2b

∵CE=BD

∴CE=BE，則BD=BE=2a，b+c=2a ①

∵FG∥AB，所以△CFG∽△CDB，則

=，即= ②

由①②可知，a=2b，c=3b

∴a+b=c，即CG=BG

∵FG∥AB ∴CF=DF與假設(shè)矛盾，則假設(shè)不成立，即CF=DF

以上羅列的只是部分解題方法，起到拋磚引玉作用。本文重點(diǎn)不在于羅列所有解題方法，而在于既梳理常規(guī)解題的思維體系，又尋求突破思維定式的特殊技巧，不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想、創(chuàng)新思維，從本質(zhì)上、宏觀上理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵，規(guī)避題海戰(zhàn)術(shù)，提高教學(xué)成效。只要在教學(xué)實(shí)踐中注重培育創(chuàng)新思維，由積累解題方法向構(gòu)建思維體系上轉(zhuǎn)變，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、思維層次、學(xué)習(xí)成績(jī)就能有一個(gè)質(zhì)的飛躍。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱天元，王輝，許定璜.初中數(shù)學(xué)一題多解大全[M].湖北教育出版社，2010.8.

[2]高保明.數(shù)學(xué)教學(xué)與科學(xué)思維能力培養(yǎng)[M].北京：北京教育出版社，2009.