劉驤

摘 要：在文章詳細(xì)記述了余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)及其過(guò)程。通過(guò)提出實(shí)際問(wèn)題—聯(lián)系舊知—得出新知。設(shè)計(jì)此教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：解三角形;余弦定理;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

教學(xué)內(nèi)容為《數(shù)學(xué)（必修5）》（蘇教版）第1章“解三角形”第2節(jié)“余弦定理”。本課作為章節(jié)的起始課，是在學(xué)生已學(xué)的解直角三角形、三角函數(shù)、向量和正弦定理等知識(shí)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)并證明余弦定理。

教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理，啟發(fā)學(xué)生由向量數(shù)量積的多種解法。讓學(xué)生體會(huì)定性與定量、特殊與一般等思想方法。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)研究三角形與三角函數(shù)、向量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理;

教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明。

教學(xué)難點(diǎn)：用向量法推導(dǎo)余弦定理。

1 教學(xué)引入

問(wèn)題1：在一個(gè)湖中有兩個(gè)與陸地相臨但彼此不相接的半島，如何求這兩個(gè)半島間的直線距離？

【設(shè)計(jì)意圖】

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)測(cè)量直線距離進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，構(gòu)造以陸地、小島為頂點(diǎn)的三角形中，將該測(cè)量情境轉(zhuǎn)化為“已知三角形中的兩條邊及其夾角，求另外一條邊”的問(wèn)題。

這個(gè)題學(xué)生很容易解決，即轉(zhuǎn)化為：在△ABC中，已知AC=b，AB=c和角A，求a。

問(wèn)題2：回顧一下你所學(xué)的知識(shí)，如何解決這個(gè)問(wèn)題？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過(guò)正弦定理（正弦定理可解決一類是已知兩角及其一邊解三角形;另一類是已知兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形的問(wèn)題），但用這種方法解決該問(wèn)題的過(guò)程很繁雜。

2 教師引導(dǎo)，聯(lián)系舊知

問(wèn)題3：從該題所涉及的三角形看（已知三角形的兩條邊長(zhǎng)及其夾角），我們?cè)谀膬阂?jiàn)過(guò)類似的條件？

【設(shè)計(jì)意圖】用類比已知條件的方式讓學(xué)生回憶平面向量數(shù)量積的相關(guān)問(wèn)題。利用向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重特性”，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系。

在例題的板演環(huán)節(jié)，有針對(duì)性地請(qǐng)了兩名學(xué)生，比較了他們?cè)谇蠼鈺r(shí)所使用的兩種方法，讓學(xué)生感受選取正弦和余弦定理解題的利弊。同時(shí)，已知兩邊及其夾角，此三角形唯一可解.教師可讓學(xué)生回顧初中時(shí)全等三角形的的判別方法，正、余弦定理的出現(xiàn)銜接了兩部分內(nèi)容，給出了解三角形出現(xiàn)邊角多解的原因。

5 回顧反思

5.1 以史為鑒，挖掘教材

余弦定理是在初中已學(xué)的“邊的關(guān)系”勾股定理（a2+b2=c2）基礎(chǔ)上的拓展延伸。在非直角三角形中，a2+b2≠c2，那么，它們究竟相差多少呢？有無(wú)規(guī)律或結(jié)論？這進(jìn)一步引發(fā)數(shù)學(xué)思維上的深入思考，于是對(duì)“邊角關(guān)系”展開(kāi)等量探索。同時(shí)，當(dāng)角A為直角，即在直角三角形中為0，勾股定理成立，即為余弦定理的特例。

5.2 多種證明，把握邏輯聯(lián)系

正弦定理和余弦定理同是對(duì)于三角形邊角關(guān)系的探討結(jié)果，在教學(xué)中均是通過(guò)類似的生活、數(shù)學(xué)情境引入以體現(xiàn)課堂教學(xué)的高效性。在教學(xué)中，以“向量數(shù)量積”為核心，順勢(shì)引導(dǎo)，學(xué)生自然會(huì)將求解向量數(shù)量積的多種方法進(jìn)行思考，多種證明方法不是簡(jiǎn)單的羅列，而是有機(jī)的組織，形成聯(lián)系，便于學(xué)生形成良好的知識(shí)框架體系，發(fā)展思維能力，提升核心素養(yǎng)。雖然余弦定理的證明方法很多，但本節(jié)課的學(xué)習(xí)重難點(diǎn)是用向量法推導(dǎo)余弦定理，引導(dǎo)學(xué)生回顧向量以及用向量法解決問(wèn)題，而其余的多種證法要求學(xué)生在課下完成，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效率的最優(yōu)化。讓學(xué)生逐漸明白數(shù)學(xué)證明的作用不只是確認(rèn)結(jié)論的正確性，抓住知識(shí)體系之間的聯(lián)系融合，促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)是自然的。

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