[摘 ?要：數(shù)列的通項(xiàng)公式直接表述了數(shù)列的本質(zhì)，我們可以通過數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列中任意一項(xiàng)，也可以通過數(shù)列通項(xiàng)公式判斷一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng)以及是第幾項(xiàng)等問題。各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解往往是解決數(shù)列難題的瓶頸，本文將結(jié)合常見高考題型，對數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法進(jìn)行探究與歸納總結(jié)，希望能對廣大一線教師和考生有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;通項(xiàng)公式;探究歸納]

數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題是高中數(shù)列問題中一類常見并且重要的題型，也是高考一大考點(diǎn)，解法層出不窮但也有章可循。面對常規(guī)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解時(shí)，學(xué)生都會按照等差等比基本公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。而當(dāng)數(shù)列形式稍加變形，不是按照正常形式給出時(shí)，學(xué)生往往容易變得束手無策，一旦幾次嘗試之后如果還是沒有得出答案，就會導(dǎo)致對求通項(xiàng)公式的畏難和消極情緒。究其根本，是學(xué)生沒有仔細(xì)去思考，沒有對于常見題型進(jìn)行積累、總結(jié)和反思，蘇霍姆林斯基說過：“懂得還不等于己知，理解還不等于知識，為了取得更牢固的知識，還必須思考并總結(jié)?！币虼?，筆者結(jié)合多年高中一線教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對數(shù)列中求通項(xiàng)公式的方法進(jìn)行探究，并完成歸納與總結(jié)，希望能對廣大一線教師和考生有所幫助。

一、觀察法

數(shù)列從定義角度看，是按一定順序排列的一列數(shù)，因而它不是雜亂無章的，它是有規(guī)律可循的。所以，我們可以根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察每一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，從而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例1：寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）9，99，999，9999，……

（2）1，11，111，1111，……

觀察法關(guān)鍵是把握第n項(xiàng)與[an]的關(guān)系，把每一項(xiàng)用項(xiàng)數(shù)表示，體現(xiàn)了特殊到一般的思想，也是數(shù)學(xué)上重要的思想方法，但欠嚴(yán)謹(jǐn)，如有必要，還需用數(shù)學(xué)歸納法去證明。

二、公式法

這種方法也叫做直接定義法，適用于已經(jīng)知道數(shù)列類型的題目，通過求出首項(xiàng)和公差或公比，直接利用等差或等比數(shù)列的定義寫出通項(xiàng)公式。

例2：【2018全國Ⅱ，理17】Sn為等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，已知a1= -7，S3=-15，求{an}的通項(xiàng)公式。

解：設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15，又由a1=-7得d=2，所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9。

三、利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)

有些數(shù)列給出{an}的前n項(xiàng)和Sn與[an]的關(guān)系式，利用讀書文摘2期從而求出[an]，特別要注意檢驗(yàn)n=1的情形。也有些數(shù)列通過做差，導(dǎo)出an+1與[an]的遞推式，從而求出[an]。

例3-1：【2015山東，理18】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知讀書文摘2期，求{an}的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)樽x書文摘2期，所以2a1=3+3，故a1=3，

當(dāng)讀書文摘2期時(shí)，讀書文摘2期此時(shí)，讀書文摘2期即讀書文摘2期，所以讀書文摘2期。

例3-2：【2018全國Ⅰ，理14】記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1，則a6=（ ? ?）。

解：讀書文摘2期

讀書文摘2期

①-②得讀書文摘2期，即讀書文摘2期，讀書文摘2期

因此{(lán)an}是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則讀書文摘2期。

四、累加法

適用于遞推公式形如讀書文摘2期＼（n=2、3、4……）型的數(shù)列，且讀書文摘2期可求，則用累加法求[an]。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。

例4：在數(shù)列{[an]}中，a1=1，讀書文摘2期（n=2、3、4……），求{[an]}的通項(xiàng)公式。

解：∵n=1時(shí)，a1=1

讀書文摘2期這n-1個(gè)等式累加得：

讀書文摘2期讀書文摘2期

故讀書文摘2期且a1=1也滿足該式∴讀書文摘2期讀書文摘2期。

五、累乘法

適用于遞推公式形如讀書文摘2期（n=2、3、4……）型的數(shù)列，且[f1×f2×…×f（n-1）]可求，則用累乘法求[an]。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。

例5：已知數(shù)列{[an]}滿足讀書文摘2期讀書文摘2期，求[an]。

解：由條件知讀書文摘2期，分別令讀書文摘2期，代入上式得（n-1）個(gè)等式累乘之，即得：讀書文摘2期讀書文摘2期讀書文摘2期又讀書文摘2期，讀書文摘2期。

六、構(gòu)造法

原數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，但對已知的等式進(jìn)行適當(dāng)變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式。

形式1、讀書文摘2期（x，y），用配湊法，配湊常數(shù)“λ”，使得讀書文摘2期構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列，從而求出an的通項(xiàng)公式。

例6-1：【2014課標(biāo)Ⅱ，理17】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通項(xiàng)公式。

解：由an+1=3an+1得an+1+[12]=3[an+12]，又a1+[12=32]，所以[an+12]是首項(xiàng)為[32]，公比為3的等比數(shù)列，an+[12=3n2]，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=[3n-12]。

形式2、讀書文摘2期（x，y，z），

（1）若[x=z]，則可以化為讀書文摘2期進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解。

例6-2：已知數(shù)列{an}滿足讀書文摘2期，a1=2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：讀書文摘2期兩邊除以2n+1，得讀書文摘2期，則讀書文摘2期故數(shù)列讀書文摘2期

是以讀書文摘2期為首項(xiàng)，以[32]為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得讀書文摘2期的通項(xiàng)公式為讀書文摘2期。

（2）若[x≠z]，則可化為讀書文摘2期，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為形如讀書文摘2期的數(shù)列。

例6-3：已知數(shù)列{an}中，讀書文摘2期讀書文摘2期，求an。

解：在讀書文摘2期兩邊乘以2n+1得：讀書文摘2期令讀書文摘2期，則讀書文摘2期，應(yīng)用形式1解法得：讀書文摘2期，所以讀書文摘2期

本題也可化為讀書文摘2期，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為形如讀書文摘2期的數(shù)列，利用累加法進(jìn)行求解。

七、周期型數(shù)列：

寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其周期性，進(jìn)而直接得出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例7：已知數(shù)列{an}中a1=0，讀書文摘2期求：a2011（解答略）。

八、倒數(shù)變換法：

對于如讀書文摘2期這樣的數(shù)列，可用倒數(shù)變換，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再利用公式法求解。

例8：數(shù)列{an}中，讀書文摘2期讀書文摘2期，求an。

解：取倒數(shù)得：讀書文摘2期令讀書文摘2期則讀書文摘2期讀書文摘2期讀書文摘2期

九、迭代法

例9：已知數(shù)列{an}滿足讀書文摘2期求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)樽x書文摘2期所以

讀書文摘2期讀書文摘2期

讀書文摘2期

又a1=5，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為讀書文摘2期

十、數(shù)學(xué)歸納法

這種方法是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而通過觀察法，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以嚴(yán)格證明。

例10：已知數(shù)列{an}滿足求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：由讀書文摘2期讀書文摘2期，得

由此可猜測往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。

（1）當(dāng)n=1時(shí)，讀書文摘2期所以等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即讀書文摘2期

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對任何讀書文摘2期都成立。

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法并不限于以上所述，對于同一問題的求解也不僅是一種方法，只有在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究過程中不斷地體會與總結(jié)，將知識與方法學(xué)活，才可以做到游刃有余。

參考文獻(xiàn)

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[3]劉養(yǎng)飛.淺談常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法[J].湖南中學(xué)物理·教育前沿，2008（z1）.

作者簡介

張瑞（1982.07.20—），碩士研究生，新疆烏魯木齊市第七十中學(xué)。