李紫婷

摘 要：數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的教育目標(biāo)之一，是希望學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，能從數(shù)學(xué)角度去思考問題、理解問題、解決問題，進(jìn)而鍛煉思維、只有深刻理解了知識，把握其本質(zhì)屬性，才具有遷移和應(yīng)用知識的活性。數(shù)學(xué)理解是一切數(shù)學(xué)思維的基石，教學(xué)中教師可以通過多種方式促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，教師應(yīng)設(shè)計益于學(xué)生思考的活動，幫助學(xué)生積累思維經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);代數(shù)思想;數(shù)學(xué)理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在實施建議中指出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固深化?！惫P者于2008年和2017年分別執(zhí)教了“字母表示數(shù)”這一節(jié)研究課，先后兩次教學(xué)，由于教學(xué)目標(biāo)的定位不同、教材的處理和教學(xué)思路的設(shè)計不同，教學(xué)效果也隨之不同。本文試圖通過兩次教學(xué)實踐的課堂變化來思考如何促進(jìn)學(xué)生深度理解字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的作用和意義。

2008年，筆者第一次執(zhí)教的基本思路為：首先以失物招領(lǐng)有a元的錢包的生活情境導(dǎo)入，引入字母表示數(shù);然后，體驗探究，猜老師年齡和求擺三角形的小棒數(shù)，感悟用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系和計算公式;自學(xué)掌握簡寫規(guī)則;最后總結(jié)提升，用數(shù)青蛙兒歌和數(shù)學(xué)日記練習(xí)來鞏固拓展。教學(xué)重點在于不斷地強(qiáng)化字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的方法，課后反饋中學(xué)生會用字母表示一般的數(shù)，但對用字母表示數(shù)量關(guān)系仍不知所以，學(xué)生對字母表示數(shù)“符號化”的實質(zhì)存在理解障礙。

2017年，學(xué)校課題研究中，筆者第二次執(zhí)教，具體、生動的數(shù)學(xué)活動依然在，豐富的體驗依然有，但重在讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗用字母表示數(shù)的代數(shù)思想和價值，重在深化學(xué)生對字母表示數(shù)的方法的理解過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號化思想、推理能力及建模思想。

【第二次執(zhí)教】

活動一：數(shù)青蛙（感受代數(shù)思想）

（課件出示一個池塘的圖片和數(shù)青蛙的兒歌，出示的青蛙越來越多，速度越來越快，學(xué)生出現(xiàn)難以表達(dá)的狀況時）

師：可以用一句話概括這首數(shù)青蛙兒歌嗎？課件出示：（? ）只青蛙（? ）張嘴，（? ）只眼睛（? ）條腿。

生1：無數(shù)只青蛙無數(shù)張嘴，很多只眼睛很多條腿。（生笑）

生2：n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿。

師：這種方法好嗎？

學(xué)生在評價中明白：在同一個問題中，一個字母只能代表

生3：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。

師：這里也有數(shù)學(xué)規(guī)律，就是青蛙的眼睛數(shù)、腿數(shù)與只數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，知道b是表示多少個a嗎？c又是表示多少個a？

生3：b表示2a，c表示4a。（教師板書：b 2a，c 4a）

師：不錯，這位同學(xué)你來說說？（指生3）

生3：a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿。

師：我非常欣賞大家能大膽地亮出自己的見解，能不能說說你們的想法？

生2：因為青蛙的只數(shù)、嘴的張數(shù)、眼睛只數(shù)和腿的條數(shù)都是不確定的，我就都用字母來表示。

生3：我發(fā)現(xiàn)這里面有一定的規(guī)律，青蛙的只數(shù)和嘴的張數(shù)是一樣的，而眼睛的只數(shù)是青蛙只數(shù)的2倍，腿的條數(shù)是青蛙只數(shù)的4倍。

師：哪種方法能讓我們更清楚地看出數(shù)青蛙兒歌中的數(shù)量關(guān)系？

生4：a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿。

師：看來用字母可以表示數(shù)，也可以表示倍數(shù)關(guān)系。

課件顯示：池塘里的青蛙換成鴨子。（? ）只鴨子（? ）張嘴，（? ）只眼睛（? ）條腿。

師：你們都會讀這首數(shù)鴨子歌嗎？比一比，哪組最快用一句話概括這首鴨子歌？

……

活動二：猜年齡（體驗代數(shù)價值）

（一）用字母表示不確定的數(shù)

師：我們玩?zhèn)€猜年齡游戲，我有一個鄰居叫莉莉，她幾歲了？

生：沒法猜。

師：可以用什么符號來表示莉莉的年齡？（學(xué)生說出不同的字母、符號。）

師：同學(xué)們說的表示方式很多，對于一個不確定的數(shù)量我們通常用字母來表示。（板書課題）

師：那莉莉的年齡我們用a來表示。我還有鄰居叫明明，怎么表示他的年齡呢？

生：b歲。

師：能不能還用a歲來表示？

生：不能，重復(fù)了。

師：這里我們應(yīng)該用不同的字母表示不同的數(shù)。如果明明比莉莉大6歲，怎樣表示明明的年齡？

生：（a+6）歲。

師：我們比較一下，b和（a+6）哪個更好？為什么？

生：a+6表示得更清楚，更容易看出明明比莉莉大6歲。

（二）感受字母a的取值范圍

師：當(dāng)莉莉a歲時，明明是（a+6）歲。那么，a可以表示多少歲呢？莉莉10歲時，明明是16歲;莉莉100歲時，明明是106歲;莉莉200歲時……

生：哇！怎么可能。（眾生笑）

師：為什么笑？

生1：目前來說，人不可能活到200歲。

生2：這里的字母a不能表示200。

師：這位同學(xué)說對了，a在表示人的年齡時，就要有一定的范圍?？磥恚覀冇米帜副硎緮?shù)，有的時候可以表示任意的數(shù)，有時會表示有一定范圍的數(shù)。

（三）用字母表示數(shù)量關(guān)系

師：如果笑笑的年齡是莉莉的4倍，笑笑的年齡可以怎樣表示呢？

生：（a×4）歲。

師：這三人誰的年齡最大？誰的年齡最小？跟你小組里的同學(xué)討論一下。

生1：莉莉是最小的，明明年齡最大。

生2：好像不一定，有時候明明大，有時候笑笑大。

生3：莉莉2歲時，笑笑和明明一樣大。

師：看來答案不確定，用字母表示他們的年齡就充滿了變化。

活動三：魔術(shù)盒的秘密（感受代數(shù)思維）

師：我們玩?zhèn)€魔術(shù)，如果我在魔術(shù)盒的左邊輸入一個數(shù)，經(jīng)過魔力變化后會在右邊形成另外一個數(shù)，我們試一試，誰來報幾個數(shù)……

（生分別報了3、10、7，變化后分別是7、21、15。）

師：（學(xué)生報第三或第四個數(shù)時）剛才我還沒有經(jīng)過魔力變化，有些同學(xué)已經(jīng)說出魔力變化后的數(shù)了，難道你們發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘了么？它的奧秘是什么？

生：原來的數(shù)的2倍再加1就可以得到變化后的數(shù)了。

師：你能不能用一個式子概括出這樣的關(guān)系？

生：我們可以用2x+1。

師：對，2x+1還可以表示數(shù)量關(guān)系。x是30時，2x+1也可以表示具體的數(shù)。

【啟示與思考】

一、親歷過程積累思維經(jīng)驗，促進(jìn)深度理解

鄭毓信教授說：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本涵義就在于，我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會思維，并能使他們逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！睌?shù)學(xué)的深度理解終歸是思維的活動，核心素養(yǎng)下的課堂教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，教學(xué)過程應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動積累思維經(jīng)驗。兩次執(zhí)教都有猜年齡的活動，由第一次執(zhí)教的猜老師年齡改變?yōu)樽寣W(xué)生猜莉莉、明明和笑笑三人的年齡，從字母可以表示數(shù)到表示數(shù)量關(guān)系，由易到難，逐步深入，順應(yīng)學(xué)生的思維規(guī)律。筆者不斷地帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷與體驗字母表示數(shù)的現(xiàn)實需要，并有意識地應(yīng)用字母解決實際生活中的問題。讓學(xué)生交流自己的想法，探討字母分別表示什么，字母所表示的數(shù)在實際情況中的取值范圍。學(xué)生充分發(fā)表見解，在觀點辯論、思維碰撞經(jīng)歷知識形成的過程中筆者順勢捕捉課堂生成加深對問題本質(zhì)的理解。接著，筆者設(shè)計了“比較三人年齡大小”的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生在思考中自發(fā)地進(jìn)行“代入求值”，充分體會到隨著莉莉年齡的變化，明明和笑笑的年齡也隨之變化。學(xué)生親歷這一認(rèn)知過程感受到用字母表示數(shù)的簡捷方便，也充分體驗到了從算術(shù)思想到方程思想的轉(zhuǎn)變。這樣重視學(xué)生經(jīng)歷和體驗過程的教學(xué)，積累了學(xué)生理解字母表示數(shù)的思維經(jīng)驗，順利地構(gòu)建從數(shù)字表示、語言概括到符號語言的轉(zhuǎn)換流程，建立初步的符號感，完成了學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變，直接促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)、深度理解。

二、引領(lǐng)學(xué)生感悟代數(shù)思想，助力深度理解

第二次執(zhí)教從學(xué)生的認(rèn)知、情感發(fā)展角度，從思維能力的形成角度設(shè)計了層次清晰的學(xué)習(xí)體驗活動。數(shù)青蛙活動中筆者引導(dǎo)學(xué)生思考與分析：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿，讓學(xué)生充分理解這樣的表示方法，雖然都是用字母表示數(shù)，但無法表示出其中的數(shù)量關(guān)系，從而實現(xiàn)語言概括到字母表示的對比、過渡和加深，還讓學(xué)生進(jìn)一步體驗符號語言的概括性和優(yōu)越性，體會了字母表示數(shù)的代數(shù)價值。接著，讓學(xué)生比一比誰能最快用一句話概括念不完的鴨子歌。學(xué)生帶著競賽的意識在新的素材中自己發(fā)現(xiàn)問題，自己解決問題，從中再次切身體驗數(shù)學(xué)中字母表示數(shù)的奧妙。這樣設(shè)計符合學(xué)生的認(rèn)知特點，使他們進(jìn)行自主探究與合作交流，親自體驗規(guī)律的形成與論證過程，不斷加深學(xué)生對字母表示數(shù)的方法的理解。

魔術(shù)盒本身就是蘊(yùn)含函數(shù)思想的一個載體，學(xué)生對探尋魔術(shù)盒的奧秘充滿了向往，對魔術(shù)盒中的數(shù)在多媒體課件中發(fā)生的變化進(jìn)行記錄，借助直觀的數(shù)據(jù)記錄，學(xué)生很自然地去思考魔力在哪。讓學(xué)生在玩中探索、驗證魔術(shù)盒奧秘的過程，其實就是學(xué)生在經(jīng)歷思考不斷探究數(shù)字入與出之間的對應(yīng)關(guān)系中，提煉出始終不變的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步體會到用字母表示數(shù)的簡單易行。具有思維性的數(shù)學(xué)魔術(shù)盒游戲讓學(xué)生心中有“數(shù)”，玩中有“學(xué)”，深深體會到代數(shù)的魅力，理解代數(shù)的價值：“數(shù)學(xué)就是在研究世界不變的關(guān)系”“用字母表示可以把生活現(xiàn)象變簡單”等，學(xué)生感受到的是深入理解數(shù)學(xué)的過程，是一種代數(shù)思想美妙的呈現(xiàn)形式。

參考文獻(xiàn)：

鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（3）：1-5.

編輯 郭小琴