蔡振華

[摘? 要] 數(shù)學模型在初中數(shù)學的學習過程中，不僅是一種模型，更是一種思想，對于學生而言，它不僅是一種數(shù)學方法，更是一種數(shù)學素養(yǎng)，所以學生應熟悉數(shù)學模型的建立與應用，深刻感悟模型建立與應用的一般步驟.

[關鍵詞] 數(shù)學模型;實際問題;數(shù)學教學

數(shù)學模型是連接數(shù)學知識與實際應用的橋梁，隨著時代的發(fā)展與教育改革的不斷深入，如今的數(shù)學教學更加重視與生活的聯(lián)系及學生應用能力的發(fā)展，實際問題在數(shù)學問題中的比重逐漸增大已成為一種趨勢. 在實際問題的解決中，建立數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)實際問題中隱含的數(shù)學知識是解決數(shù)學問題的關鍵. 建立數(shù)學模型的基本思路就是根據(jù)實際問題抽象出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，用數(shù)學邏輯和數(shù)學方法來求解模型，再根據(jù)結果確定實際問題的解. 下文筆者結合實例，簡要談談初中數(shù)學中常見模型思想的種類及建立數(shù)學模型解決實際問題的方法，供各位參考.

方程（組）模型

方程（組）模型是應用題中最為常見的模型，即我們常說的“列方程解應用題”. 建立方程（組）模型的一般思路是：分析已知量、未知量，將實際問題抽象成數(shù)學問題→找出等量關系→構建方程（組）模型→求出方程（組）的解→確定實際問題的解.

例1? 學校組織學生去春游，公園里共有大小兩種規(guī)格的游船48艘，共可容納520人，其中小船每艘可坐8人，大船每艘可坐12人，問大船和小船各有多少艘？

第一步：分析已知條件和未知數(shù)的個數(shù).

由已知條件可知，題中設計了兩個未知量，共有兩個等量關系.

第二步：設未知數(shù)，找等量關系.

設大船共x艘，小船y艘. 等量關系為：①大船的數(shù)量+小船的數(shù)量=48，②大船可容納的總人數(shù)+小船可容納的總人數(shù)=520.

第三步：列方程、解方程.

列出方程x+y=48，

12x+8y=520， 解得x=34，

y=14.

第四步：確定實際問題的解.

大船34艘，小船14艘.

在初中數(shù)學階段，常見的方程（組）模型有：“人員調配”“增長率”“銷售利潤”“工程問題”“行程問題”等，在解題過程中，找準等量關系，正確構建方程（組）模型是解決問題的關鍵.

不等式（組）模型

在實際問題中，應用較為廣泛的另一種模型便是不等式（組）模型. 在不等關系中，可以構建“不等式（組）”模型，其基本步驟和構建方程（組）模型相似，即審題，分析已知和未知→找不等關系→設未知數(shù)→建立不等式模型→解不等式→根據(jù)實際問題寫出答案.

例2? 學期末，為了獎勵進步顯著的20名學生，李老師讓班長用不超過200元的班費購買20份獎品，小明到了文具店后發(fā)現(xiàn)筆記本5元一本，筆袋16元一個，班長想盡可能多購買筆袋，你覺得他最多能買幾個筆袋呢？

第一步：分析題中的已知條件和未知量.

已知條件：獎品總數(shù)20，總價不超過200;未知量：筆記本的數(shù)量、筆袋的數(shù)量.

第二步：找出不等關系.

筆記本的價錢+筆袋的價錢≤200.

第三步：列不等式、解不等式.

設購買x個筆袋，5（20-x）+16x≤200，解得x≤.

第四步：確定實際問題的解.

因為x為正整數(shù)，所以最大值為9，即最多買9個筆袋.

常見的不等式（組）模型有“最佳購買方案問題”“最省資金調配問題”等，找準不等關系確立不等式是主要任務，讀透題目、找到題中的關鍵詞是找不等關系的突破口.

概率模型

概率模型是最貼近生活的模型，概率通俗來說就是事件發(fā)生的可能性，它充盈在生活的每一個角落，“明天下雨的可能性有多大”“拋擲一枚一元硬幣，正面朝上的概率有多大”“買一瓶綠茶，喝到‘再來一瓶的可能性有多大”等. 建立概率模型，用數(shù)學語言刻畫上述事件發(fā)生的可能性，會使其更加具有說服力. 其基本方法是將實際問題抽象成為數(shù)學問題→建立概率模型→用概率描述事件發(fā)生的可能性大小.

例3? 如圖1，某商場為了吸引顧客，設立了可以自由轉動的轉盤，并規(guī)定：顧客每購買200元的商品就能獲得一次轉轉盤的機會. 轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券，如果對準其余區(qū)域則無法獲得購物券. 如果顧客不愿意轉轉盤，可以選擇直接獲得30元購物券. 你認為轉轉盤和直接獲得購物券哪種方式對顧客更合算？

將此問題抽象成為數(shù)學問題即為：選擇轉轉盤的顧客平均獲得的購物券價值和直接獲得的30元哪個更大？

建立概率模型討論：P（指針指在紅色區(qū)域）=，P（指針指在黃色區(qū)域）=，P（指針指在綠色區(qū)域）=. 所以客戶轉動轉盤平均能獲得的優(yōu)惠券價值為：200×+100×+50×=40（元），大于直接獲得30元優(yōu)惠券. 因此轉動轉盤對顧客來說更合算.

常見的概率模型有“彩票獲獎概率”“比賽的公平性”等，還有一些古典概型. 看清問題的本質，準確建立概率模型，是用概率的大小描述事件可能性的中心環(huán)節(jié)[1].

函數(shù)模型

函數(shù)是整個初中數(shù)學的重點內容，用函數(shù)模型解決實際問題是函數(shù)學習內容中的重點，以二次函數(shù)的模型最為常見. 其基本思路是：發(fā)現(xiàn)函數(shù)關系→建立函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→確定實際問題的解.

例4? 小梅在數(shù)學學科社會實踐中對某商場某種進價為30元的商品售價與銷量進行了為期3個月（按90天來計）的跟蹤調查，最后整理成了表1.

[時間 （天） 1≤x<50 50≤x<90 售價（元/件） x+40 90 每天銷量（件） 200-2x ][表1]

（1）你能根據(jù)表格推算出哪一天的銷售利潤最大嗎？最大利潤是多少？

（2）已知銷售員在銷售這種商品時，只有當每天利潤不低于4800元時才能得到獎金. 請你計算一下這3個月中銷售員可以獲得獎金的天數(shù).

第一步：發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型.

該種商品每天的利潤為時間x的函數(shù).

第二步：建立函數(shù)模型.

設每天的利潤為y，則當1≤x<50時，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，當50≤x<90時，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000. 可見y是關于x的分段函數(shù).

第三步：求解問題.

（1）當1≤x<50時，函數(shù)為y=-2x2+180x+2000=-2（x-45）2+6050，是開口向下的二次函數(shù)，所以當x=45時，y=6050. 當50≤x<90時，y隨x的增大而減小，所以當x=50時，y=6000. 綜上所述，該商品在第45天時利潤最大，最大為6050元.

（2）根據(jù)函數(shù)圖像，當20≤x≤60時，函數(shù)值大于4800，所以共41天可以拿到獎金.

在實際問題中，“用料最省”“成本最低”“利潤最大”等關鍵詞都是函數(shù)模型的“提示語”，我們要用發(fā)現(xiàn)的眼光看待這些問題，準確建立函數(shù)模型.

幾何模型

說到幾何模型，我們最先想到的可能是全等、相似、面積及“半角模型”“一線三等角模型”等常見的幾何模型，這些均是較為明顯的模型，直接存在于幾何圖形中，在此不再贅述. 細心觀察，在實際問題中也存在著“隱性”的幾何模型，如“雙循環(huán)賽”“單循環(huán)賽”常常使學生們混淆不清，如果換一種角度思考，將代數(shù)轉化為幾何，問題將迎刃而解[2].

例5? ?；@球賽，學校共有8支球隊參賽，如果采用單循環(huán)制，需要比賽幾場？如果是雙循環(huán)制呢？

將此問題中的8支球隊看成是平面中的8個點（其中任何三個點都不在同一條直線上），用兩點之間的連線刻畫“每兩個隊之間的比賽”，可以發(fā)現(xiàn)，從一個點出發(fā)可以作7條線段，即每個球隊要比賽7場，總場數(shù)即為7×8=56場，單循環(huán)賽即每兩點之間的線段只需算一次，所以總場次為×（7×8）=28.

常見的用幾何模型來解決的代數(shù)問題除了循環(huán)賽問題還有送禮問題、握手擁抱等. 建立幾何模型能讓抽象的問題變得直觀，讓深奧的問題更易于理解. 是“數(shù)形結合”思想的重要體現(xiàn).

在初中數(shù)學中，模型思想是重要的數(shù)學思想之一，數(shù)學教學中，滲透模型思想有利于學生更好地體悟數(shù)學與生活的聯(lián)系，也能增強學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，對學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展有著積極的作用. 而在滲透模型思想的教學中，教師的關注點應放在如何引導學生發(fā)現(xiàn)問題中的模型和建立模型上，讓其能正確建立模型，輕松解決數(shù)學問題. 學生會在應用中提升數(shù)學思想的感悟度、理解度、應用度，從而在實實在在地訓練與實踐，全面提升數(shù)學的學科素養(yǎng)，提升學生自我的核心素養(yǎng)，促進學生在學習與生活上的可持續(xù)發(fā)展.

參考文獻：

[1]錢德春. 試題編制，一門遺憾的藝術——2014年泰州中考數(shù)學第25題的分析與反思[J].? 中學數(shù)學雜志，2014（8）：50-52.

[2]王美蘭. 如何編制初中數(shù)學開放性試題[J]. 中學數(shù)學，2012（14）：92-93.