宮明

[摘? 要] 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師有意識地培養(yǎng)學(xué)生的審美能力，不僅能極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高課堂效率，還有助于提高學(xué)生的解題能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的導(dǎo)向功能.

[關(guān)鍵詞] 中學(xué)數(shù)學(xué);解題教學(xué);數(shù)學(xué)美;教學(xué)實(shí)例

數(shù)學(xué)是思維的體操，是創(chuàng)造性的藝術(shù). 數(shù)學(xué)的美學(xué)因素不僅體現(xiàn)于外在表現(xiàn)，還蘊(yùn)含于其內(nèi)在的原理之中. 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透審美教育，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力.

品味解題過程中的數(shù)學(xué)美

法國雕塑家羅丹說過：“美是到處都有的，對于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn). ”從數(shù)學(xué)研究的意義上來說，數(shù)學(xué)正是各種幾何圖形、各種不同數(shù)據(jù)的完美結(jié)合，它們相映成趣，構(gòu)造出了美好的數(shù)學(xué)世界. 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們可以通過隨處可見的例子，把美的享受傳遞給學(xué)生，使他們在欣賞美的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)研究的無限魅力.

案例1圖1所示的圖形是由若干個(gè)點(diǎn)組成的. 假如三角形每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n>1）個(gè)點(diǎn)，則每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)s是多少？當(dāng)n=5，7，11時(shí)，s分別是多少？

這道題從圖形上給人以美的感覺，能激發(fā)學(xué)生的探究興趣. 在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過直覺感受總點(diǎn)數(shù)s與n的變化關(guān)系，于是心算出當(dāng)n=5，7，11時(shí)，s的值.

案例2用運(yùn)算符號“+”“-”“×”“÷”以及括號，把四個(gè)4連成一個(gè)算式，使這個(gè)算式的結(jié)果分別等于從1到9這九個(gè)數(shù).

這道題主要考查學(xué)生的想象力和觀察能力. 通過認(rèn)真觀察，加上正確的想象，學(xué)生就會(huì)寫出如下算式：

4-4+4÷4=1 ? ? ?4×4÷（4+4）=2

（4+4+4）÷4=3? ? ?（4-4）×4+4=4

（4×4+4）÷4=5 ? （4+4）÷4+4=6

4+4-4÷4=7? ? ?（4+4）÷4×4=8

4+4+4÷4=9

這九個(gè)等式的左邊四個(gè)4與運(yùn)算符號的有機(jī)結(jié)合，婀娜多姿，給人以翩翩起舞的遐想;右邊從1到9排列，整齊有序，足以達(dá)到美觀的視覺效果，能使學(xué)生進(jìn)一步欣賞到數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)在美. 在教學(xué)中，以上每一個(gè)結(jié)果不止一種算法，能讓學(xué)生在感受美的同時(shí)開拓思維.

案例3如圖2，已知正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，求所圍成的圖形（陰影部分）的面積.

[圖2]

這道題首先留給學(xué)生印象深刻的就是這個(gè)圖形，它能使學(xué)生聯(lián)想到正方形的玻璃框中鑲嵌著4片美麗的花瓣，這樣美的外形，顯然可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望. 本題的目標(biāo)是求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積，從表象上看，學(xué)生會(huì)感到困難，似乎無公式可套，無規(guī)律可循，但學(xué)生會(huì)在這個(gè)圖形美的吸引下，通過仔細(xì)觀察其中存在的規(guī)則，得出結(jié)論：S=2π·

2-a2=πa2-a2.

利用數(shù)學(xué)美思考解題思路

法國數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過是問題的解答適合我們心靈需要而產(chǎn)生的一種滿足感. ”因此，數(shù)學(xué)美不只是用來感受和認(rèn)識內(nèi)容的，它還具有指引我們進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的意義，能夠促使我們的解題水平不斷提高[1].

1. 內(nèi)容的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，美在數(shù)學(xué)對客觀世界和諧、井然有序的真實(shí)反映上. 比如，梯形的面積計(jì)算公式S=（a+b）h就是典型的一例. 它把三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形的面積計(jì)算統(tǒng)一在了一個(gè)式子之中. 當(dāng)a，b，h發(fā)生變化時(shí)，就可以計(jì)算不同形狀的圖形的面積.

案例4猜想：（x-1）（xn-1+xn-2+…+x2+x+1）=______.

請你利用上面的猜想，完成下面的題目：（-2）50+（-2）49+（-2）48+…+（-2）+1.

對于本題，學(xué)生很難求出（x-1）（xn-1+xn-2+…+x2+x+1），于是教師可以引導(dǎo)學(xué)生先從簡單的情形入手，即分別算出（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，…，從而發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律.

在教學(xué)中，教師應(yīng)經(jīng)常采用類似的解題訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握知識的本質(zhì)特征，加強(qiáng)橫向聯(lián)系，從而揭示統(tǒng)一性，引導(dǎo)學(xué)生對統(tǒng)一性與整體的各部分知識進(jìn)行辨別、分析，找出異同點(diǎn)，并側(cè)重于異中取同.

2. 方法的簡潔美

簡潔美是數(shù)學(xué)美的重要標(biāo)志，用最簡單的方法解決復(fù)雜的問題，是人們共同的期盼和追求. 在教學(xué)中，如果用簡單的觀點(diǎn)、簡化的方法對問題進(jìn)行整體處理，或者實(shí)施分解、變換、降次等轉(zhuǎn)化策略，往往會(huì)使處理問題的方法新穎、獨(dú)特[2].

案例5已知3x2-2x-7=0，求.

學(xué)生開始都以常規(guī)的思路去審視本題，先求出x，再求，結(jié)果誤入歧途，使問題變得更加復(fù)雜. 教學(xué)中，只要教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目，進(jìn)行簡單的變形，本題就會(huì)是另一番景象，即通過移項(xiàng)可得3x2=2x+7，問題就會(huì)迎刃而解.

案例6計(jì)算：-0.8+2.1-0.75-2.1+35+0.8-4+.

最初，學(xué)生按照常規(guī)運(yùn)算順序逐個(gè)進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算過程很煩瑣. 當(dāng)教師提醒學(xué)生優(yōu)先結(jié)合相反數(shù)時(shí)，學(xué)生頓時(shí)豁然開朗，臉上流露出欣喜的微笑. 這一刻，學(xué)生領(lǐng)悟到了問題的實(shí)質(zhì)，感受到了簡潔的樂趣，從真正意義上理解了方法的簡便.

法國哲學(xué)家狄德羅說過：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個(gè)難以解決的問題，所謂美的解答，是指一個(gè)困難復(fù)雜問題的簡易解答.”由此可見，在解題教學(xué)中尋找解題的簡易途徑和多種方法，就是對數(shù)學(xué)美的追求.

3. 形式的對稱美

形式的對稱性是數(shù)學(xué)科學(xué)美的直觀體現(xiàn). 在幾何中，圖形的對稱美是幾何學(xué)的重要內(nèi)涵. 在教學(xué)中，如果我們引導(dǎo)學(xué)生用對稱的眼光去審視，采用對稱的方法調(diào)整、變換元素關(guān)系，有些問題就會(huì)迎刃而解.

案例7已知，如圖3，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，求證：AD=DE.

由于試題給了角平分線和垂直的條件，所以教師在教學(xué)中如果從對稱角度循循善誘，學(xué)生很快就會(huì)聯(lián)想到完整的等腰三角形，即把圖3補(bǔ)充成圖4，并過點(diǎn)E作EG∥BC交AF于點(diǎn)G，即可得出結(jié)論.

這樣明快的解題思路和完美的對稱圖形，本身就會(huì)給予學(xué)生美的啟迪，能使學(xué)生在感受圖形美的同時(shí)，感受到運(yùn)用對稱方法解題的樂趣. 這樣不僅能培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，而且能促進(jìn)學(xué)生想象力的發(fā)展.

4. 思維的奇異美

英國哲學(xué)家培根說：“沒有一個(gè)極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異. 美就在于奇特而令人驚異. ”數(shù)學(xué)中的奇異美是指結(jié)論的新穎奇巧，出乎意料，往往能引起思想上的震動(dòng)， 這是吸引許多人喜歡數(shù)學(xué)的原因之一.

案例8已知方程x2-2x-1=0，不解方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方.

解答本題，利用根與系數(shù)的關(guān)系，順理成章，但有一位同學(xué)卻給出了這樣的解答：令y=x2是所求方程的根，則得x=±，代入原方程得（±）2-2（±）-1=0，即y2-6y+1=0為滿足題意的方程.

在我看來，這就是奇異. 在教學(xué)中，教師應(yīng)充分鼓勵(lì)學(xué)生用新穎、奇特的方法，巧妙地分析和解決問題，幫助學(xué)生自由地思考，自主地調(diào)控思維過程，從而揭示隱藏在奇異背后的數(shù)學(xué)美.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)是美的，人的愛美天性在青少年時(shí)期表現(xiàn)得尤為突出[3]. 數(shù)學(xué)教師應(yīng)抓住這個(gè)最佳時(shí)期，不失時(shí)機(jī)地揭示數(shù)學(xué)之美，進(jìn)行審美教育，并能學(xué)用結(jié)合，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)美在解題中的導(dǎo)向功能.

古希臘數(shù)學(xué)家普羅克洛斯說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美. ”在解題過程中，我們應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)美，追求數(shù)學(xué)美，并按照美的標(biāo)準(zhǔn)和方式思考. 只要我們善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，那數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就不是一件難事. 每個(gè)學(xué)生在提高自己數(shù)學(xué)審美能力的同時(shí)，也一定會(huì)有更大的收獲. 所以，我們不要做聽課機(jī)器，而要善于動(dòng)腦，善于發(fā)現(xiàn)，在探究數(shù)學(xué)之美的道路上收獲意想不到的解題思路，總結(jié)有效的解題方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐利治，王光明. 數(shù)學(xué)方法論選讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[2]張國棣. 談中學(xué)數(shù)學(xué)的審美教育[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（7）.

[3]文衛(wèi)星. 引導(dǎo)學(xué)生欣賞與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美——以極限教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（2）.