【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，除了掌握基本知識(shí)、基本技能外，還要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。不同的解題方法，可以培養(yǎng)學(xué)生不同的思維方式。本文通過一些典型問題的一題多解來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神，開闊解題思路，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 一題多解 發(fā)散思維

【基金項(xiàng)目】陜西省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（17JK0962）；陜西省職業(yè)技術(shù)教育學(xué)會(huì)2016 年度教育科研規(guī)劃課項(xiàng)目（SZJY-1657）；商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院2017 年度重大課題（2017JXKT06）。

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）27-0114-02

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)里一門十分重要的公共基礎(chǔ)課程，但在實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生的解題能力往往得不到提高，分析其原因主要就是學(xué)生解題思維得不到鍛煉，為了做題而做題，不能舉一反三。對(duì)同一道題，如果從不同的角度去分析，采用不同的處理方法，則可得到不同的解法，通過比較，可選擇最優(yōu)的解法，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力有極大的好處。為此，以下通過高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)“一題多解”的例子，給出發(fā)散思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

1.重要極限的計(jì)算

例1 求極限 （1+ ）

解法1：當(dāng)x=n（正整數(shù)）時(shí)，設(shè)數(shù)列u =（1+ ） ，只需證該數(shù)列是單調(diào)有界的即可。為此計(jì)算：

u =（1+ ） =1+n + + +…+

=1+1+ （1- ）+ （1- ）（1- ）+…+

（1- ）（1- ）+…+（1- ）

類似地可計(jì)算

un+1=（1+ ）n+1=1+1+ （1- ）+ （1- ）（1- ）+…+ （1- ）（1- ）+…+（1- ）+ （1- ）（1- ）…（1- ）

比較u 與u 的展開式，可知除前兩項(xiàng)外，u 中的每一項(xiàng)都小于u 中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，且u 比u 多了最后的正數(shù)項(xiàng)。所以

u

把u 中每個(gè)括號(hào)內(nèi)用1代替，則

u ≤1+1+ + +…+

≤1+1+ + + +…+

=1+ <1+ =3

即數(shù)列u 有界。從而知，當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列un=（1+ ） 的極限存在，其極限用e表示。

解法2：

（1+ ） = e = e =e

=e =e =e =e

2.函數(shù)的反常積分

例2 xe dx

解法1：

xe dx=- e d（-x ）=- e +∞-∞=- +∞-∞=0

解法2：設(shè)f（x）=xe ，則f（-x）=-xe ，f（-x）=-f（x）

所以f（x）是奇函數(shù)。

由f（x）是偶函數(shù)時(shí) f（x）dx=2 f（x）dx，是奇函數(shù)時(shí) f（x）dx=0得 xe dx=0

例3 dx

解法1：

dx= dx= t1= （- + ）=

解法2：

dx=- +c

dx= （- ）-（- ）=

解法3：

由當(dāng)x≤1時(shí)， dx發(fā)散；當(dāng)x>1時(shí)， dx= 得 dx= =

3.函數(shù)的定積分

例4 求定積分 dx

解法1：結(jié)合定積分的幾何意義，該定積分為由曲線 y= ，x=0，x=R及x軸所圍圖形的面積，即以R為半徑的四分之一圓的面積，故 dx= πR 。

解法2：令x=Rsint，則dx=Rcostdt，且當(dāng)x=R時(shí)，t= ，于是：

dx= ·Rcostdt=R cos tdt=R dt=R （ t+ sin2t） 0= πR

高等數(shù)學(xué)中，能利用一題多解例子還有很多，在平時(shí)教學(xué)

中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，不僅能鞏固基本

知識(shí)，掌握基本技能技巧，而且有助于培養(yǎng)全面分析問題的能

力，培養(yǎng)具有靈活性和多向思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械出版社，2013.

[3]黃煒.經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]崔宏志.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

作者簡(jiǎn)介：

龔加安（1975-），男，陜西商州人，碩士，商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，研究方向：不確定性推理和數(shù)學(xué)教育教學(xué)。