宋健健

【摘 要】“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師往往通過(guò)各種實(shí)物表征，概括概念的本質(zhì)屬性。然而，這樣的教學(xué)容易出現(xiàn)以下幾個(gè)問(wèn)題：學(xué)習(xí)起點(diǎn)把握不準(zhǔn)確，知識(shí)溝通不順暢；教學(xué)活動(dòng)重同化過(guò)程，輕形成過(guò)程；練習(xí)層次不豐富，思維提升不顯著。對(duì)此，教師可以采取如下措施，促進(jìn)學(xué)生概念的形成：以學(xué)情為線索，找準(zhǔn)知識(shí)起點(diǎn)；以內(nèi)容為抓手，完善形成過(guò)程；以活動(dòng)為載體，促進(jìn)思維提升。

【關(guān)鍵詞】概念同化；概念形成；倍的認(rèn)識(shí)

高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在數(shù)學(xué)中重要的不是符號(hào)，而是概念。”它不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，更是學(xué)生理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的前提。概念學(xué)習(xí)分為兩種方式：概念形成與概念同化。隨著課改的推進(jìn)，關(guān)注知識(shí)的形成與獲得過(guò)程，注重概念形成越來(lái)越受重視。

所謂概念形成是指從大量情境或?qū)嵗霭l(fā)，通過(guò)分析、類比、歸納，概括出概念的本質(zhì)特征，從而形成新概念。盡管關(guān)注概念形成已成為共識(shí)，然而在具體的教學(xué)過(guò)程中仍然存在著許多不足。筆者以“倍的認(rèn)識(shí)”一課為例，結(jié)合自己的親身經(jīng)驗(yàn)，與各位同行共同探討。

一、“倍的認(rèn)識(shí)”概念教學(xué)中存在的問(wèn)題

對(duì)于“倍的認(rèn)識(shí)”這一課的教學(xué)，最常見的是采用“概念同化”的方式：首先借助主題圖與實(shí)物，通過(guò)圈一圈、擺一擺、畫一畫等圖示表征方式，由師生共同概括出“倍”的概念，然后通過(guò)一系列變式，讓學(xué)生從觀察、操作中體會(huì)“一倍量”在變化引起倍數(shù)變化，以及“一倍量”不變，倍數(shù)變化，比較的結(jié)果也在變化。

然而，作業(yè)中遇到了一個(gè)問(wèn)題“□□□□□□，□的個(gè)數(shù)是○的3倍，○畫幾個(gè)？”有將近70%的學(xué)生認(rèn)為6×3=18個(gè)，只有不到15%的學(xué)生能準(zhǔn)確畫出2個(gè)○，并清楚地說(shuō)出自己的想法。由此可見，我們的概念教學(xué)還存在一些偏差。

（一）學(xué)習(xí)起點(diǎn)把握不準(zhǔn)確，知識(shí)溝通不順暢

“倍的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生在一、二年級(jí)學(xué)習(xí)了“比多少”，三年級(jí)學(xué)習(xí)了乘法知識(shí)之后教學(xué)的，是從兩個(gè)量絕對(duì)數(shù)量的比較，向兩個(gè)量相對(duì)數(shù)量的比較的過(guò)渡，也是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比和函數(shù)等概念的基礎(chǔ)。然而，我們往往容易忽視學(xué)生對(duì)于兩個(gè)量比較的認(rèn)識(shí)起點(diǎn)，輕視了“倍”與“比多少”“份”之間的聯(lián)系。其實(shí)對(duì)于學(xué)生而言，這兩種比較存在著共同點(diǎn)：都是通過(guò)一個(gè)量去說(shuō)明另一個(gè)量，而“倍”更多的是關(guān)注多倍量中有幾個(gè)一倍量，導(dǎo)致新舊知識(shí)之間的溝通不暢，學(xué)生的新概念學(xué)習(xí)如空中樓閣，沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)活動(dòng)重同化過(guò)程，輕形成過(guò)程

從這一課的概念學(xué)習(xí)可以看到，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，更多地采用概念同化的教學(xué)方式，以定義的方式呈現(xiàn)“倍”這一概念的本質(zhì)特征，替代學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的揭示，以演繹的思維方式由學(xué)生接受、理解概念，并納入到自身的概念體系中呈現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性。這種“短、平、快”的概念學(xué)習(xí)方式，偏重于概念的邏輯結(jié)構(gòu)教學(xué)，但忽視了知識(shí)的形成過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念形成缺乏參與體驗(yàn)，造成部分學(xué)生對(duì)于“倍”以誰(shuí)為“標(biāo)準(zhǔn)”、一倍量、多倍量的變化情況理解不到位。

（三）練習(xí)層次不豐富，思維提升不顯著

對(duì)于“倍的認(rèn)識(shí)”一課，我們一般采用各種變式練習(xí)來(lái)鞏固“倍”的知識(shí)，但往往缺少讓學(xué)生進(jìn)行概念表述、概括提煉的開放性問(wèn)題，缺乏展現(xiàn)不同學(xué)生思維能力的平臺(tái)，從而造成學(xué)生在理解倍的本質(zhì)時(shí)比較片面。

筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐與思考，以“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，提出幾點(diǎn)教學(xué)中的不同想法，愿和各位同仁分享。

二、“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)建議

（一）以學(xué)情為線索，找準(zhǔn)知識(shí)起點(diǎn)

任何數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，設(shè)計(jì)前都需要明確考慮兒童的已有生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平和情感訴求，即學(xué)生的興趣點(diǎn)與困難所在，以學(xué)情為前提，找準(zhǔn)知識(shí)的起點(diǎn)，也就是“以學(xué)的活動(dòng)為基點(diǎn)”來(lái)設(shè)計(jì)和展開教學(xué)，著重考慮學(xué)生需要學(xué)什么，怎樣學(xué)才能學(xué)得好。

1.找準(zhǔn)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，情境導(dǎo)入

數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，它們?cè)诒举|(zhì)上都是有聯(lián)系的，因?yàn)閿?shù)學(xué)中的任何一個(gè)概念，只有與其他概念相聯(lián)系，才能生成和發(fā)展。引導(dǎo)學(xué)生明確這些概念之間的聯(lián)系，找準(zhǔn)新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，以學(xué)生的認(rèn)知訴求為前提，并結(jié)合一定的教學(xué)情境，能幫助學(xué)生更好地理解概念。

因此筆者在執(zhí)教時(shí)，設(shè)計(jì)了以下情境問(wèn)題：

師：（出示圖1）你發(fā)現(xiàn)了什么？（多2個(gè)，多2倍，3倍）（出示圖2）你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：第一幅和第二幅圖有什么相同點(diǎn)？

師：（出示圖3）現(xiàn)在第一行有4個(gè)，第二行該畫幾個(gè)呢？仔細(xì)觀察圖1、圖2，你能仿照這兩幅圖的意思畫第三幅圖嗎？

生：畫8個(gè)。

生：10個(gè)。

兩個(gè)量之間的比較，既可以比較它們的絕對(duì)關(guān)系，比如“比多少”，還可以比較它們的相對(duì)關(guān)系，比如“倍”與“幾份之幾”。然而對(duì)于大部分三年級(jí)學(xué)生而言，比多少與找規(guī)則是已有經(jīng)驗(yàn)，“倍”是第一次接觸。通過(guò)比較前兩幅圖的相同點(diǎn)這一問(wèn)題情境，找到新概念與已有知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能啟發(fā)學(xué)生從倍的角度思考問(wèn)題，將學(xué)生引入一種主動(dòng)要求參與的渴求狀態(tài)，并在教師的適時(shí)適度導(dǎo)引下，起到“提領(lǐng)而頓，百毛皆順”的作用。

2.聚焦沖突點(diǎn)， 建立模型

小學(xué)階段的概念學(xué)習(xí)往往是新的需要與學(xué)生原有數(shù)學(xué)水平之間存在認(rèn)識(shí)沖突，正是由于這種沖突，更能引發(fā)學(xué)生的思考，從而產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。在教學(xué)時(shí)需要準(zhǔn)確把握知識(shí)的沖突點(diǎn)，以此為切入口，以清晰的圖形表征建立模型，形成對(duì)倍的初步認(rèn)識(shí)。

生：○○○○○○○○○○○○

師：為什么畫12個(gè)？

生：圖1把1個(gè)看作1份，第二行有3份；圖2把2個(gè)看作1份，第二行有3份；圖3把4個(gè)看作1份，第二行也要畫3份。

師：（出示圖4）這位小朋友中間空開了，你們能看懂嗎？（生說(shuō)想法）

師：（出示圖5）還有同學(xué)是圈一圈的，是什么意思？你們能不能也像這位小朋友這樣畫12個(gè)，并圈一圈呢？

師：我們把第一行的4個(gè)看成1份，第二行有這樣的3份就是幾個(gè)幾？（3個(gè)4）我們也可以說(shuō)第二行圓形的個(gè)數(shù)是第一行的？（板書3倍）

師：剛才你們說(shuō)這兩幅圖也是3倍，你能不能也來(lái)圈一圈、說(shuō)一說(shuō)？

師：我們知道這三幅圖雖然數(shù)量都不一樣，但是第二行圓形的個(gè)數(shù)都是第一行的？（3倍）如果現(xiàn)在要把第二行圓形的個(gè)數(shù)變成第一行的4倍，你會(huì)增加幾個(gè)圓形呢？

師：現(xiàn)在都是4倍了，為什么這里增加了1個(gè)，這里增加2個(gè)，而這里要增加4個(gè)呢？

“為什么畫12個(gè)？”這是本課的一個(gè)沖突點(diǎn)，借助“份”來(lái)幫助學(xué)生理解 “倍”，通過(guò)研究一份和多份之間的關(guān)系，溝通“倍”與原有知識(shí)“份”之間的聯(lián)系，讓學(xué)生自發(fā)地想到兩個(gè)量之間還可以用“倍”來(lái)表示，促使學(xué)生理解倍的共同屬性。變式練習(xí)“如果把第二行圓形的個(gè)數(shù)變成第一行的4倍，為什么每幅圖增加的個(gè)數(shù)不一樣？”這是第二個(gè)沖突點(diǎn)，通過(guò)畫一畫使學(xué)生理解因?yàn)橐槐读坎煌?，因此每次增加的個(gè)數(shù)也不同，使學(xué)生第一次感受一倍量的重要性，從而為豐富“倍”的內(nèi)涵服務(wù)。

（二）以內(nèi)容為抓手，完善形成過(guò)程

當(dāng)課堂進(jìn)入交流與合作探究的時(shí)候，如何讓不同程度的學(xué)生都能在共同參與的過(guò)程中形成“倍”的概念，理解其本質(zhì)內(nèi)涵，這離不開教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的解讀與再設(shè)計(jì)，缺少不了對(duì)比辨析與強(qiáng)化練習(xí)。

1.從文到形，對(duì)比顯內(nèi)涵

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建往往要經(jīng)歷一個(gè)建立—分解—重建的過(guò)程，概念學(xué)習(xí)也是如此。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了概念的發(fā)生與形成后，更需要一個(gè)分解重建的過(guò)程，從而幫助學(xué)生在對(duì)比練習(xí)中完善倍的模型。然而，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中往往重視數(shù)形結(jié)合，卻很少用到文字與圖形結(jié)合的方式分解數(shù)學(xué)概念。因此筆者設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題，希望幫助學(xué)生從自我語(yǔ)言漸漸進(jìn)入到能用比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表述概念，加深對(duì)倍的理解。

師：兩個(gè)小朋友在討論，他們每人說(shuō)了一句話，猜猜他們分別說(shuō)的是哪一張圖？

師：這兩個(gè)小朋友，你覺得誰(shuí)說(shuō)的話更有水平？為什么？

生：小B，因?yàn)橐痪湓挵▋煞鶊D。

師：紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍，可以表示紅蘿卜有4根，白蘿卜有1根；紅蘿卜有8根，白蘿卜有幾根？還可以表示紅蘿卜有幾根，白蘿卜有幾根？（出示圖7）

師：這樣的例子舉得完嗎？只要符合怎樣的條件，紅蘿卜就是白蘿卜的4倍呢？

通過(guò)第一個(gè)問(wèn)題，紅蘿卜比白蘿卜多3根，找到匹配的圖是第一幅圖，打破學(xué)生的思維定勢(shì)，回顧比多少的知識(shí)。第二個(gè)問(wèn)題“紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍”，學(xué)生的第一反應(yīng)是選擇圖6，因?yàn)楫?dāng)一倍量為1個(gè)時(shí)，多倍量就是4個(gè)，在圖上能清晰地看到。也有學(xué)生發(fā)現(xiàn)還可以把2個(gè)白蘿卜看成1份，紅蘿卜就有4個(gè)2，因此也可以說(shuō)紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍，因此一句話可以對(duì)應(yīng)兩幅圖，打通了文字與圖形的壁壘。第三個(gè)問(wèn)題“誰(shuí)的話更有水平”，學(xué)生明顯感到小B可以用一句話概括兩幅圖的意思，其實(shí)就突出了4倍的本質(zhì)意義。最有價(jià)值的是最后一個(gè)問(wèn)題“只有符合什么條件，就可以說(shuō)紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍？”再次凸顯倍的本質(zhì)屬性，將一倍量作為標(biāo)準(zhǔn)，多倍量有4個(gè)一倍量即可。

2.由形到文，概括本質(zhì)

對(duì)倍的了解需要經(jīng)歷一個(gè)繼續(xù)探究的過(guò)程，學(xué)生只有經(jīng)歷大量的具體實(shí)例后，才能逐步建立“倍”的概念。通過(guò)精練的語(yǔ)言描述能幫助學(xué)生重新審視倍的含義，因此筆者設(shè)計(jì)了以下練習(xí)。

師：我們剛才認(rèn)識(shí)了“倍”這個(gè)新朋友，接下來(lái)我們繼續(xù)用倍的眼光去解決一些問(wèn)題好嗎？

師：第一幅圖男生人數(shù)是女生的？第二幅圖男生人數(shù)是女生的？你能學(xué)學(xué)聰明的小B用一句話同時(shí)表示兩幅圖的意思嗎？（生寫一寫）

師：你們都寫了男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍，怎么看出是3倍？

在經(jīng)歷了從文字到圖形的過(guò)程后，學(xué)生對(duì)于倍有了較為深入的理解。這時(shí)，將練習(xí)進(jìn)行反向操作，出示兩幅圖，請(qǐng)學(xué)生用一句話概括，促使學(xué)生尋找兩幅圖的共同點(diǎn)，使學(xué)生盡可能地理解倍的本質(zhì)。

（三）以活動(dòng)為載體，促進(jìn)思維提升

課堂離不開教學(xué)活動(dòng)的架構(gòu)與展開，更離不開設(shè)計(jì)與實(shí)施。然而在平時(shí)教學(xué)中，我們往往更注重知識(shí)的獲得過(guò)程，而忽視了其背后的思維提升。因此，教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容中蘊(yùn)含的科學(xué)規(guī)律創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)開放的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生共同參與質(zhì)疑、解疑活動(dòng)，糾正認(rèn)識(shí)過(guò)程中的思維偏差。

1.異中求同顯本質(zhì)

教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在概念教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變式應(yīng)用，變更概念中的非本質(zhì)特征，變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容，能幫助學(xué)生獲得深刻的理性認(rèn)識(shí)，提高識(shí)別、應(yīng)變、概括的能力，因此筆者設(shè)計(jì)了以下練習(xí)。

師：拿出你的練習(xí)紙，畫一畫。

師：你們畫的都不一樣，為什么都說(shuō)圓形的個(gè)數(shù)是正方形的4倍？

生：因?yàn)閳A形都有這樣的4份。

師：擦掉1份是幾倍（3倍），再擦1份是幾倍（2倍），再擦1份是幾倍（1倍），倍的變化與一倍量、幾倍量有關(guān)，通過(guò)設(shè)計(jì)這個(gè)習(xí)題，使學(xué)生有機(jī)會(huì)投入到問(wèn)題解決的完整過(guò)程，經(jīng)歷從無(wú)序到有序的過(guò)程，更重要的是再一次感受只要多倍量中有4個(gè)一倍量，就可以說(shuō)是多倍量是一倍量的4倍，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律。

2.同中求異促提升

學(xué)生經(jīng)歷了初步感受倍到深入理解倍，再到全面剖析倍的過(guò)程后，不妨再設(shè)計(jì)一個(gè)重新創(chuàng)造倍的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從“不變”的條件中創(chuàng)造“變”的倍數(shù)，使教學(xué)面向全體，每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)投入到思考問(wèn)題與發(fā)現(xiàn)秘密的過(guò)程中，共同獲得思維的提升。因此筆者設(shè)計(jì)了以下練習(xí)。

師：猜一猜，你認(rèn)為三角形的個(gè)數(shù)是正方形的幾倍呢？把你們想的畫下來(lái)。

生：12倍，6倍，4倍，3倍。

師：1個(gè)就是12倍，2個(gè)就是……看這位小朋友他畫了12個(gè)，你能看懂嗎？你怎么看出來(lái)的？

師：三角形都是12個(gè)，為什么有2倍、3倍、4倍，還有1倍、12倍呢？

師：老師畫了5個(gè)，你覺得對(duì)不對(duì)？（2份還多了一點(diǎn)）

師：多了多少？那如果我要把它變成倍數(shù)關(guān)系的話，你有什么好辦法？

生：去掉2個(gè)，或者加上3個(gè)。

上述練習(xí)通過(guò)已知多倍量12個(gè)，使學(xué)生在觀察操作中經(jīng)歷倍的創(chuàng)造過(guò)程，既能強(qiáng)化一倍量的重要性，更能體會(huì)有序思考的重要性。另外，在設(shè)計(jì)練習(xí)的過(guò)程中強(qiáng)調(diào)了對(duì)1倍關(guān)系的理解。在課堂延伸部分，又設(shè)計(jì)了2倍多一點(diǎn)，通過(guò)去掉2個(gè)或者加上3個(gè)，使其變成整倍數(shù)，與后續(xù)的分?jǐn)?shù)知識(shí)教學(xué)進(jìn)行了銜接。

概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，找準(zhǔn)知識(shí)的起源，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，盡可能深入地理解概念的本質(zhì)，賦予概念以深刻的內(nèi)涵，并逐步會(huì)用一定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述概念，幫助學(xué)生形成必要的數(shù)學(xué)技能，思維得到發(fā)展，這是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的努力方向。

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（浙江省平湖市叔同實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314200）