王宏進(jìn)

【摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)小課題研究的開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)與實(shí)施策略研究，旨在提升學(xué)生動(dòng)手能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系意識(shí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)好玩。以“卷紙有多長(zhǎng)”教學(xué)為例，從“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—收集信息—實(shí)踐研究—總結(jié)反思”四方面展開(kāi)實(shí)踐研究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，感受到數(shù)學(xué)是好玩的，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。

【關(guān)鍵詞】小課題；實(shí)踐研究；卷紙有多長(zhǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。”進(jìn)而提出：“除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程?！庇纱丝梢?jiàn)，開(kāi)展恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)研究活動(dòng)是有必要的，能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而我們希望能把活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的其他方面。

一、內(nèi)容的選擇

數(shù)學(xué)小課題，是一種研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，綜合應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)自主探索和合作交流，來(lái)解決一些與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。結(jié)合六年級(jí)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平高低，在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的面積、長(zhǎng)方體和正方體的體積以及圓柱的體積之后，開(kāi)展了“卷紙有多長(zhǎng)”這一實(shí)踐研究活動(dòng)，給學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在活動(dòng)中充分展開(kāi)。

二、目標(biāo)的確定

以提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為基礎(chǔ)，以發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力為目標(biāo)，設(shè)計(jì)“卷紙有多長(zhǎng)”這一課的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在操作中感受數(shù)學(xué)的魅力，提升學(xué)習(xí)能力。

1.學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論，探究出測(cè)量和計(jì)算卷紙長(zhǎng)度的方法，并能合理計(jì)算出卷紙的長(zhǎng)度。

2. 學(xué)生參與研究活動(dòng)，能進(jìn)一步提升推理能力，發(fā)展空間想象力，提高對(duì)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究的興趣愛(ài)好。

三、教學(xué)片段及分析

【片段一】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

師：生活中，卷紙是我們常用的物品之一，一卷卷紙有時(shí)很快用完，這里面有沒(méi)有可以研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？如果讓你研究跟卷紙有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，你會(huì)研究什么呢？

生：可以研究卷紙有多長(zhǎng)，也就是看看哪個(gè)卷紙的含量多！

數(shù)學(xué)小課題研究，既包括操作性活動(dòng)（動(dòng)手），也包括觀念性活動(dòng)（動(dòng)腦）。開(kāi)展數(shù)學(xué)小課題研究時(shí)，要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)口，多種感覺(jué)器官密切配合，協(xié)調(diào)活動(dòng)。讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、量一量、算一算等形式，在“做中學(xué)”“學(xué)中做”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)研究中體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)技能。學(xué)生利用積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)開(kāi)展數(shù)學(xué)小課題研究，進(jìn)而通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的積累遷移到其他學(xué)習(xí)中。卷紙是生活中常用的物品之一，“卷紙有多長(zhǎng)”這個(gè)數(shù)學(xué)小課題，由學(xué)生生活中常見(jiàn)的事例引入，是熟悉的生活情境產(chǎn)生的數(shù)學(xué)小問(wèn)題，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在開(kāi)展“卷紙有多長(zhǎng)”數(shù)學(xué)小課題研究的時(shí)候，學(xué)生非常感興趣，都迫切想知道卷紙到底有多長(zhǎng)。同時(shí)，學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如關(guān)于質(zhì)量方面的、長(zhǎng)方形面積方面的、環(huán)形面積方面的、長(zhǎng)方體和圓柱體體積方面的等知識(shí)。有這些知識(shí)儲(chǔ)備做基礎(chǔ)，學(xué)生能多渠道地利用已掌握的知識(shí)和技能嘗試解決問(wèn)題。在研究伊始，受已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)，有的學(xué)生提出：打開(kāi)卷紙測(cè)量它的長(zhǎng)度即可！因?yàn)樵谌昙?jí)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)相關(guān)知識(shí)的時(shí)候，測(cè)量了樹(shù)葉、課桌等物品的周長(zhǎng)，學(xué)生都知曉其方法，由此遷移到測(cè)量卷紙的長(zhǎng)度。由此可見(jiàn)，課堂上問(wèn)題提出后，學(xué)生是可以利用已掌握的測(cè)量物體長(zhǎng)度的方法和技能嘗試解決卷紙有多長(zhǎng)這一問(wèn)題的。

【片段二】收集信息

師：雖然平時(shí)我們經(jīng)常用到卷紙，但是可能很少仔細(xì)觀察過(guò)，下面先仔細(xì)觀察卷紙外包裝上都有哪些信息。

電腦出示卷紙外包裝圖片（局部信息點(diǎn)擊放大）。引導(dǎo)學(xué)生觀察，并解讀信息。

明確：每節(jié)3層（演示揭開(kāi)：有3層）；每節(jié)長(zhǎng)114毫米；每節(jié)寬（即卷紙的高）105毫米；凈含量180克等。

師：有了這么多信息，同學(xué)們有什么辦法能知道卷紙有多長(zhǎng)呢？

教師帶領(lǐng)學(xué)生觀察外包裝，收集各種可能有用的信息，思考哪些信息可以利用，怎樣利用，激發(fā)學(xué)生思考怎樣運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。讓學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與已有數(shù)學(xué)知識(shí)水平對(duì)接，學(xué)會(huì)先收集整理相關(guān)數(shù)據(jù)，為后面用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)去展開(kāi)研究做鋪墊，這也是學(xué)習(xí)能力的一種鍛煉和提升。同樣，之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)質(zhì)量相關(guān)知識(shí)，通過(guò)質(zhì)量推算出卷紙的長(zhǎng)度也是已有數(shù)學(xué)知識(shí)水平和小課題研究活動(dòng)的對(duì)接。使學(xué)生在自身真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的再體驗(yàn)和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的更深感悟。

數(shù)學(xué)活動(dòng)為數(shù)學(xué)教學(xué)而開(kāi)展，要回到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。怎樣從教學(xué)中回到活動(dòng)中，就要看教師通過(guò)怎樣的設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生的思維。“卷紙有多長(zhǎng)”不是教給學(xué)生的，而是學(xué)生自主活動(dòng)探索研究出來(lái)的，活動(dòng)可以增加學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)的獲取。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)當(dāng)找到直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系點(diǎn)，這個(gè)聯(lián)系點(diǎn)需要提醒學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和收集數(shù)據(jù)，否則一切活動(dòng)都是“假、大、空”的研究。

【片段三】實(shí)踐研究

小組操作，匯報(bào)演示。

師：剛才有同學(xué)想到，如果把卷紙拉開(kāi)，底面可以看成一個(gè)長(zhǎng)方形，那假如我們把卷紙豎起來(lái)，你還能把它看作什么圖形呢？

生：豎著展開(kāi)，卷紙也可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體！

師：對(duì)！是一個(gè)長(zhǎng)方體，只是這個(gè)長(zhǎng)方體到底有多長(zhǎng)呢？

生：既然展開(kāi)后的卷紙可以看成是一個(gè)特殊的長(zhǎng)方體，那么我們可以用這個(gè)長(zhǎng)方體的體積除以它的寬和高，就能得到它的長(zhǎng)。

師：那這個(gè)長(zhǎng)方體的體積怎樣計(jì)算？

生：長(zhǎng)方體的體積，可以看成是這個(gè)空心圓柱的體積，因此，我們可以用大圓柱的體積減去空心圓柱的體積。

學(xué)生提出的觀點(diǎn)，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的方法，更容易讓其他學(xué)生接受和理解。教師在指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)小課題研究的時(shí)候，既要有預(yù)設(shè)的內(nèi)容，也要抓住生成的內(nèi)容。學(xué)生能從圓形轉(zhuǎn)化到長(zhǎng)方形，在此基礎(chǔ)上深入思考，也能從圓柱體聯(lián)想到長(zhǎng)方體。事實(shí)上，卷紙的實(shí)際長(zhǎng)度是一個(gè)明確的答案，那么是不是把答案直接告訴學(xué)生，不再需要其他研究活動(dòng)的過(guò)程來(lái)得到呢？同時(shí)，課堂上，如果我們以間接經(jīng)驗(yàn)的方式來(lái)告知學(xué)生，也不會(huì)引來(lái)太多的非議或質(zhì)疑，學(xué)習(xí)理解也不會(huì)存在太大困難。那么，我們?yōu)楹芜€要不厭其煩地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這一探索與研究的過(guò)程呢？用這樣“既耗時(shí)又耗力”的直接經(jīng)驗(yàn)的方式引導(dǎo)學(xué)生來(lái)探索、發(fā)現(xiàn)卷紙有多長(zhǎng)，有何價(jià)值？答案很簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是讓學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)結(jié)論，而是要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。小課題通過(guò)不同方法的研究，不同思路的探索，讓學(xué)生的思維能力得到提升。

在操作活動(dòng)中，學(xué)生有不同的解決方式，有理解快慢等差異，這是學(xué)生思維水平的不同體現(xiàn)。在這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師沒(méi)有盲目地將間接經(jīng)驗(yàn)直接告訴學(xué)生，也沒(méi)有撒手讓學(xué)生直接去探索發(fā)現(xiàn)。而是選擇了以學(xué)生小組交流、合作操作活動(dòng)、全班交流匯報(bào)的模式進(jìn)行。

【片段四】總結(jié)反思

師：通過(guò)學(xué)習(xí)，有些小組得到的數(shù)據(jù)相差不大，你有什么想法？

生：說(shuō)明這些測(cè)量方法應(yīng)該是可行的，數(shù)據(jù)也應(yīng)該是比較準(zhǔn)確的。

師：有的小組采用實(shí)際測(cè)量的方式，得出卷紙有多長(zhǎng)，想知道答案嗎？

播放實(shí)際測(cè)量的視頻。

師：有些小組的數(shù)據(jù)相差太多，這又是為什么呢？沒(méi)有得出答案的小組，又該怎么辦呢？

事實(shí)上，卷紙的實(shí)際長(zhǎng)度已經(jīng)是一個(gè)明確的答案，那么是不是可以直接告訴學(xué)生，不再需要研究活動(dòng)的過(guò)程呢？同時(shí)，課堂上，如果我們以間接經(jīng)驗(yàn)的方式來(lái)告知學(xué)生，也不會(huì)引來(lái)太多的非議或質(zhì)疑，學(xué)習(xí)理解也不會(huì)存在太大困難。我們希望通過(guò)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的直接參與，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣。在實(shí)踐活動(dòng)中，不但學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，還體會(huì)和掌握了隱藏在活動(dòng)背后更為豐富的觀察、比較、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)思考。

我們也發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)歷同一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，不同的人所獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)往往有所不同，往往存在著個(gè)體差異。這些差異，一方面來(lái)自學(xué)生個(gè)體的感覺(jué)、知覺(jué)的水平差異，另一方面也與學(xué)生個(gè)體對(duì)小課題活動(dòng)的參與程度有密切關(guān)聯(lián)。因此，有些學(xué)生很快思考并理解把卷紙展開(kāi)，看成一個(gè)長(zhǎng)方體，運(yùn)用長(zhǎng)方體體積的相關(guān)知識(shí)測(cè)算出卷紙的長(zhǎng)度；有些學(xué)生想象卷紙底面展開(kāi)可以看作是一個(gè)細(xì)長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，運(yùn)用長(zhǎng)方形的相關(guān)知識(shí)能測(cè)算卷紙的長(zhǎng)……這些學(xué)生，很自然、熟練地把舊知遷移到卷紙有多長(zhǎng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去，而有些學(xué)生還不能利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移探索，這也需要更多的數(shù)學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，不斷地引導(dǎo)學(xué)生思考。

四、教學(xué)反思

在學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)習(xí)者不應(yīng)只是在觀看、在聽(tīng)講，學(xué)習(xí)者更應(yīng)該動(dòng)手參與。學(xué)習(xí)是主動(dòng)參與、動(dòng)手探索的過(guò)程，真正參與思考、進(jìn)行探索才能獲取知識(shí)。 因此，只有學(xué)生親身參與小課題研究，不僅行為上參與，而且認(rèn)知上也參與，同時(shí)情感也參與進(jìn)來(lái)，才能獲得深刻的基本經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是學(xué)生已知什么知識(shí)點(diǎn)，走個(gè)形式，回答教師提出的問(wèn)題；也不僅僅是教師告訴學(xué)生答案，讓學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的驗(yàn)證。學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)會(huì)自我修正，對(duì)所測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，選擇合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)未知的答案始終充滿向往。當(dāng)然，卷紙到底有多長(zhǎng)這一結(jié)果，學(xué)生是無(wú)法在課堂操作過(guò)程中進(jìn)行修正的，因?yàn)殡m然學(xué)生的方法是可行的，但是也不能避免因操作的一些誤差所導(dǎo)致結(jié)果的偏頗。然而，學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中的思考，是完全真實(shí)的存在，也是可行的、必須的，這也正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)——真實(shí)。因而，數(shù)學(xué)小課題的開(kāi)發(fā)與研究實(shí)踐，得反映以下四個(gè)方面的特征。

（一）貼近生活，便于開(kāi)展研究

數(shù)學(xué)小課題研究的素材，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生身邊的熟悉事例，是學(xué)生平常的學(xué)習(xí)和生活中能切實(shí)感受到的。以身邊的事例為研究的對(duì)象，以熟悉的素材為研究的內(nèi)容，更容易引起學(xué)生的關(guān)注和興趣。教師需要思考的是，設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)的活動(dòng)要讓每個(gè)學(xué)生都能參與，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵活動(dòng)，要能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生真正主動(dòng)參與活動(dòng)。教師要根據(jù)自身教學(xué)特點(diǎn)，充分挖掘適合的研究?jī)?nèi)容；要發(fā)動(dòng)家長(zhǎng)和學(xué)生，廣泛收集有意義的活動(dòng)內(nèi)容。

（二）收集信息，有效整合多方資源

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是學(xué)生個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和再組織的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)觀察外包裝、收集各種有用信息、思考哪些信息可以利用以及怎樣利用這些信息，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)提出解決問(wèn)題的方法，這也是學(xué)習(xí)能力的一種鍛煉和提升。同樣，之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)質(zhì)量相關(guān)知識(shí)，通過(guò)質(zhì)量推算出卷紙的長(zhǎng)度是已有數(shù)學(xué)知識(shí)水平和小課題研究活動(dòng)的對(duì)接，用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)去展開(kāi)研究。使學(xué)生在自身真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的再體驗(yàn)和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的更深感悟。

（三）巧妙轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系

什么是轉(zhuǎn)化？怎樣才需要轉(zhuǎn)化？這些問(wèn)題不需要教師在課堂上提出要求，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，能主動(dòng)嘗試轉(zhuǎn)化，能有意識(shí)地運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略解決問(wèn)題，這不正是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所期待的嗎？回顧“卷紙有多長(zhǎng)”這個(gè)數(shù)學(xué)小課題活動(dòng)，教師不是將間接經(jīng)驗(yàn)直接告訴學(xué)生，而是選擇了讓學(xué)生在充分思考和探索的基礎(chǔ)上，利用學(xué)生對(duì)環(huán)形面積的熟悉程度理解這一思路，引發(fā)學(xué)生把圓形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度問(wèn)題來(lái)研究。這也是在依托學(xué)生主體已有的經(jīng)驗(yàn)，這樣有利于學(xué)生積極主動(dòng)開(kāi)展后續(xù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)研究。

（四）利用生成，拓寬解決問(wèn)題的思路

在數(shù)學(xué)小課題研究時(shí)，也可能會(huì)存在教師事先沒(méi)有預(yù)設(shè)到的情況或問(wèn)題。而一旦在活動(dòng)操作中出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題時(shí)，教師需要及時(shí)抓住，有效利用，讓活動(dòng)更加出彩，讓研究更加真實(shí)！學(xué)生提出的觀點(diǎn)，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的方法，更容易讓其他學(xué)生接受和理解。教師在指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)小課題研究的時(shí)候，既要有預(yù)設(shè)的內(nèi)容，也要抓住生成的內(nèi)容，讓學(xué)生感受解決問(wèn)題的多樣化，產(chǎn)生“觸類旁通”的學(xué)習(xí)效果。

布魯納的“經(jīng)驗(yàn)之塔”告訴我們，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)可以歸納為動(dòng)作性、映像性和抽象性三個(gè)類別，塔的最下層就是動(dòng)作性學(xué)習(xí)，包括各種直接的、參與性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生必須親身經(jīng)歷獲得真實(shí)的感受。類似卷紙有多長(zhǎng)的數(shù)學(xué)小課題研究的開(kāi)展，讓學(xué)生積極參加解決生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的活動(dòng)，提高用數(shù)學(xué)的能力，更加豐富學(xué)生生活中處處有數(shù)學(xué)的感受。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、技能、態(tài)度都不同程度得到提升，學(xué)生能力能所發(fā)展。因而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也會(huì)隨之?dāng)U散到其他學(xué)科學(xué)習(xí)中，并且很容易遷移到其他新的情境中去。在深化學(xué)生對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)小課題研究同時(shí)，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生能把間接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為直接經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展！

（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城小學(xué) 210019）