尚瑤瑤　趙院娥

摘要：向量知識(shí)是普通中學(xué)教學(xué)中不可或缺的一項(xiàng)重要內(nèi)容，向量的概念以及其中所引入的新的思想方法，在一定程度上擴(kuò)充了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的容量，同時(shí)由于向量是基于一種新的研究和思考方法，不僅拓寬了中學(xué)生的視野，而且使得數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)一步變得有趣生動(dòng)起來(lái)，大大提高了中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

關(guān)鍵詞：向量；數(shù)學(xué)教學(xué)；向量教學(xué)；知識(shí)整合

一、 中學(xué)數(shù)學(xué)向量知識(shí)概述

（一） 向量的基本概念

我們把既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量；長(zhǎng)度（也稱模）為零的向量統(tǒng)稱為零向量，記0或0；長(zhǎng)度為一的向量統(tǒng)稱為單位向量；向量可用黑體小寫字母a、b、c…或書寫a，b，c…來(lái)表示，也可表示為向量AB、向量 BC、向量CD等；向量也稱自由向量，即與起始點(diǎn)無(wú)關(guān)，僅由大小和方向決定。

（二） 向量的運(yùn)算

向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量積的綜合運(yùn)算，通常叫做向量的線性運(yùn)算（或線性組合）。向量的運(yùn)算包括平面向量的運(yùn)算以及空間向量的運(yùn)算。以向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算為主。

1. 向量運(yùn)算的概念

向量的加（減）法：

如圖，已知向量a，b，則有a+b=c，c-a=b。此方法稱為向量的三角形法則。

同樣的，如圖，得a+b=c，c-a=b。此方法稱為向量的平行四邊形法則。

2. 向量運(yùn)算的性質(zhì)

加（減）法的性質(zhì)：

a+b=b+a

（a+b）+c=a+（b+c）

a=λ1e1+λ2e2（其中e1，e2為不共線向量，且稱為平面內(nèi)一組基底）

數(shù)乘的運(yùn)算性質(zhì)：

λ（a+b）=λa+λb

（λ+μ）a=λa+μa

λa=aλ，其中兩向量共線的充要條件是a=λb

|a|=a·a

二、 利用向量解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干問(wèn)題

向量的價(jià)值在于它的廣泛應(yīng)用性，向量集數(shù)和形一身，連接了幾何、代數(shù)以及三角函數(shù)等方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題。向量以其直觀性和可運(yùn)算性為解決和溝通數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了極大的便利，如推理約簡(jiǎn)，方位確定及形狀確定等。雖然向量里概念較多，但其實(shí)一大部分有其物理上的背景來(lái)源。物理學(xué)中有兩種基本量：標(biāo)量和矢量。物理中的矢量包括力、加速度、位移、動(dòng)量、速度等，矢量與向量雖然相似，但并不完全相同，比如物理學(xué)中的矢量力，除過(guò)大小和方向外，還有作用點(diǎn)，而向量沒(méi)有。但其之間微小的差異并不影響向量在物理學(xué)中的應(yīng)用。不僅僅是物理學(xué)，下面我列舉幾種關(guān)于向量法在各類型題中的應(yīng)用，從中可以更直觀地看出向量知識(shí)的廣泛應(yīng)用性及其存在的重要性。

（一） 用向量的方法解決平面幾何的相關(guān)問(wèn)題

學(xué)習(xí)平面向量之后，那么很多我們?cè)诔踔兴鶎W(xué)過(guò)的基本定理或定義都可以用向量的方法做簡(jiǎn)單的證明。

【例1】在三角形ABC中，M，N分別是AB、AC的中點(diǎn)。用向量法證明：線段MN是底邊BC的一半。

證明：設(shè)△ABC兩邊 AB、AC 之中點(diǎn)分別為 M、N，那么

MN=AN-AM=12AC-12AB=12（AC-AB）

所以MN∥BC，且MN=12BC。

平面幾何問(wèn)題中的向量作用便是把形化成數(shù)的運(yùn)算，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，使得復(fù)雜問(wèn)題變得清晰簡(jiǎn)潔，易于與其他知識(shí)融合，這里主要體現(xiàn)出向量的工具性及雙重性。所以向量知識(shí)作為工具在平面幾何問(wèn)題上有著很好的運(yùn)用。

（二） 用向量的方法解決立體幾何的相關(guān)問(wèn)題

向量在立體幾何中的應(yīng)用最為常見(jiàn)，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可以解決共線、線段共面、線線（線面、面面）平行、線線（線面、面面）垂直、長(zhǎng)度（模）、距離 及兩點(diǎn)間距離公式等諸多空間幾何問(wèn)題。

【例2】在長(zhǎng)、寬、高分別為1、1、1.5的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-ACD1，則 O12，12，0，A11，1，32，C（0，1，0）

所以A1O=-12，12，-32，B1C=-1，0，-32，A1B1=0，1，0。

設(shè)A1O與B1C的公共法向量為n=x，y，12，則n⊥A1On⊥B1Cx，y，12·-12，12，-32=0x，y，12·-4，0，-32=0-x+y-32=0-x-32=0x=-34y=34

所以n=-34，34，12，所以A1O與B1C的距離為

d=|A1B1·n||n|=32222。

當(dāng)把平面向量推廣到空間，與立體幾何知識(shí)緊密聯(lián)系起來(lái)，就能在很大程度上強(qiáng)化學(xué)生的空間思維模式，并且能在立體幾何問(wèn)題的解決中進(jìn)一步掌握加強(qiáng)掌握向量知識(shí)，兩者的柔和可謂是相輔相成。在這類型的應(yīng)用上，可以解決很多長(zhǎng)度，距離等空間問(wèn)題，大大提高中學(xué)生解立體幾何題的效率。

（三） 用向量的方法解決解析幾何的相關(guān)問(wèn)題

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何，為了把代數(shù)運(yùn)算運(yùn)用到幾何中來(lái)，最基礎(chǔ)的方法就是把空間幾何的構(gòu)造有系統(tǒng)的數(shù)量化，代數(shù)化。所以我們首先在這里引入向量法以及向量的相關(guān)運(yùn)算方法，而且可以通過(guò)向量來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系，使得很多解析幾何問(wèn)題更簡(jiǎn)便快捷的得到解決。

【例3】已知三角形三頂點(diǎn)為P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z3），P3（x3，y3，z3）。求△P1P2P3的重心（三角形三條中線的公共點(diǎn)）的坐標(biāo)。

解：如圖

設(shè)△P1P2P3的三條中線為P1M1，P2M2，P3M3。三中線的公共點(diǎn)為G（x，y，z）

因此有P1G=2GM1。即重心G將中線分為三等分。

因?yàn)镸1為P2P3的中點(diǎn)，所以得M1的坐標(biāo)為M1x2+x32，y2+y32，z2+z32

再由公式得

x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33，z=z1+z2+z33。

所以△P1P2P3的重心坐標(biāo)為Gx1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33。

在這一問(wèn)題上，利用向量的線性運(yùn)算，就可以解決集合中的與共面、共線、定比分點(diǎn)等有關(guān)的仿射性質(zhì)的幾何問(wèn)題。為了解決幾何中常見(jiàn)的長(zhǎng)度。交角等有關(guān)的度量問(wèn)題，又要使用到向量的數(shù)量積，即內(nèi)積。我們把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以向量的運(yùn)算規(guī)律為基礎(chǔ)的代數(shù)的演算，這樣，代數(shù)的方法也就引入到幾何中來(lái)了。

（四） 用向量的方法解決代數(shù)的相關(guān)問(wèn)題

通常情況下，可以先把已知條件轉(zhuǎn)化成向量的表達(dá)式，然后進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，最后把運(yùn)算得出的結(jié)果轉(zhuǎn)化成求證的結(jié)論。

向量是代數(shù)研究很重要的對(duì)象之一。它具有大小和方向，可以進(jìn)行加減運(yùn)算，可以與實(shí)數(shù)結(jié)合進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，也可以進(jìn)行內(nèi)積等運(yùn)算。這些運(yùn)算都是重要的幾何性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以幫助我們計(jì)算角度、長(zhǎng)度、面積等幾何度量問(wèn)題并且可以幫助我們刻畫幾何圖形（直線、平面等），以及判斷它們的位置關(guān)系。在以后的學(xué)習(xí)中我們還可以學(xué)到更多關(guān)于向量的其他運(yùn)算。

【例4】已知函數(shù)f（x）=9+x2+（4-x）2+4，求函數(shù)的最小值。

解：構(gòu)造向量p=（3，x），q=（4-x，2），則

p+q=（7-x，2+x）。

那么顯然

f（x）=9+x2+（4-x）2+4=|p|+|q|≥|p+q|=（7-x）2+（2+x）2，

當(dāng)且僅當(dāng)向量p=（3，x），q=（7-x，2）共線且方向相同時(shí)等號(hào)成立，

則此時(shí)x=4。

在代數(shù)問(wèn)題里，主要是構(gòu)造向量求最值問(wèn)題，以向量的不等式為基礎(chǔ)性質(zhì)，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得到最大值（或最小值）。其次，因?yàn)檫\(yùn)算很多，所以一定要掌握向量的數(shù)量積，向量積的定義及數(shù)量積的性質(zhì)，掌握其計(jì)算方法。

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作者簡(jiǎn)介：

尚瑤瑤，趙院娥（導(dǎo)師），陜西省延安市，延安大學(xué)。