孫艷萍

摘 要：淺談如何將數(shù)學(xué)研究中的哲學(xué)思考與高校數(shù)學(xué)教育有機(jī)結(jié)合，用數(shù)學(xué)研究中的哲學(xué)方法與哲學(xué)規(guī)律指導(dǎo)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程教學(xué)，提高教學(xué)效果，加深學(xué)生對學(xué)科的認(rèn)識和理解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)研究；哲學(xué)規(guī)律；高校教學(xué)研究；數(shù)學(xué)哲學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）11-0087-03

Abstract： This article discusses the organic combination method of the philosophical thought and the college mathematical teaching. This method can improve the teaching effective and deepen student's comprehension about the mathematics.

Keywords： teaching research； philosophical rule； college teaching； mathematical philosophi； mathematical teaching

一、數(shù)學(xué)研究的哲學(xué)方法

古今中外，數(shù)學(xué)研究的進(jìn)展和哲學(xué)的發(fā)展總是息息相關(guān)的。例如：英國數(shù)學(xué)家布爾發(fā)表了《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，初步奠定了數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)。數(shù)理邏輯對于數(shù)學(xué)其他分支如集合論、數(shù)論、代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等的發(fā)展有重大的影響，特別是對新近形成的計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展起了推動作用。反過來，其他學(xué)科的發(fā)展也推動了數(shù)理邏輯的發(fā)展。另外[1]對于無限進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，無限和有限的研究亞里士多德指出，既然研究自然是要研究空間的量、運(yùn)動和時(shí)間的，其中一個(gè)必然不是無限的就是有限的。芝諾的三個(gè)著名悖論的提出與解決的過程在哲學(xué)上引發(fā)了人們對潛無限和實(shí)無限哲學(xué)理論的思考，這些思考也促進(jìn)了微積分學(xué)關(guān)于完整的極限理論的建立。隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家徐利治提出了雙向無限原則[2]，并在此原則指導(dǎo)下研究時(shí)間和空間問題時(shí)利用多層次模型進(jìn)行新的探索。中國數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的方法論方面也進(jìn)行了積極的研究并明確提出了化歸原則，發(fā)展了抽象度分析法，審美知覺選擇性原則[3]。這些原則在現(xiàn)階段不僅指導(dǎo)著我們的數(shù)學(xué)研究工作，也同時(shí)指導(dǎo)著教學(xué)工作。筆者在有限元領(lǐng)域做了一些工作，深刻體會了學(xué)科之間的普遍聯(lián)系和互相促進(jìn)的作用。有限元方法屬于計(jì)算力學(xué)的范疇，是解決工程中遇到的大量問題的一種強(qiáng)有力的方法，其解決問題范圍非常廣泛，從固體到流體，從靜力到動力，從力學(xué)問題到非力學(xué)問題。而應(yīng)用計(jì)算數(shù)學(xué)的方法則使其在理論分析方面不斷深化，不斷發(fā)展，從抽象分析的角度研究方程的求解問題。這些研究和發(fā)展能夠指導(dǎo)實(shí)踐的發(fā)展，使工程計(jì)算更加有效，更加有針對性。

數(shù)學(xué)的曲折發(fā)展遵循著一定的哲學(xué)規(guī)律，在不斷演變中獲得新的進(jìn)展和持續(xù)不斷的生命力，但是哲學(xué)分析不能替代數(shù)學(xué)的具體研究，而應(yīng)當(dāng)使兩者有機(jī)結(jié)合起來。

二、數(shù)學(xué)研究的哲學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)關(guān)系

柏拉圖認(rèn)為眼和耳朵只是知覺的工具，但不是思考的工具。知識在于思索而不是印象，所以獲取知識的是心靈，而非感官。由于數(shù)學(xué)研究工作者同時(shí)也是數(shù)學(xué)教育的實(shí)施者，如何將數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及數(shù)學(xué)的核心思想傳遞給學(xué)生。在教育實(shí)踐中使數(shù)學(xué)課不僅傳遞知識，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中理性思考，而且將知識轉(zhuǎn)化成為實(shí)踐，增加感性認(rèn)識，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并通過思考和學(xué)習(xí)解決問題。

（一）教學(xué)過程是思辨的過程，對數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識有助于學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

可以看到很多文章都闡述了大學(xué)數(shù)學(xué)課程知識內(nèi)部的哲學(xué)關(guān)系，例如[4]指出微積分中的質(zhì)量互變規(guī)律，否定之否定規(guī)律，概率論中的偶然性與必然性，共性與個(gè)性等等，當(dāng)然在其他數(shù)學(xué)學(xué)科中也存在很多哲學(xué)規(guī)律。這些規(guī)律的研究和總結(jié)，是在對相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上提出來的。這些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，能夠有效的推動教學(xué)過程，提高教學(xué)效率。

在教學(xué)過程中，一門科目的知識結(jié)構(gòu)往往是從概念，定義出發(fā)，然后得出一些基本結(jié)論和處理相關(guān)問題的方法，再將結(jié)論和方法應(yīng)用于不同的問題，實(shí)現(xiàn)知識的擴(kuò)展。大學(xué)工科數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)是從極限開始的，這往往也是學(xué)生容易產(chǎn)生巨大疑惑的地方，從初等數(shù)學(xué)的代數(shù)，幾何等確定量的認(rèn)識過渡到無窮量的認(rèn)識，本質(zhì)上是人類認(rèn)識水平的飛躍，經(jīng)過了漫長的思維發(fā)展過程和哲學(xué)思考的深化，同時(shí)這種認(rèn)識的產(chǎn)生也是在現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展基礎(chǔ)上建立起來的。例如高等數(shù)學(xué)中的重要極限和函數(shù)極限運(yùn)算法則總是比較容易搞混，即：

學(xué)生總是用函數(shù)極限的運(yùn)算法則來計(jì)算類似于重要極限的問題，則類似于左邊的問題往往得到的答案是1，這顯然是不對的。在數(shù)學(xué)分析中一定要區(qū)分無限和有限，比如函數(shù)極限的局部有界性，將其放到整個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)就不能保證正確性。在無窮小的比較中，明確給出無窮小的比較也有階的概念，對于無窮小的和可以是有界的，無窮小的，也可以是無窮大的。要想證明函數(shù)的單調(diào)有界必有極限這個(gè)重要的極限存在準(zhǔn)則，必須要考慮實(shí)數(shù)的稠密性等等。

所以在教學(xué)中使學(xué)生了解無窮的產(chǎn)生過程以及古人的哲學(xué)思考至關(guān)重要。人類對無限的認(rèn)識是不斷在發(fā)展的，例如康托的超限數(shù)理論，徐利治先生的雙向無限性原則等都是人們對無限認(rèn)識的一個(gè)過程。通過此教學(xué)過程，使學(xué)生充分認(rèn)識無限和有限的巨大差別，思維方式產(chǎn)生了巨大的差別，分析問題的能力也得到提升。

（二）對數(shù)學(xué)理論的探索有助于準(zhǔn)確把握課堂教學(xué)內(nèi)容

在數(shù)學(xué)研究工作中，大學(xué)本科的基礎(chǔ)課程和知識是進(jìn)行進(jìn)一步研究工作的基礎(chǔ)，并且隨著數(shù)學(xué)研究各個(gè)方向的不斷深入，作為教學(xué)工作者對知識的理解不斷深化，這種深化不是通過教學(xué)重復(fù)得到的，是在應(yīng)用的過程中的深化，在解決新問題的過程中的理解，例如高等數(shù)學(xué)中的格林公式，表述的是閉區(qū)域上的二重積分和圍繞區(qū)域邊界的正向光滑曲線積分的等量關(guān)系的一個(gè)公式，這里P，Q，R，均為具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。

在教學(xué)過程中如果僅就此公式進(jìn)行講解顯然內(nèi)容單薄，學(xué)生也會覺得這個(gè)公式?jīng)]有什么用，但是如果能進(jìn)一步在教學(xué)的過程中前后聯(lián)系，牛頓萊布尼茲公式，分部積分法，高斯公式，斯托克斯公式均是屬于格林公式的范疇，并且在變分學(xué)的意義下，這些公式均是叫做格林公式。我想這樣對于初學(xué)微積分的學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)這門課程的內(nèi)在聯(lián)系就會更清晰的展現(xiàn)在學(xué)生面前。當(dāng)然這還僅僅局限在課本范圍內(nèi)對學(xué)生的講解，再進(jìn)一步，像電磁理論中的格林定理，高斯定理，無源場，無旋場，流體力學(xué)，熱力學(xué)，電學(xué)等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，例如[5]文中給出了幾個(gè)實(shí)用性的例子。在變分學(xué)意義下，格林公式變化更加豐富，例如：

等等，當(dāng)然我們在這里不能窮盡格林公式的各種形式。通過這樣的一步步的遞進(jìn)式教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)對格林公式有了感性認(rèn)識，再更進(jìn)一步討論此問題，將格林公式在數(shù)學(xué)上的很多不同的形式引入課堂，這樣從學(xué)生的角度格林公式不再是一個(gè)簡單的公式，而是具有了很強(qiáng)理論和應(yīng)用價(jià)值的很重要的知識。在此教學(xué)過程中，教師對數(shù)學(xué)理論知識研究的深度決定了教學(xué)內(nèi)容的高度，所以數(shù)學(xué)研究與教學(xué)是相輔相成的，數(shù)學(xué)研究對教學(xué)過程具有指導(dǎo)和促進(jìn)作用。通過課堂知識教學(xué)將課本知識延伸到理論知識和應(yīng)用實(shí)踐，開闊學(xué)生視野，適合高校對學(xué)生培養(yǎng)的最終目標(biāo)。

三、對數(shù)學(xué)發(fā)展的哲學(xué)規(guī)律的研究有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造能力

馬克思辯證法的基本原理指出矛盾雙方相互依存，相互轉(zhuǎn)化，相互包含，在相互促進(jìn)作用中得到發(fā)展。經(jīng)典數(shù)學(xué)中命題分為真命題和假命題，[2]將此定義為“無中介原則”。雖然經(jīng)典數(shù)學(xué)并未將無中介原則作為公理明確列出，但是在邏輯和知識系統(tǒng)的建立和展開中，無形地將此原則貫穿于始終。但是隨著數(shù)學(xué)理論和解決問題的方法不斷發(fā)展，可以看到這種原則并不總是正確的。1983年朱梧 和肖溪安先生共同提出中介邏輯系統(tǒng)ML和中介公理幾何論系統(tǒng)MS，簡稱中介數(shù)學(xué)系統(tǒng)MM，承認(rèn)對立面有中介狀態(tài)的馬克思主義哲學(xué)原理，構(gòu)造系統(tǒng)時(shí)無條件貫徹“中介原則”的一種邏輯系統(tǒng)和集合論系統(tǒng)，[2]指出MM為精確性經(jīng)典數(shù)學(xué)和未來處理模糊現(xiàn)象的不確定性數(shù)學(xué)提供了一個(gè)共同的理論基礎(chǔ)。

掌握數(shù)學(xué)理論的新進(jìn)展，在教學(xué)中堅(jiān)持發(fā)展變化的觀點(diǎn)理解知識，融入教學(xué)：

微積分經(jīng)歷了漫長的發(fā)展，直到十九世紀(jì)基礎(chǔ)理論才日益完善，人類對數(shù)學(xué)的研究由常量到變量。概率論的建立是將數(shù)學(xué)的研究對象從確定性到隨機(jī)性的擴(kuò)展，康托集合論的創(chuàng)立，不僅為整個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)提供了一條共同的理論基礎(chǔ)，更重要的是由此完成了數(shù)學(xué)研究由有限，潛無限再到實(shí)無限的再擴(kuò)充。本世紀(jì)六十年代，由扎特（Zadeh）創(chuàng)始而被發(fā)展起來的模糊集理論，標(biāo)志著數(shù)學(xué)的發(fā)展已進(jìn)入了數(shù)學(xué)研究由精確性到模糊性的再擴(kuò)充。隨著近年來網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，數(shù)據(jù)的收集和整理凸顯出了重要的作用，一些新的數(shù)據(jù)分析方法不斷的被提出，大數(shù)據(jù)分析作為一門新興的學(xué)科，越來越多的科研工作者投入其中。從而可以看到，數(shù)學(xué)一直處在發(fā)展變化的過程中，作為數(shù)學(xué)教育工作者，能正確的把握學(xué)科發(fā)展變化，并將這些發(fā)展變化融入教學(xué)過程，是非常重要的，例如在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的微分和積分內(nèi)容時(shí)，引入相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，將建立在一維問題上的處理問題的方法擴(kuò)展到二維三維，以及有限元方法，這些知識的延伸思考和講解，有助于擴(kuò)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。也可以使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)科發(fā)展的無限性，并且這個(gè)過程是一個(gè)不斷更新的解決新問題，產(chǎn)生新方法的動態(tài)發(fā)展過程。

四、結(jié)束語

要進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)研究，一方面要具有深厚的數(shù)學(xué)知識，另一方面也要運(yùn)用哲學(xué)工具指導(dǎo)研究過程，避免盲目性。傳播知識和科學(xué)研究是高校的主要職能，學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論中的哲學(xué)規(guī)律與高校數(shù)學(xué)教學(xué)是相互促進(jìn)的，教學(xué)過程也是一個(gè)對知識理解加深的過程，反過來促進(jìn)研究的進(jìn)行。而在教學(xué)的過程中引入哲學(xué)思考，不但促進(jìn)大學(xué)生思維的發(fā)展，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新能力，并且能夠很好的提高教學(xué)效果。

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