劉勇華

[摘要]選取部分例題，剖析構(gòu)造函數(shù)法在不等式、恒成立、最值問(wèn)題中的應(yīng)用，以幫助學(xué)生建立解決一類(lèi)問(wèn)題的方法，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、觸類(lèi)旁通.

[關(guān)鍵詞]構(gòu)造函數(shù)；不等式；恒成立；最值問(wèn)題

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）08002901

數(shù)學(xué)解題的過(guò)程是一個(gè)理性分析和智慧探究的過(guò)程.由于數(shù)學(xué)題目類(lèi)型眾多，解題方法多變，如果解題不得法，極易出現(xiàn)解題過(guò)程煩瑣且錯(cuò)誤頻發(fā)的狀況.應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法，可以?xún)?yōu)化解題的步驟和過(guò)程，快速、高效地解決不等式、恒成立、最值等難度稍大的數(shù)學(xué)問(wèn)題.下面舉例剖析，以供參考.

一、構(gòu)造函數(shù)解不等式問(wèn)題

有關(guān)不等式知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，它與函數(shù)的關(guān)系密切相關(guān)，尤其基本初等函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性就是通過(guò)不等式來(lái)定義的.在解不等式問(wèn)題時(shí)，可結(jié)合兩者之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，使問(wèn)題迎刃而解.

【例1】解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

解析：原不等式可變形為

2x+13+10x+1>x3+5x

.設(shè)f（x）=x3+5x，那么原不等式又可變?yōu)閒2x+1

.由于函數(shù)f（x）為增函數(shù)，因此2x+1>x

，即

（x+2）（x-1）x+1<0

，得不等式的解集為{x|x<-2或-1

[點(diǎn)評(píng)]一道高次分式與不等式結(jié)合的解不等式問(wèn)題，如果按照常規(guī)思路求解，即需要移項(xiàng)、通分、因式分解，最終很難產(chǎn)生結(jié)論.而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性可巧妙地推出結(jié)論，思路新穎.

二、構(gòu)造函數(shù)解恒成立問(wèn)題

探究恒成立問(wèn)題的一般思路是最值轉(zhuǎn)化法，即通過(guò)求滿(mǎn)足題意函數(shù)的最大值或最小值，從而求出參數(shù)的取值范圍.函數(shù)的最值求解是我們所熟悉的常見(jiàn)題型，因此，可以將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題而得解.

【例2】設(shè)n為正整數(shù)，an=1+

12+13+…+1n，bn=a2n+1-a2n-1

，若數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起以后所有項(xiàng)都大于2k-5，則k的范圍為.

[點(diǎn)評(píng)]恒成立問(wèn)題可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，從而使問(wèn)題順利得解.

三、構(gòu)造函數(shù)求最值問(wèn)題

構(gòu)造函數(shù)解決與最值有關(guān)的問(wèn)題是常見(jiàn)的一種解題策略，構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵是引入變量，通過(guò)對(duì)變量的探究和引申，從而求出研究問(wèn)題的最值或取值范圍.

【例3】已知A，B分別是橢圓G：x2a2

+y2b2=1（a>b>0）

的上、下頂點(diǎn)，P是橢圓G上的

動(dòng)點(diǎn)，若PB的最大值為AB，則橢圓的離心率的取值范圍為.

解析：設(shè)點(diǎn)P（x，y），由點(diǎn)P在橢圓上，有x2a2+

y2b2

=1（a>b>0）

，從而

PB2=

x2+（y+b）2=

a21-y2b2+

（y+b）2

=c2b2y2+2by+a2+b2

，由點(diǎn)P在橢圓上，故自變量y∈[-b，b]（而不是任意實(shí)數(shù)）.由于條件恰好給出了該函數(shù)取最大值的條件，即當(dāng)y=b時(shí)取得最大值，即在區(qū)間[-b，b]的端點(diǎn)b處取得最大值，結(jié)合f（y）=c2b2

y2+2by+a2+b2

的圖像，其對(duì)稱(chēng)軸y=b3c2

應(yīng)滿(mǎn)足b3c2

≥b

，從而可得其離心率e∈0，22.

[點(diǎn)評(píng)]在本題的探究過(guò)程中，根據(jù)函數(shù)的定義域，即橢圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的取值范圍，結(jié)合所得的二次函數(shù)圖像可得出關(guān)于b，c的不等關(guān)系.該題也可做如下變形：已知A是橢圓

G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的右頂點(diǎn)，P是橢圓G上的動(dòng)點(diǎn)，M（m，0），若PM的最小值為AM，確定m的取值范圍.

總之，構(gòu)造函數(shù)輔助解題是高中數(shù)學(xué)中常用的一種解題

方法

與技巧，它是函數(shù)思想和構(gòu)造法綜合應(yīng)用的一種體現(xiàn).應(yīng)用

構(gòu)造函數(shù)法的關(guān)鍵是根據(jù)題目的條件，利用函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造出滿(mǎn)足題意的函數(shù)對(duì)象，從而使所求解的問(wèn)題得以順利解決.

（責(zé)任編輯黃春香）