劉婷

摘 要：《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》闡述了模型思想的重要意義，引導(dǎo)教師注重學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想建立，不但要重視結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型的過程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的探究過程，從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型的過程，并在建模過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自覺地用數(shù)學(xué)的方法去分析、解決生活中的問題。

關(guān)鍵詞：模型思想；小學(xué)數(shù)學(xué)；滲透

引言

在小學(xué)階段，從《課標(biāo)》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。如何建立數(shù)學(xué)模型呢？《課標(biāo)》也給出了答案：以“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用于擴(kuò)展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種教學(xué)模式。

一、激趣創(chuàng)設(shè)，發(fā)現(xiàn)、提出問題，初步感知

教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用多種形式盡可能地創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣、目標(biāo)明確、富有挑戰(zhàn)性的問題情境，來激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引發(fā)學(xué)生的探究欲望。在探索解決問題的過程中，感受新知識(shí)產(chǎn)生的背景，理解新知識(shí)引入的必要性及作用，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為生動(dòng)有效。例如，《鴿巢問題》教學(xué)這一節(jié)課中，可以通過學(xué)生熟知的紙牌魔術(shù)展示，有目的的激發(fā)學(xué)生在課堂上的積極性；在“魔術(shù)揭秘”的猜測中引發(fā)學(xué)生探究的興趣和探索的欲望，從而促進(jìn)學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。

二、自主探究，經(jīng)歷過程，探尋規(guī)律，初步建立模型

學(xué)習(xí)素材是學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，因此教師首先要給學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)素材，多側(cè)面、多維度、全方位感知某類事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系。例如：《鴿巢問題》教學(xué)這一節(jié)課中的探究環(huán)節(jié)。

師：回想一下，以往我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)廣角時(shí)都是把復(fù)雜的問題簡單化，也就是運(yùn)用化繁為簡的方法來研究的，今天我們繼續(xù)運(yùn)用化繁為簡的方法，先來研究一個(gè)數(shù)據(jù)小、容易理解的例子。請看——

1.出示：先出示三個(gè)筆筒，再出示四支筆。

2.問題：把這四支筆放到筆筒里，都可以怎么放？會(huì)有幾種情況？

出示：不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有2支筆。

3.你們同意嗎？這句話你怎么理解？

4.活動(dòng)要求：到底是不是這樣呢？這樣吧，利用你手中的學(xué)具或者畫圖表示，來擺一擺、畫一畫，寫一寫，把你的想法記錄下來。

5.學(xué)生活動(dòng)。暴露資源，組織研討。

6.研討匯報(bào)：誰來展示一下你們的擺放情況？

（1）用“枚舉法”證明

①畫圖（圖） ②數(shù)的分解（圖2）

（2）用“假設(shè)法”證明

教師實(shí)物演示：每個(gè)筆筒里先放1支筆，還剩下1支，不管怎么放都能夠保證每個(gè)筆筒里至少有2支筆。

總結(jié)：剛才咱們用不同的方法證明，得出了什么結(jié)論？

7.在不斷變化中提升認(rèn)識(shí)：請同學(xué)們思考，如果把5支筆放進(jìn)4個(gè)筆筒里，總有一個(gè)筆筒至少有幾支筆？6支筆放進(jìn)5個(gè)筆筒里呢？……100支筆放進(jìn)99個(gè)筆筒呢？

8.要求：先獨(dú)立思考，可以在本上畫一畫，寫一寫，然后把你的想法和同學(xué)交流一下。

9.你還是通過枚舉法把所有情況都找出來嗎？

生：不是。

師：的確，當(dāng)數(shù)值比較大時(shí)，枚舉法就比較煩瑣，但也不能否認(rèn)枚舉說明法的價(jià)值，正所謂尺有所長，寸有所短，具體情況具體分析。

10.你怎么知道總有一個(gè)筆筒至少放了兩個(gè)支筆的？

預(yù)設(shè)：假設(shè)每個(gè)筆筒都放一支筆，那么還多一支筆，放任意一個(gè)筆筒里，所以至少有兩支筆放到了一個(gè)筆筒里。

11.觀察一下板書上的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

筆數(shù) 筆筒數(shù) 至少數(shù)

4 3 2

5 4 2

6 5 2

100 99 2

總結(jié)：只要分的筆數(shù)比筆筒數(shù)多1，總有一個(gè)筆筒里至少有2支筆。

12.課件出示：7只鴿子飛回5個(gè)鴿籠，至少有（ ）只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里。

請同學(xué)們先自己思考，可以利用咱們剛才的研究方法，自己寫一寫、畫一畫，想一想，然后在小組內(nèi)討論。

13.交流、說理活動(dòng)，提煉算式。

師：能用算式來表示嗎？

生：7÷5=1……2

14.揭示原理：師：像上面這樣的現(xiàn)象蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)道理，最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以該原理又稱“狄里克雷原理”。這一原理有兩個(gè)經(jīng)典案例，一個(gè)是把10個(gè)蘋果放進(jìn)9個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少放了2個(gè)蘋果，所以這個(gè)原理又稱為“鴿巢問題”；另一個(gè)是6只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿巣，總有一個(gè)鴿巣至少飛進(jìn)2只鴿子，所以也稱為“鴿巢原理”。

15.師：剛才往筆筒里放筆的問題里誰是書，誰是抽屜？誰是鴿子，誰是巢？

生：筆是書，是鴿子；筆筒是抽屜，是巢。

考慮到“鴿巢問題”是一類較為抽象和艱澀的數(shù)學(xué)問題，對全體學(xué)生而言都具有一定的挑戰(zhàn)性。為此，設(shè)計(jì)了以學(xué)生熟悉的、可操作的筆和筆筒為課堂研究素材，采用小組學(xué)習(xí)、集體討論等以學(xué)生自主實(shí)踐活動(dòng)為主體的教學(xué)模式。以鴿子、巢，書、抽屜為多樣的提升素材，學(xué)生熟悉，感興趣，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性會(huì)有所提高；通過把3個(gè)素材進(jìn)行對比、關(guān)聯(lián)、分析，利用有余數(shù)除法解決了這3個(gè)具體問題后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解決這一類“鴿巢問題”的一般方法。學(xué)生可以得出“抽屜里至少有‘商+1個(gè)物體”的 “公式”，也可以“a÷n=b……c，總有一個(gè)抽屜至少可以放（b+1）個(gè)物體”的抽象形式來刻畫。

經(jīng)歷這樣的探索過程，才能使學(xué)生更加明確了抽屜和物體、鴿子和巢之間的密切聯(lián)系，加深了對 “鴿巢問題”模型的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)的思想、方法得到沉積、凝聚。

三、提升思維，靈活應(yīng)用，深化模型思想

從具體的問題經(jīng)歷抽象提煉的過程，以學(xué)生熟悉的材料作為學(xué)習(xí)素材，初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而不斷讓學(xué)生用所建立的初步數(shù)學(xué)模型思想來解釋生活實(shí)際中的問題。在《鴿巢問題》一課，當(dāng)把鴿巢問題這一模型抽象出來之后，緊接著讓學(xué)生解釋了開課的魔術(shù)，這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)就是對模型思想的進(jìn)一步深化，用探尋出的規(guī)律解釋其中的奧秘，真正理解和應(yīng)用“數(shù)學(xué)模型”。

模型思想應(yīng)用的設(shè)計(jì)形式設(shè)計(jì)多樣，不僅大大提升學(xué)生學(xué)習(xí)與探索、研究、應(yīng)用的趣味性和積極性，也能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生的思維步步深入。

四、結(jié)語

綜上，數(shù)學(xué)建模思想的形成過程是一個(gè)綜合性的過程，小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成過程大致分三個(gè)步驟：

一，感知數(shù)學(xué)模型階段，這一階段需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)和提出問題；

二，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型階段，這一階段就是自主探究，經(jīng)歷問題解決、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程；

三，深化數(shù)學(xué)模型階段，這一階段就是進(jìn)一步提升對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，解釋與應(yīng)用模型，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型價(jià)值的過程。

數(shù)學(xué)模型思想的建立，不能僅僅是看重結(jié)果，更要關(guān)注的是建模的過程，把它滲透到課程中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，滲透到知識(shí)形成的過程中，滲透到課堂活動(dòng)中，滲透到知識(shí)應(yīng)用中，從而滲透到學(xué)生思維過程中。使學(xué)生在實(shí)際操作中親身經(jīng)歷、感受、理解、掌握和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型思想，真正地讓數(shù)學(xué)模型思想在與知識(shí)能力形成的過程中共同生成。通過模型思想的構(gòu)建，逐步培養(yǎng)學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉勛達(dá).小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想及培養(yǎng)策略研究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2013.endprint