劉長玉

摘要：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，需要花費(fèi)較多的時(shí)間、精力去學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于運(yùn)算的知識和技能。然而，受信息化時(shí)代的影響，現(xiàn)階段學(xué)生的運(yùn)算能力并不樂觀。為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，教師可以采用“熟悉法則，掌握基本技能;關(guān)注細(xì)節(jié)，理清解題思路;善于甄別，提高解題能力;靈活運(yùn)算，提升綜合素養(yǎng)”的教學(xué)方法，和學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在美和趣味性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算能力;減負(fù)增效;基礎(chǔ)知識;基本技能

2017年9月進(jìn)行的蘇州市學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測的調(diào)查結(jié)果顯示：有48.4%的初一學(xué)生、60.5%的初二學(xué)生、64.7%的初三學(xué)生參加了課外輔導(dǎo)班。這次質(zhì)量監(jiān)測的數(shù)據(jù)說明了大部分的學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)較重，學(xué)習(xí)效率較低，減負(fù)工作勢在必行。監(jiān)測中還反映出數(shù)學(xué)學(xué)科的減負(fù)任務(wù)最重，其符號抽象、運(yùn)算煩難、題海浩瀚、推理枯燥是讓學(xué)生產(chǎn)生畏難心理的主要原因。其中，現(xiàn)階段初中生的運(yùn)算能力受信息化時(shí)代的影響較大，學(xué)生的動手能力不強(qiáng)，低下的運(yùn)算能力影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

其實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有語言簡潔、構(gòu)造精巧、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、思維縝密的學(xué)科魅力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“運(yùn)算能力不僅僅是一種操作能力，更是一種思維能力?！盵1]培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要的意義。教師需要科學(xué)合理地組織課堂學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在理解數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)上合理練習(xí)，形成科學(xué)合理的運(yùn)算能力。教師可以通過改變教學(xué)方法，拓寬學(xué)生的思維廣度與深度，和學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在美和趣味性，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們活躍的數(shù)學(xué)思維和扎實(shí)的解題能力，讓更多的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)。筆者結(jié)合初一年級蘇科版數(shù)學(xué)教材中“同底數(shù)冪的乘法”的教學(xué)片段，探討如何組織教學(xué)以提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

一、經(jīng)歷過程，加深對法則的理解

教師要正確理解運(yùn)算能力的含義，不能將其僅僅等同于運(yùn)算技能，也不能將注意力僅僅集中在對運(yùn)算法則的記憶、運(yùn)算過程的技巧訓(xùn)練上。可以設(shè)計(jì)如下：

師：an表示什么意義？其中a與n分別叫什么？請回顧一下冪的意義。

生：表示n個(gè)a相乘，其中a是底數(shù)，n是指數(shù)。

師：很好，這是冪的表示方法。根據(jù)冪的意義，解釋105表示什么？

生：105表示5個(gè)10相乘。這里需要注意底數(shù)相同，是相同因數(shù)相乘，乘法用乘方表示，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美。

師：試一試根據(jù)乘方的意義，解答下列各題。

102×104=（10×10）×（10×10×10×10）=10 （? ）

104×105=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 10 （? ）

師：如何理解10m×10n（m， n為正整數(shù)）？如何表示結(jié)果？把乘方相乘，如何考慮？

生：（m+n）個(gè)10的積。

師：對的，今天我們來研究am×an等于什么？

熟悉法則是解題的基礎(chǔ)。只追求學(xué)生算得對又快而缺少對運(yùn)算意義的了解，是對運(yùn)算能力的曲解。教師應(yīng)該設(shè)置有關(guān)同底數(shù)冪的問題情境，和學(xué)生一起理解相關(guān)的概念、法則、公式和定理等基礎(chǔ)知識，經(jīng)歷法則產(chǎn)生的過程，明確實(shí)施運(yùn)算的依據(jù)。只有這樣，學(xué)生才能理解公式的本質(zhì)，掌握基本的數(shù)學(xué)知識。當(dāng)然，例題的選擇要體現(xiàn)基礎(chǔ)性，不可好高騖遠(yuǎn)。

例1 計(jì)算：（1）103·105（2）（-x）2（-x）3（3）a3·a5

練習(xí)計(jì)算：（1）n2·n5（2）（-m）2（-m）3（3）83×84

判斷正誤：x3+x5= x8（? ? ）

設(shè)計(jì)意圖：通過一組簡單的同底冪的乘法運(yùn)算，要求學(xué)生懂得“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”這一運(yùn)算法則，并深刻理解：“同底數(shù)冪的乘法的兩個(gè)要素是：①冪的底數(shù)相同，②運(yùn)算為乘法。這兩個(gè)條件缺一不可。結(jié)論是：①底數(shù)不變，②指數(shù)相加”。從基礎(chǔ)教育的目標(biāo)要求來看，重要的不再是計(jì)算的熟練程度和技巧，而是對運(yùn)算意義的理解。

二、關(guān)注細(xì)節(jié)，理清解題思路

細(xì)節(jié)決定成敗。關(guān)注細(xì)節(jié)也可以培養(yǎng)學(xué)生縝密細(xì)致的思維習(xí)慣，是數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力之一。其實(shí)大多數(shù)學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤率高，并非不理解知識點(diǎn)，而是疏忽了細(xì)節(jié)，例如符號、括號等。因此，教師在選擇例題時(shí)，要注重層次性，不能千題一面、機(jī)械重復(fù)，應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察：底數(shù)、指數(shù)、符號等，多方位、多角度地分析，避免犯錯(cuò)。教師要在學(xué)生理解公式、掌握解題基本技能的基礎(chǔ)上，提醒學(xué)生關(guān)注解題細(xì)節(jié)，落實(shí)基本方法，積累觀察經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力。

例2計(jì)算：（1）-x4·x6（2）a2n+1·an·a（a為正整數(shù)）（3）（a+b）6 （a+b）3 （a+b）

設(shè)計(jì)意圖：①讓學(xué)生進(jìn)一步理解“同底數(shù)冪的乘法法則”中底數(shù)一定要相同，但可以是相同的單項(xiàng)式，如“x”等單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，如“（a+b）”。②通過交流，讓學(xué)生關(guān)注公式運(yùn)用過程中的一些細(xì)節(jié)，如（1）中底數(shù)為x，不是（-x）;（2）中同底數(shù)冪的底數(shù)是a，指數(shù)是2n+1、n和1，應(yīng)相加后化簡;（3）中的底數(shù)為a+b，指數(shù)相加不要漏了最后一個(gè)因式的指數(shù)1，這是學(xué)生經(jīng)常忽略的地方。

沒有理解公式的練習(xí)是低效的，只會越練越糟。教師應(yīng)采用多媒體技術(shù)結(jié)合板書的方式，從本質(zhì)上讓學(xué)生清楚數(shù)學(xué)公式的規(guī)范與原理，理清知識方法、凸顯思維過程。教師的板書要工整合理，這樣才能突出例題的知識和示范作用。當(dāng)然，教師也要適時(shí)配上針對性強(qiáng)的模仿練習(xí)，讓學(xué)生在這樣的模仿練習(xí)中理解鞏固，逐步積累解題的經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力和解題準(zhǔn)確率。

三、善于甄別，提高解題能力

在剛剛結(jié)束的第59屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽上，美國隊(duì)再次斬獲冠軍。自2014年羅博深擔(dān)任美國奧數(shù)隊(duì)總教練后，今年已是美國隊(duì)第三次拿下團(tuán)體第一。這位年輕的華裔教練說：“學(xué)數(shù)學(xué)的目的是為了能夠有創(chuàng)造力的思考并且解決新的問題，而不是用已經(jīng)知道的知識反復(fù)去解很多已經(jīng)解決過的問題?！痹趯W(xué)生了解公式的基本知識后，教學(xué)也要對公式進(jìn)行一些必要的變化。必要的變式可以讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，學(xué)會思考。教師可以改變公式中的一些非本質(zhì)的特征，讓學(xué)生根據(jù)變化積極思考，設(shè)法想出解決方法，提升思考的靈活性。當(dāng)然這些變式要有“度”，既不能簡單到“機(jī)械重復(fù)”，又不能復(fù)雜到“面目可憎”。

例3計(jì)算：（1）3×35×27 （2）a ·（-a）2

（3）（2a+3b）2×（-2a-3b）3

（4）（m-2n）2·（-2n+m）3

設(shè)計(jì)意圖：1.通過底數(shù)不同的冪的乘法算法比較，讓學(xué)生明確只有同底數(shù)冪相乘，才能轉(zhuǎn)化為指數(shù)相加;底數(shù)不同，必須轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘。教師需要多角度地強(qiáng)調(diào)運(yùn)用公式的前提，讓學(xué)生加深理解。2.從“知道、領(lǐng)會、理解”到“分析、綜合、應(yīng)用”，既體現(xiàn)認(rèn)知目標(biāo)的發(fā)展，又體現(xiàn)思維品質(zhì)的遞進(jìn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師應(yīng)該經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反思，在比較中發(fā)現(xiàn)公式的核心本質(zhì)，在經(jīng)歷反思后獲得運(yùn)算能力。3.數(shù)學(xué)公式只是起點(diǎn)，對知識的理解與熟練運(yùn)用才是能力。富有挑戰(zhàn)的題目可以讓學(xué)生學(xué)會思考，這是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)追求。課堂要選擇一些有意義而且學(xué)生能夠理解的延伸題目，幫助學(xué)生發(fā)掘知識的各個(gè)方面。這些變化、延伸的題目就像一道道門，讓學(xué)生在解題、析題、破題中發(fā)現(xiàn)公式的完整和生動。

四、靈活運(yùn)算，提升綜合素養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生快速而準(zhǔn)確的運(yùn)算能力，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科減負(fù)的重要內(nèi)容。作為教師，要仔細(xì)研讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，合理選擇例題，并且能夠講清講透、示范到位，實(shí)現(xiàn)訓(xùn)練的效率。對于容易出錯(cuò)的地方，教師要有預(yù)判和強(qiáng)調(diào)，適時(shí)停頓，以培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)審題、正確處理符號、及時(shí)檢查糾錯(cuò)的良好習(xí)慣。[2]

本節(jié)課內(nèi)容是冪的運(yùn)算的開始，以后幾節(jié)課還有冪的乘方、積的乘方和同底數(shù)冪的除法等內(nèi)容，這些都是整式乘法的重要基礎(chǔ)，且公式多、變化活。學(xué)生需要先搞清冪的意義，在觀察、分析、比較、猜想、歸納的數(shù)學(xué)活動中，總結(jié)出冪的運(yùn)算法則，理解法則的來源和本質(zhì)。

例4求證：32002是42002的倍數(shù)。

這道具有一定的典型性和規(guī)律性，思維含量較高，不是僅僅依靠記憶和套用公式就可以解決的，需要學(xué)生通過深入思考或互相交流，探究解法。

解析：本題其實(shí)是求余數(shù)的問題。我們通過同底數(shù)冪的運(yùn)算，分別計(jì)算出32002和42002的尾數(shù)特征，找到規(guī)律，解決問題。

證明：∵32002=34×500+2，42002=44×500+2

∴32002，42002與32，42的個(gè)位相同，即9和6。

所以32002 +42002是5的倍數(shù)。

這樣的解析方式可以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，學(xué)會數(shù)學(xué)思考。

初中階段是學(xué)生發(fā)展運(yùn)算思維的重要階段。當(dāng)然，我們必須清醒地看到，學(xué)生運(yùn)算能力的提高，需要師生共同努力。教師要克服急躁情緒，設(shè)計(jì)層次性強(qiáng)的例題和練習(xí)，讓學(xué)生在符號、括號、底數(shù)、指數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等運(yùn)算內(nèi)容的不斷變化中積累經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算思維的優(yōu)化及運(yùn)算能力的逐步提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社， 2012：6.

[2]龐彥福，許彬.視錯(cuò)誤為拐點(diǎn) 提升學(xué)生運(yùn)算能力[J].江蘇教育， 2018（2）：33-35.

Cultivating Students Mathematical Operational Ability and Realizing Burden Relief and Efficiency Enhancement

Liu Changyu

（Suzhou Industrial Park Xingwan School， Suzhou 215021， China）

Abstract： Students need to spend much time and energy in their learning and grasping the knowledge and skills about operation in learning mathematics. However， the influence of information era has resulted in relatively lower ability of students operation. To solve the problem， teachers may adopt the teaching methods as follows： familiarizing themselves with the rules and mastering basic skills; focusing on the details and untangling the ways of tackling the problems; excelling in differentiation and improving cracking ability; and operating flexibly and enhancing the comprehensive accomplishments. Meanwhile， teachers should try to discover the internal beauty and interest of mathematics with their students to spark their interest in mathematics.

Key words： operating ability; burden relief and efficiency enhancement; basic knowledge; basic skill