劉佳怡

【摘要】轉(zhuǎn)化思想方法是數(shù)學(xué)思想的核心和精髓。在高中數(shù)學(xué)解題中，確立題中條件與問(wèn)題或條件與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)由已知向未知的轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到已知與未知的統(tǒng)一。運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的分析，探究解題思路，從而順利解決問(wèn)題。本文從轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵及一般方法，來(lái)探究轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方式。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題 ?轉(zhuǎn)化思想 ?應(yīng)用方式

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）40-0127-02

引言

轉(zhuǎn)化思想，就是將未知解法或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，化歸為已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題方法的數(shù)學(xué)思想。轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。轉(zhuǎn)化的思想滲透到了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域和環(huán)節(jié)，掌握基本的高中數(shù)學(xué)解題的轉(zhuǎn)化思想，可以有效的解決問(wèn)題，并提高解決問(wèn)題的能力。

一、轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵

轉(zhuǎn)化思想是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為簡(jiǎn)單熟知問(wèn)題的基本解題模式，它是一種數(shù)學(xué)對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對(duì)象的思想和方法。也就是說(shuō)，可以將有待解決的陌生問(wèn)題通過(guò)一次或一連串的轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個(gè)比較熟悉或比較簡(jiǎn)單或已經(jīng)解決的問(wèn)題，這樣就可以充分調(diào)動(dòng)我們已經(jīng)掌握的知識(shí)，方法和經(jīng)驗(yàn)，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解決的問(wèn)題，通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

二、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用方式

（一）數(shù)形轉(zhuǎn)化。數(shù)與形的轉(zhuǎn)化就是我們平時(shí)所說(shuō)的數(shù)學(xué)思想結(jié)合。數(shù)與形反映事物兩個(gè)方面的屬性，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言同直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，是高中數(shù)學(xué)中的一條重要原則。如果注重?cái)?shù)與形轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，就能使許多問(wèn)題簡(jiǎn)單化。通過(guò)圖形，尋找數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而解題。其中，尋找數(shù)學(xué)關(guān)系最為關(guān)鍵，不管什么題，尋找數(shù)學(xué)關(guān)系是解出習(xí)題的必要條件。

（二）主次轉(zhuǎn)化。在一個(gè)比較復(fù)雜的式子中，可以用新的變?cè)ゴ嬖街幸粋€(gè)部分和改造原來(lái)的式子，使問(wèn)題易于解決。主次轉(zhuǎn)化可以使原先的問(wèn)題從高次變?yōu)榈痛?，從無(wú)理式變?yōu)橛欣硎?，從超越式變?yōu)榇鷶?shù)式，可以使問(wèn)題由繁變簡(jiǎn)，由難變易。在方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角中都有廣泛應(yīng)用。轉(zhuǎn)化后會(huì)使原先分散的條件聯(lián)系起來(lái)，原先隱含的條件顯露出來(lái)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得豁然開(kāi)朗。應(yīng)用主次轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵是在于通過(guò)觀察、聯(lián)想，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，構(gòu)造出變換關(guān)系式。即利用主元與參變量的關(guān)系，參變量為主元，即變量與主元的角色換位，常?？梢院?jiǎn)化問(wèn)題的解決。

（三）等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性的。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行?？梢哉f(shuō)，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

設(shè)x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的范圍。

由3x2+2y2=6x得（x-1）2+■=1，即表示橢圓中的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x2+y2的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方?？芍钚≈凳?，距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x2+y2=k，代入橢圓中消y得x2-6x+2k=0。由判別式△=36-8k=0得k=4，所以x2+y2的范圍是：0≤x2+y2≤4。

還可以使用三角換元法，即對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元：

由3x2+2y2=6x得（x-1）2+■=1，設(shè)x-1=cosαy=■sinα，則

x2+y2=1+2cosα+cos2α+■sin2α=1+■+2cosα-■cos2α

=-■cos2α+2cosα+■∈[0，4]

所以x2+y2的范圍是：0≤x2+y2≤4。

本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了其它問(wèn)題，是等價(jià)轉(zhuǎn)化的良好應(yīng)用。

結(jié)語(yǔ)

轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，本文通過(guò)一些具體的例子，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方式。這些方法相互聯(lián)系，相輔相成，并不矛盾。通過(guò)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，把遇到的新問(wèn)題，變成我們比較熟悉的問(wèn)題來(lái)處理，或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問(wèn)題，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，或者將難以解決、比較抽象的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直觀的問(wèn)題，以便準(zhǔn)確把握問(wèn)題的求解過(guò)程。正確掌握數(shù)學(xué)解題中的各種轉(zhuǎn)化方法來(lái)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過(guò)程省時(shí)省力，對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]李紅金.高中數(shù)學(xué)課本中蘊(yùn)含的化歸轉(zhuǎn)化思想方法[M].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015.