施彬

摘 要：針對(duì)習(xí)題教學(xué)雜、亂現(xiàn)象，通過(guò)“再創(chuàng)造知識(shí)的自然生長(zhǎng)過(guò)程，形成知識(shí)系統(tǒng)；再創(chuàng)造思路的自然形成過(guò)程，注重方法遷移兩方面談對(duì)再創(chuàng)造策略的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力。

關(guān)鍵詞：習(xí)題教學(xué)；再創(chuàng)造；策略

荷蘭數(shù)學(xué)教育家符萊登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”。本文試圖通過(guò)舉例來(lái)談?wù)勛约簩?duì)再創(chuàng)造策略的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。重點(diǎn)不是探究怎樣解某個(gè)題，而是研究在今后幾何習(xí)題教學(xué)中如何以該策略去指導(dǎo)學(xué)生。

一、再創(chuàng)造知識(shí)的自然生長(zhǎng)過(guò)程，形成知識(shí)系統(tǒng)

（一）習(xí)題呈現(xiàn)及解答

（2014·紹興）用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若這樣的三角形只能作一個(gè)，則a，b間滿(mǎn)足的關(guān)系式是___________________。

解：如圖所示：

若這樣的三角形只能作一個(gè)，則a，b間滿(mǎn)足的關(guān)系式是：

①當(dāng)CA⊥BD時(shí)，即sin35°=；

②當(dāng)b≥a時(shí)。故答案為：sin35°=或b≥a。

（二）習(xí)題的自然生長(zhǎng)過(guò)程再創(chuàng)造

1.生長(zhǎng)起點(diǎn)：SSA不能判定兩個(gè)三角形全等

例1 《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)1.6作三角形作業(yè)題C組第5題：已知∠β和線(xiàn)段a，b（如圖2）。用尺規(guī)作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。這樣的三角形能做幾個(gè)？

評(píng)析：利用尺規(guī)作圖可得，這樣的三角形能作兩個(gè)。由此說(shuō)明兩邊和其中一邊所對(duì)的角不能確定一個(gè)三角形，也就證明SSA不能確定兩個(gè)三角形全等。

2.生長(zhǎng)點(diǎn)一：舍去條件AC=b，探究結(jié)論

例2 已知∠β和線(xiàn)段a（如圖3）。用尺規(guī)作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。這樣的三角形能做幾個(gè)？并確定相應(yīng)a，b間滿(mǎn)足的關(guān)系式？

評(píng)析：變式1將原型題中規(guī)定的AC長(zhǎng)度b這一條件舍去，即b的長(zhǎng)度是不確定的。此時(shí)需根據(jù)b的長(zhǎng)度為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論，由此我們發(fā)現(xiàn)上述中考題（2014·紹興）考查的是變式1的情況（Ⅰ）

解：（Ⅰ）sinB=或b≥a時(shí)，這樣的三角形能作一個(gè)；

（Ⅱ）當(dāng)asinB

3.生長(zhǎng)點(diǎn)二：舍去條件AC=b，∠B=∠β，探究結(jié)論

例3 用尺規(guī)作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。這樣的三角形能做幾個(gè)？并確定相應(yīng)a，b間滿(mǎn)足的關(guān)系式.

評(píng)析：從例1到例3是再創(chuàng)造知識(shí)的自然生長(zhǎng)過(guò)程，可發(fā)現(xiàn)“角的大小、a，b間滿(mǎn)足的關(guān)系式、能作出的三角形個(gè)數(shù)”這三者之間的聯(lián)系與規(guī)律，形成了關(guān)于兩邊與一邊對(duì)角構(gòu)成的三角形個(gè)數(shù)的知識(shí)系統(tǒng)。

二、再創(chuàng)造思路的自然形成過(guò)程，注重方法遷移

（一）習(xí)題呈現(xiàn)與解答

例4 （2014·寧波）課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請(qǐng)畫(huà)示意圖說(shuō)明剪法。

定義：如果兩條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的三分線(xiàn)。

（1）請(qǐng)你在圖2中用兩種不同的方法畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線(xiàn)，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）

解：如圖2作圖，

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線(xiàn)，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫(huà)出示意圖，并求出x所有可能的值；

解：如圖3①、②作△ABC。①當(dāng)AD=AE時(shí)，∵2x+x=30+30，∴x=20；

②當(dāng)AD=DE時(shí)，∵30+30+2x+x=180，∴x=40；③當(dāng)AE=DE時(shí)，x不存在。

（3）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請(qǐng)畫(huà)出△ABC的三分線(xiàn)，并求出三分線(xiàn)的長(zhǎng)。

解：如圖4，CD、AE就是所求的三分線(xiàn)。

設(shè)∠B=a，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此時(shí)△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，

∵△AEC∽△BDC，∴x∶y=2∶3，

∵△ACD∽△ABC，∴2∶x=（x+y）∶2，

聯(lián)立得方程組得x∶y=2∶32x=（x+y）∶2得x=y=，即三分線(xiàn)長(zhǎng)分別是和。

（二）思路自然形成過(guò)程的再創(chuàng)造

1.你能模仿圖1的三分線(xiàn)畫(huà)法完成第（1）嗎？

在原型題的基礎(chǔ)上，第（1）題確定的是兩個(gè)條件，其中條件②45°的頂角也為特殊角，學(xué)生很容易想到從等腰直角三角形入手去畫(huà)三分線(xiàn)，如圖5所示：

2.依據(jù)圖1中“三分線(xiàn)”定義，試畫(huà)出圖3中示意圖，并求∠C度數(shù)。

評(píng)析：讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)第三個(gè)等腰三角形的不確定性，以腰作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)去展開(kāi)討論，再利用方程思想計(jì)算角度問(wèn)題。實(shí)質(zhì)考查“三分線(xiàn)”的概念。

3.圖1與圖4中條件有相同點(diǎn)嗎？由此你能想到圖4的三分線(xiàn)嗎？設(shè)圖1中AC=2，BC=3，求出三分線(xiàn)長(zhǎng)？這對(duì)求圖4三分線(xiàn)有何啟發(fā)？

變式3確定的是兩內(nèi)角之比為1∶2，首先要求畫(huà)出三分線(xiàn)？并增加條件AC=2，BC=3，求三分線(xiàn)的長(zhǎng)？此問(wèn)蘊(yùn)含著二點(diǎn)方法的遷移，如圖6所示：

方法遷移一：從圖1到圖3是從特殊到一般的過(guò)程。啟示是：當(dāng)三角形內(nèi)兩內(nèi)角之比為1：2時(shí)，作三分線(xiàn)首先考慮的是那條兩倍角的角平分線(xiàn)，再過(guò)點(diǎn)A作第二條三分線(xiàn)，將三角形ACD劃分成兩個(gè)等腰三角形，通過(guò)嘗試我們發(fā)現(xiàn)這種作法擴(kuò)展到一般情形也是適用的。

方法遷移二：求三分線(xiàn)長(zhǎng)度的方法的遷移?？稍O(shè)圖1中AC=2，BC=3，利用等腰三角形性質(zhì)及△ABC∽△ACD，很容易求出圖1中AE和CD的長(zhǎng)度。圖4的不同之處在于AC≠CD，因此這里要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)AE=x，CD=y，需建立聯(lián)立方程，此時(shí)，仍可用△ABC∽△ACD，或增加△AEC∽△BDC建立方程。因此，從求三分線(xiàn)長(zhǎng)度的方法來(lái)說(shuō)，從特殊擴(kuò)展到一般情形也是適用的。

它山之石，可以攻玉。筆者認(rèn)為，在幾何習(xí)題教學(xué)中利用上述再創(chuàng)造策略，便能從茫茫題海中挖掘一些精彩題目的豐富內(nèi)涵。培養(yǎng)自主探究的數(shù)學(xué)精神。

參考文獻(xiàn)：

1.浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（七年級(jí)）.

2.教育部《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，北師大出版社，2012年1月第1版.

（作者單位：浙江省良渚一中）