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        例談幾何習題教學中的再創(chuàng)造策略

        2017-12-29 18:47:42施彬
        試題與研究·教學論壇 2017年30期
        關(guān)鍵詞:再創(chuàng)造習題教學策略

        施彬

        摘 要:針對習題教學雜、亂現(xiàn)象,通過“再創(chuàng)造知識的自然生長過程,形成知識系統(tǒng);再創(chuàng)造思路的自然形成過程,注重方法遷移兩方面談對再創(chuàng)造策略的一點認識,從而培養(yǎng)學生自主探究的能力。

        關(guān)鍵詞:習題教學;再創(chuàng)造;策略

        荷蘭數(shù)學教育家符萊登塔爾認為,數(shù)學教學是“有指導的再創(chuàng)造”。本文試圖通過舉例來談談自己對再創(chuàng)造策略的一點認識。重點不是探究怎樣解某個題,而是研究在今后幾何習題教學中如何以該策略去指導學生。

        一、再創(chuàng)造知識的自然生長過程,形成知識系統(tǒng)

        (一)習題呈現(xiàn)及解答

        (2014·紹興)用直尺和圓規(guī)作△ABC,使BC=a,AC=b,∠B=35°,若這樣的三角形只能作一個,則a,b間滿足的關(guān)系式是___________________。

        解:如圖所示:

        若這樣的三角形只能作一個,則a,b間滿足的關(guān)系式是:

        ①當CA⊥BD時,即sin35°=;

        ②當b≥a時。故答案為:sin35°=或b≥a。

        (二)習題的自然生長過程再創(chuàng)造

        1.生長起點:SSA不能判定兩個三角形全等

        例1 《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》七年級下冊1.6作三角形作業(yè)題C組第5題:已知∠β和線段a,b(如圖2)。用尺規(guī)作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,AC=b。這樣的三角形能做幾個?

        評析:利用尺規(guī)作圖可得,這樣的三角形能作兩個。由此說明兩邊和其中一邊所對的角不能確定一個三角形,也就證明SSA不能確定兩個三角形全等。

        2.生長點一:舍去條件AC=b,探究結(jié)論

        例2 已知∠β和線段a(如圖3)。用尺規(guī)作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,AC=b。這樣的三角形能做幾個?并確定相應a,b間滿足的關(guān)系式?

        評析:變式1將原型題中規(guī)定的AC長度b這一條件舍去,即b的長度是不確定的。此時需根據(jù)b的長度為分類標準進行討論,由此我們發(fā)現(xiàn)上述中考題(2014·紹興)考查的是變式1的情況(Ⅰ)

        解:(Ⅰ)sinB=或b≥a時,這樣的三角形能作一個;

        (Ⅱ)當asinB

        3.生長點二:舍去條件AC=b,∠B=∠β,探究結(jié)論

        例3 用尺規(guī)作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,AC=b。這樣的三角形能做幾個?并確定相應a,b間滿足的關(guān)系式.

        評析:從例1到例3是再創(chuàng)造知識的自然生長過程,可發(fā)現(xiàn)“角的大小、a,b間滿足的關(guān)系式、能作出的三角形個數(shù)”這三者之間的聯(lián)系與規(guī)律,形成了關(guān)于兩邊與一邊對角構(gòu)成的三角形個數(shù)的知識系統(tǒng)。

        二、再創(chuàng)造思路的自然形成過程,注重方法遷移

        (一)習題呈現(xiàn)與解答

        例4 (2014·寧波)課本的作業(yè)題中有這樣一道題:把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,你能辦到嗎?請畫示意圖說明剪法。

        定義:如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線。

        (1)請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線,并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù);(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形,則視為同一種)

        解:如圖2作圖,

        (2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分線,點D在BC邊上,點E在AC邊上,且AD=BD,DE=CE,設∠C=x°,試畫出示意圖,并求出x所有可能的值;

        解:如圖3①、②作△ABC。①當AD=AE時,∵2x+x=30+30,∴x=20;

        ②當AD=DE時,∵30+30+2x+x=180,∴x=40;③當AE=DE時,x不存在。

        (3)如圖3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,請畫出△ABC的三分線,并求出三分線的長。

        解:如圖4,CD、AE就是所求的三分線。

        設∠B=a,則∠DCB=∠DCA=∠EAC=a,∠ADE=∠AED=2a,此時△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC,設AE=AD=x,BD=CD=y,

        ∵△AEC∽△BDC,∴x∶y=2∶3,

        ∵△ACD∽△ABC,∴2∶x=(x+y)∶2,

        聯(lián)立得方程組得x∶y=2∶32x=(x+y)∶2得x=y=,即三分線長分別是和。

        (二)思路自然形成過程的再創(chuàng)造

        1.你能模仿圖1的三分線畫法完成第(1)嗎?

        在原型題的基礎上,第(1)題確定的是兩個條件,其中條件②45°的頂角也為特殊角,學生很容易想到從等腰直角三角形入手去畫三分線,如圖5所示:

        2.依據(jù)圖1中“三分線”定義,試畫出圖3中示意圖,并求∠C度數(shù)。

        評析:讓學生通過畫圖發(fā)現(xiàn)第三個等腰三角形的不確定性,以腰作為分類標準去展開討論,再利用方程思想計算角度問題。實質(zhì)考查“三分線”的概念。

        3.圖1與圖4中條件有相同點嗎?由此你能想到圖4的三分線嗎?設圖1中AC=2,BC=3,求出三分線長?這對求圖4三分線有何啟發(fā)?

        變式3確定的是兩內(nèi)角之比為1∶2,首先要求畫出三分線?并增加條件AC=2,BC=3,求三分線的長?此問蘊含著二點方法的遷移,如圖6所示:

        方法遷移一:從圖1到圖3是從特殊到一般的過程。啟示是:當三角形內(nèi)兩內(nèi)角之比為1:2時,作三分線首先考慮的是那條兩倍角的角平分線,再過點A作第二條三分線,將三角形ACD劃分成兩個等腰三角形,通過嘗試我們發(fā)現(xiàn)這種作法擴展到一般情形也是適用的。

        方法遷移二:求三分線長度的方法的遷移??稍O圖1中AC=2,BC=3,利用等腰三角形性質(zhì)及△ABC∽△ACD,很容易求出圖1中AE和CD的長度。圖4的不同之處在于AC≠CD,因此這里要設兩個未知數(shù)AE=x,CD=y,需建立聯(lián)立方程,此時,仍可用△ABC∽△ACD,或增加△AEC∽△BDC建立方程。因此,從求三分線長度的方法來說,從特殊擴展到一般情形也是適用的。

        它山之石,可以攻玉。筆者認為,在幾何習題教學中利用上述再創(chuàng)造策略,便能從茫茫題海中挖掘一些精彩題目的豐富內(nèi)涵。培養(yǎng)自主探究的數(shù)學精神。

        參考文獻:

        1.浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》(七年級).

        2.教育部《數(shù)學課程標準(實驗稿)》,北師大出版社,2012年1月第1版.

        (作者單位:浙江省良渚一中)

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